《2022年大学高等数学第五章定积分及其应用答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年大学高等数学第五章定积分及其应用答案(21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载第五章 定积分及其应用习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何意义推出下列积分的值:(1)xxd11, ( 2)xxRRRd22, (3)xxdcos02, ( 4)xxd11. 解 : 若xxfxfbaxabd)(,0)(,则时在 几 何 上 表 示 由 曲 线)(xfy, 直 线bxax,及x轴所围成平面图形的面积. 若bax,时,xxfxfabd)(,0)(则在几何上表示由曲线)(xfy,直线bxax,及x轴所围平面图形面积的负值. (1)由下图( 1)所示,0)(d1111AAxx. (2)由上图( 2)所示,2d2222RAxxRRR. (
2、3)由上图( 3)所示,0)()(dcos535354320AAAAAAAxx. (4)由上图( 4)所示,1112122d611Axx. 2. 设物体以速度12tv作直线运动, 用定积分表示时间t从 0 到 5 该物体移动的路程S. RRORxy2A( 2)-1-1111A1AOxy(1)Oxy1- 13A4A5A2(3)111 1 Oxy6A6A(4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载解:sttd)12(053. 用定积分的定义计算定积分baxcd, 其中c为一定常数 . 解:任取分点bx
3、xxxan210, 把,ba分成n个小区间,1iixx)2,1(ni,小区间长度记为xi=ix-1ix)2,1(ni, 在每个小区间iixx,1上任取一点i作乘积iixf)(的和式:niniiiiiabcxxcxf111)()()(, 记max1inix, 则)()(lim)(limd00abcabcxfxcniiiba. 4. 利用定积分定义计算120dxx. 解:上在1 ,0)(2xxf连续函数,故可积,因此为方便计算,我们可以对0,1n等分,分点iininix; 1,2, 1,取相应小区间的右端点,故niiiniiiniiixxxxf12121)(=niniinnni1232111)(
4、=311(1)(21)6n nnn =)12)(11(61nn当时0(即时n) ,由定积分的定义得:120dxx=315. 利用定积分的估值公式,估计定积分1134)524(xxxd的值 . 解:先求524)(34xxxf在1 , 1上的最值,由0616)(23xxxf, 得0x或83x. 比较35093( 1)11,(0)5,( ),(1)781024ffff的大小,知minmax5093,111024ff,由定积分的估值公式,得)1(1d)524()1(1 max1134minfxxxf, 即14315093(425)d22512xxx. 6. 利用定积分的性质说明10dxex与10d2x
5、ex,哪个积分值较大?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载解:在0,1区间内:22xxxxee由性质定理知道:10dxex10d2xex7. 证明:2121212d22xeex。证明:考虑21,21上的函数2xey,则22xxey,令0y得0x当0,21x时,0y,当21, 0x时,0y2xey在0x处取最大值1y,且2xey在21x处取最小值21e. 故21212121212121d1dd2xxexex,即2121212d22xeex。8. 求函数21)(xxf在闭区间 -1 ,1 上的平均值
6、. 解:平均值112242121d1)1(11xx9. 设)(xf在0 ,1 上连续且单调递减,试证对任何)1,0(a有axxfaxxf010d)(d)(. 证明:axxfaxxf010d)(d)(=aaxxfaxxf00d)(d)(1d)(axxfa10d)(d)()1 (aaxxfaxxfa=)()1 ()()1(afaafa)()()1 (ffaa,其中1,0aa又)(xf单调减,则)()(ff,故原式得证. 习 题5.21. 计算下列定积分(1)40d2xx; (2)122d|xxx; (3)20d|sin|xx; (4)xxxd1 ,max10.解: (1)xxxxxxd)2(d)2
7、(d24220404)221()212(422202xxxx(2)122d|xxx=023d)(xx+103dxx=10402444xx=4+41741. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载(3)20d|sin|xx=0dsinxx+2d)sin(xx=20cos)cos(xx=2+2=4. (4) xxxd1 ,max10=1121023(1)dd4xxx x. 2. 计算下列各题:(1)10100dxx,(2)41dxx,(3)10dexx, (4)xxd10010, (5)xxdsin20
8、, (6)xxxde210, (7)xxd)2sin(20, (8)xxxd)1 (10, ( 9)xxxd2lne1, (10)102100dxx, (11)402dcostanxxx解: (1)10100dxx=101110110101x. (2)41dxx=314324123x. (3)1eede1010xxx. (4)xxd10010=100ln99100ln10010x. (5)1cosdsin2020xxx. (6)21e2e)(de21de1021010222xxxxxx. (7)xxd)2sin(20=)2(d)2sin(2120xx=20)2cos(21x=1. (8) xx
9、xd2lne1=)d(lnln21e1xx=41ln41e12x. (10) 102100dxx=102)10(1d1001xx=1010arctan101x=101arctan101. (10)402dcostanxxx=40)tand(tanxx=4022)(tanx=21. 3. 求下列极限(1)xttxxcos1dsinlim11. ( 2)202arctandlim1xxttx. 解: (1)此极限是“00”型未定型,由洛必达法则,得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载xttxxcos1
10、dsinlim11=)cos1()dsin(lim11xttxx=1)1(limsinsinlim11xxxx(2)2201222arctandarctanlimlim11122xxxttxxxx型221 arctanlimxxxx2211arctanlimxxxxx2221lim1arctan4xxx4. 设xtty0d)1(,求 y 的极小值解:当10yx,得驻点1x,10.1yx为极小值点,极小值1021-dx) 1() 1(xy5. 设1,211, 12xxxxxf,求20dxxf。解:2121020d21d1dxxxxxxf386121213102xxx6. 设其它,00,sin21
11、xxxf,求xttfx0d。解:当0x时,0d0d00xxtttfx当x0时,2cos1dsin210xttxx当x时,1d0dsin21ddd000xxxtttttfttfttfx,故0,011cos,021,xxxxx7. 设xf是连续函数,且10d2ttfxxf,求xf。解:令Attf10d,则Axxf2,从而AxAxxxf221d2d1010即AA221,21A,1xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载82221limnnnnn。解:原式112limnnnnnn10112limd3nn
12、iix xnn9求由0dcosd00xytttte所决定的隐函数y对x的导数xydd。解:将两边对x求导得yexydd0cosx,xyddyexcos习 题5.31. 下面的计算是否正确,请对所给积分写出正确结果:(1)xxxdcoscos223=xxxdsin)(cos2221=)cosd()(cos2221xx=0cos322223x. (2)111122)sind()(sin1d1ttxx=11dcoscosttt=112d)(costt=2102d)(costt=22sin211)2sin21(d22cos11010tttt. 答: (1)不正确,应该为:xxxxxxdsin)(cos
13、2dcoscos2122203=343cos4)cos)(cos220232021d(xxx(2)不正确,应该为:112222222d)(cos)sind()(sin1d1ttttxx =22020202)2sin21(d22cos12d)(costttttt2. 2. 计算下列定积分: (1)xx d16402, (2)102d41xx. (3)203cossinxdxx;(4)xxxdlne12;(5)xexd12ln0;(6)1145dxxx;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载(7)411
14、dxx;(8)xxdsin203;(9)21ln1dexxx; (10)02222dxxx; (11) xxd2cos10; (12)1022d1xxx。解: (1)令x=tsin4, 则ttxtxdcos4d,cos4162, 当x= 0 时,t= 0;当x= 4 时,2t,于是xx d16402=4)2sin48(d)2cos1 (8dcos4cos4202020ttttttt(2)102d41xx=102)2d()2(1121xx=21arctan212arctan2110x. (3)203cossinxdxx41cos41dcoscos204203xxx(4)d(lnlndlne12e
15、12xxxxx31) 1(ln)e(ln31)(ln3133e13x(5) 令tex1,1ln2tx,tttxd12d2,0x时0t;2lnx时,1t. 于是tttttxexd1112d12d110210222ln0102arctan2 14tt(6) 令ux45, 则4452ux,uuxdd2. 当1x时,3u, 当1x时,1u. 原式61d581132uu. (7) 令tx,ttxd2d. 当1x时,1t;当4x时,2t. 原式2121211dd21d2tttttt32ln221ln22121tt(8) 因为xxdsin203=xxxxxxxxdsincosdsindsincos12022
16、02021cosdsin2020xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载31cos31dcoscosdsincos203202202xxxxxx从而xxdsin203=32. (9) 原式2211ln1dln11lndln11eexxxx232ln1221ex(10) 原式02022111dxarctgxx24411arctgarctg(11) 原式002dcos2dcos2xxxx220dcos2dcos2xxxx22sinsin2220xx(12)设20(,sinttx,ttxdcosd,于
17、是1022d1xxx=tttttd2sin41dcossin202220216)4sin41(81d2cos4t141202020ttt3. 计算下列定积分:(1)xxxde) 15(405;( 2)xxd) 1ln(1e0; (3)xxxdcose10;(4)xxxxxd)e3(1033; (5)342dsinxxx; (6)41dlnxxx; (7)10arctan dxx x ; (8) 202dexxx;(9)ee1dlnxx;(10)20dsinxxx。解: (1)xxxde)15(405=5ed)15(540xx=455400ee(51)d(51)55xxxx=420520021e
18、1e4e55x. (2) xxxxxxxd1) 1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载 =1e0)1ln(1exxeln=1 (3) xxxdcose10=sinde10xxxxxxdesinsine11010xxxdsine010=)cosd(e10xxxxxxdecoscose11010) 1e(1xxxdcose10移项合并得xxxdcose10)1e(21. (4)xxxxxd)e3(1033)e313ln34(d3104x
19、xxx10341034d)e313ln34()e313ln34(xxxxxxxx4514e923ln23ln3)e913ln320(e313ln34132103253xxx(5)342dsinxxx34dcotxx3344cotcot dxxx x34sinln9341x22ln23ln934123ln219341(6)41dlnxxx41dln2xx4141lndln2xxxx41d12ln42xxx4121d22ln8xx42ln8(7)10arctan dxx x1201arctan d2x x21122001arctand21xxxxx102101d21d218xxx110011arc
20、tan822xx214(8)44e4e4e4e4de2e2de202202202202xxxxxxxx(9)e11e1ee1dlndlndlnxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载而1e11e11e1dlndlnxxxxxxx1e2e11e111eedlndlne1e1e1xxxxx, 故e221e21dlndlndlne11e1ee1xxxxxx. (10)1sindcoscosdsin20202020xxxxxxxx4. 利用函数的奇偶性计算下列积分:(1)xxxd)1(1122;
21、(2) xxdcos4224; (3)552423d12sinxxxxx; (4)aaxxxxd)2sin5cos(.解: (1) xxxd)1(1122=202d12d111211xxxx(2) 原式2022204dcos22dcos42xxxx202202d2cos2cos212d2cos12xxxxx202020d4cos1d2cos22xxxxx20204d4cos4122sin2xxx234sin412320x(3) 12sin2423xxxx为奇函数,0d12sin552423xxxxx(4) 利用定积分的线性性质可得原式aaaaaaxxxxxxd2dsin5dcos,而前两个积分
22、的被积函数都是奇数,故这两个定积分值均为0, 原式aaaaaxlx4d2d2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载5. 如果0b,且bxx1, 1dln求b解:bbxxxxxdxb11d1lnln11ln)1(lnbbbbbb由已知条件得11lnbbb0lnbbb,即bbbln0b,1lnb, 即得eb。6. 若)(xf在区间1 ,0上连续 , 证明(1)20d)(sinxxf=20d)(cosxxf(2)0d)(sinxxxf= 0d)(sin2xxf, 由此计算02dcos1sinxxxx证明
23、: (1)设txtxdd,2则. 且当0x时,2t;当.0,2tx时故20d)(sinxxfttf02d2sin02dcosttf20d)(cosxxf(2)设tx,0d)(sinxxxf0)(d)sin()(ttft0d)(sinttf0d)(sintttf0d)(sinxtxf=0d)(sin2ttf利用此公式可得:20sind1cosxxxx=20sind21cosxxx=201dcos21cosxx =0arctan(cos )2x =42. 7. 设xf在a2,0上连续,证明aaxxafxfxxf020d2d。证明aaaaxxfxxfxxf2020ddd. 令uax2,uxdd,则a
24、aaaxxafuuafxxf002d2d2d故aaxxafxfxxf020d2d. 8. 设xf是以为周期的连续函数,证明:020d2dsinxxfxxxfxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载证明xxfxxdsin2020dsindsinxxfxxxxfxx. 令ux,则02dsindsinuufuuxxfxx0sinduufuu ( xf以为周期 ) 故020d2dsinxxfxxxfxx9. 设)(xf在,ba上连续,证明:)()()()(d)(afafabfbfbxxf xba证明利
25、用分部积分法,babababaxxfxf xxfxxxf xd)()()(dd)(=baxfafabfb)()()()()()()(afafabfbfb习 题 5.4 1. 下列解法是否正确?为什么?2ln1ln2ln|lnd12121xxx. 答:不正确. 因为x1在 1,2 上存在无穷间断点0x,21d1xx不能直接应用LeibnizNewton公式计算,事实上,21d1xx01d1xx+20d1xx1110d1limxx+2022d1limxx1110)ln(limx+2022lnlimx10lnlim1+2ln202lim不存在 , 故21d1xx发散 . 2. 下列广义积分是否收敛?
26、若收敛,则求出其值. (1)02d1xx;(2)xxde1100;(3)20edxxx ;(4)xxd)1(113(5)02100dxx;(6)0dln1xxx;解: (1)02d1xx=xxxxx1lim1lim)1(00,02d1xx发散 . (2)xxde1100=1001001100e1001)100e(0100ex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载(3)22200011ed( eed )24xxxxxxx(4)81) 1(21d) 1(11213xxx(5)02100dxx=2010
27、arctan1010x. (6)exxxxxx)ln(ln)d(lnln1dln1ee,发散3. 下列广义积分是否收敛?若收敛,则求出其值. (1)xxd)4(6032(2)10d1arcsinxxxx(3)102d1arcsinxxx解: (1)xxd)4(6032 =xxd)4(6432+xxd)4(4032=)42(3430023)4(3)4(3333340316431xx(2) 令txarcsin,xxxdt2d11于是21222000arcsind2d41xxt ttxx(3) xxxd1arcsin1021001020)(arcsindarcsinlimd1arcsinlimxxx
28、xx0120)(arcsin21limx8)1arcsin(21lim220。4. 证明广义积分baqaxx)(d当1q时收敛;当1q时发散。证明:当,1 时qbabaaxaxx)ln(d,发散;当,1时qbaqaxx)(d=1,1,1)(1)(11qqqabqaxqbaq。5. 已知axxxxexaxaxd4lim22,求常数a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载解:左端axxeaxa221lim右端axaxdexxdex2222222axaxdxxeex22222axaxdeea22222a
29、xaxadxexeea222222aeaa22122aaeeaa222122, 解之0a或1a。习 题 5.5 1、求由下列曲线围成的平面图形的面积:(1)xy1及直线0,2,yxxy;解:如图,解方程组xyxy1,得交点) 1 , 1 (,所求面积为2ln23ln2d)1(21221xxxxxA. (2)22xy与822yx(两部分均应计算) ;解:如图,解方程组82222yxxy,得交点)2 ,2(、)2,2(,所求上半部分面积为342d)28(2220221xxxAA上. 所求下半部分面积为346)342(8上圆下ASA(3)xxeyey,与直线1x;解:如图,解方程组xxeyey,得交
30、点) 1 ,0(,所求面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载2d)(11010eeeexeeAxxxx. (4)yxy,ln轴与直线)0(ln,lnabbyay. 解:选为y积分变量,如图,所求面积为abeyeAbaybaylnlnlnlnd2.求二曲线sinr与cos3r所围公共部分的面积解:当等于 0 和3时,两曲线相交,所围公共部分的面积为43245dcos321dsin21232302A. 3、求由0, 2,3yxxy所围成的图形,绕x轴及y轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积 . 解
31、:如图,绕x轴旋转所得的旋转体的体积为712871dd207206202xxxxyVx绕y轴旋转所得的旋转体的体积为. yyyxVyd32d822032802256453328035x4、有一立体,以长半轴10a、短半轴5b的椭圆为底,而垂直于长轴的截面都是等边三角形,求该立体的体积. 解:解:取坐标系如图,底面椭圆方程为15102222yx垂直于x轴的截面为等边三角形,对应于x的截面的面积为)10(43)(22xxA于是所求立体体积为3101032101022103331043d)10(43xxxxV5、计算曲线xyln相对应于3x到8x的一段曲线弧长. xyO3oxabyx精选学习资料 -
32、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载解:由弧长的公式得: 23ln211d1d11d1832832832xxxxxxys. 6、计算1相应于自43到34的一段弧长 . 解:由弧长的极坐标公式得: d11d)1()1(d)()(3443223443222344322s23ln125. 7、求星形线33cossinxatyat的全长 . 解:由弧长的参数方程公式得: 2224222422004( )( ) d49cossin9cossind6stttattatta . 8、设把一金属杆的长度由a拉长到xa时,所需的
33、力等于akx,其中k为常数,试求将该金属杆由长度a拉长到b所作的功 . 解:由于金属杆拉长所需的力f与拉长的长度成正比x,且akxf,其中k为常数。选择金属杆拉长的长度x为积分变量,其取值范围为ab,0,对于任意abx,0,在拉长的长度区间xxxd,上,功元素为xakxxfWddd,于是aabkxakxxakxakxWababab2)(2dd20200。9.一个底半径为mR,高为mH的圆柱形水桶装满了水,要把桶内的水全部吸出,需要做多少功(水的密度为233m/s10,kg/m10取g)?解:建立如图坐标系. 取x为积分变量 , ,0Hx, 任取子区间,0d,Hxxx,相应一薄层水被抽到桶外需做
34、的功近似为xgxRW水dd2, 于是,把桶内的水全部吸出,需做功) J(5000212d222202202HRHRgxRgxxRgWHH水水水. 10、一矩形闸门垂直立于水中,宽为m10,高为m6,问闸门上边界在水面下多少米时?它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍. Oxyxxxd),(RH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载y(h ,0) xxd(5,6) 解:设所求高度为h,建立如图坐标系,任取小区间d,xxx,小区间上压力元素为xgxFd6d于是,由题意得:66026d6dhh
35、gxxgxx6260222 2hhxx从而3h。习题 5.6 2001002000010080( )dd8d16008002400Tf xxxxx(小时)本章复习题A 1、求下列极限:( 1))21(lim22222nnnnnnnn;(2)nknknknnene12lim( 3)xttxx020d1lim;( 4)2cos10dlim2xtextx1、解:(1))21(lim22222nnnnnnnn)(11)2(11)1(11(1lim222nnnnnn401arctand11)(111lim10212xxxnknnnk。(2)原式nknknknnee1211lim11200darctana
36、rctan14xxxexeee。(3)xttxx020d1lim111lim02xx。(4)2cos12lim0xxdttexexxxexxxexx21sin2coslim212)sin(2coslim00。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载2、求ttxGxdsin)(3113的导函数)(xG。解:332333)1sin(3)1()1sin()(xxxxxG。3、求证下列各式:( 1)2d12312xxx;(2)xxtttt112121d1d。证明: (1)设1)(2xxxf,先)(xf求在3
37、 , 1上的最大、最小值。,)1()1)(1() 1(21)(222222xxxxxxxf由0)(xf得)3 , 1(内驻点1x,由3.0)3(,5.0)1 (,5.0) 1(fff知,21)(21xf在 3, 1上积分得2d21d)(d)21(2313131xxxfx。(2)xxxxttyyyyyyttt11211211221121d1dd11d。4、求下列积分:(1)22d1xeexx;解:22d1xeexx)1ln() 1ln(22) 1ln(1) 1(d2222eeeeexxx。(2)xxxxd3)2)(1(2;解:xxxxd3)2)(1(212)2ln2611(31d)22(3121
38、2xxxx。(3)201dxx;解:2120011d(1)d(1)dxxxxxx12220111()()122xxxx。(4)xxd) 1ln(1e0;解:uuuuuuuxxd1lndlnd )1ln(e1e1e11e0=11eeee1u。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载(5)01cos2xdx 。解:2200021cos22cos2cos2cos22xdxxdxxdxxdx5求连续函数( )f x,使它满足10()d( )sin ,(0)0f txtf xxx f. 解当0x时,令 uxt
39、 ,0t,0u;1t, ux 1ddtux,则10()df txt0( )dxf uux200( )d( )sin( )d( )sinxxf uuf xxxf uuxf xxxx,两边求导数:220( )d( )sin( )( )( )2 sincos( )2sincosxf uuxf xxxf xf xxfxxxxxfxxxx两边积分及(0)0f得:( )cossin1f xxxx6若2ln 2d6e1xtt,求. x解:令uet1,则21lnut,uuudtd122。当2ln2t时,3u;当xt时,1xeu2ln 233121d2 d2arctan11xxexettu uuuue2arct
40、an136xe,从而2lnx7求无穷积分 . (1)221d(1)xxx;解:22221111d111()darctan1(1)14xxxxxxxx(2)2d45xxx. 解22dd(2)arctan(1)45(2)1xxxxxx8设1,011,01exxxfxx当时当时,求2 0(1)df xx. 解:2101 0110(1)d( )d( )d( )df xxf uuf uuf uu01011010011011ed(1+ )ddd1e11e1d(1+e)d(1+ )ln(1e)1e1uuuuuuuuuuuuu9设0x时,220( )()( )dxF xxtftt 的导数与2x 是等价无穷小,
41、其中f具有二阶连续导数 . 试求(0)f. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载解:依题意有2222000222000()( )d )( )d( )d )( )1limlimlimxxxxxxxtfttxfttt fttFxxxx220020002( )d( )( )2( )d2( )1limlimlim(0)12xxxxxxfttx fxx fxfttfxfxx本章复习题 B一、选择题1设( )f x,a b 上连续,则( )f x 在,a b 上的平均值是() A( )( )2f bf aB
42、( )dabf xxC1( )d2baf xxD1( )dbaf xxba2设函数3( )( )dxaxf tt ,则( )x() A( )f xB3()f xC23( )x f xD233()x f x3 设( )f x 是连续函数, 且为偶函数, 则在对称区间,a a 上的定积分( )aaf x dx() A0B02( )daf xxC0( )daf xxD0( )daf xx4利用定积分的有关性质可以得出定积分111211(arctan )(cos )dxxx() A1112102(arctan )(cos )dxxxB0C12102cosdx xD25已知函数20d(1)xtyt,则(
43、1)y() A12B14C14D126设011( )d( )22xf ttf x,且(0)1f,则( )f x() A2exB1e2xC2exD21e2x7设( )f x 在,a b 上连续,( )F x 是( )f x 的一个原函数, 则0()( )limxF xxF xx( ) A( )F xB( )f xC0D( )fx8 若( )yf x 与( )yg x 是两条光滑曲线(其中 , xa b ) ,则由这两条曲线及直线xa ,xb所围的平面区域的面积为() A( )( )dbafxg xxB( )( )dbag xfxxC( )( ) dbaf xg xxD( )( )dbaf xg
44、xx一、选择题答案1D 2D 3B 4 C 5B 6C 7B 8 C二、填空题110limdnnxx. 23523(sin3)dxxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页优秀学习资料欢迎下载3设y是方程22200e dcosd0yxtttt所确定的 x 的函数,则ddyx . 4设( )f x 是连续函数,2e( )( )dxxF xf tt ,则(0)F. 5已知(0)1,(2)3,(2)5,fff则20( )dxfxx. 6无穷积分1dpxx若收敛,则p. 二、填空题答案1 0 2 54 3242 cosy
45、xxe4)1 (f58 61三、计算题1利用定积分的定义或性质求下面的极限:(1)10limd1nnxxxx;解:1100111nnxdxxdxnxx1, 2,n令 n,有101n,利用夹逼准则得10lim01nnxdxxx(2)1(1)(21)limnnn nnn. 解:令nnnnnn)12()1(1lim)(limnfnln) 12ln() 1ln(ln1lim)(lnlimnnnnnnfnnln)12ln() 1ln(ln1limnnnnnnn)11ln()11ln()01ln(1limnnnnn12ln2)1ln(10dxx故nnnnnn) 12() 1(1lime4。2计算积分12 01dxx. 解: I=xx d11021021022102221dd1121d011xxxxxxxxxxIxxdxx)21ln(201)1ln(122102故 I)21ln(221。3计算广义积分222111dln(1)xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页