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1、学习必备欢迎下载数学解题方法技巧一、换元法“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y 或者把题中某一变量如x，用新变量t 的式子如 g(t)替换， 即通过令 f(x)=y 或 x=g(t)进行变量代换， 得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y 或 x=g(t) 。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代
2、换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中
3、，都有着广泛的应用。例1分解因式： (x2-x-3)(x2-x-5)-3 例2 在实数集上解方程：4141433xx例3 设 sinx+siny=1，求 cosx+cosy 的取值范围 . 例4 设 x,yR，且1422yx，求函数 f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y 的最小值和最大值。二、消元法对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。用消元法解题，具有较强
4、的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。例1解方程组：11514yxx+1=y x-y-z=6 例 2 解方程组：y-z-x=0 z-x-y= -12 例 3、设 a,b,c 均为不等于 1 的正数，若ax=by=cz0111zyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载求证：abc=1 三、待定系数法按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定
5、系数。确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。一、比较系数法比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组） ，由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即 a0xn+a1xn-1+ +anb0xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要条件是a0=b0, a1=b1,an=bn。二、特殊值法特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式
6、恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。例1设二次函数的图象通过点A（-1，0） ，B（7，0） ， C（3，-8） ，求此二次函数的解析式。例2以 x-1 的幂表示多项式x3-x2+2x+2。例3分解因式： 6x2+xy-2y2+x+10y-12. 四、判别式法实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) 的判别式 =b2-4ac 具有以下性质：0，当且仅当方程有两个不相等的实数根0，当且
7、仅当方程有两个相等的实数根；0，当且仅当方程没有实数根。对于二次函数y=ax2+bx+c (a0)它的判别式 =b2-4ac 具有以下性质：0，当且仅当抛物线与x 轴有两个公共点；0，当且仅当抛物线与x 轴有一个公共点；0，当且仅当抛物线与x 轴没有公共点。利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。在具体运用判别式时，中的系数都可以是含有参数的代数式。例1已知关于 x 的二次方程 x2+px+q=0 有两正根求证：对于一切实数r0，方程 qx2+(p-2rq)x+1-p=0 也必有
8、两正根。例2、x,y,zR, aR+，且x+y+z=a, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载x2+y2+z2=21a2试确定 x,y,z 的取值范围。例3、已知 a,x 为实数， |a|0）（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域。（2）求鱼群年增长量的最大值。例 4：某公司有资金100 万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得的利润为投资额的20%；投资乙厂可获得的利润由公式M=19516x(M 为利润额， x 为投资额，单位均为万元)确定，问公司如何分配100
9、万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？作业：1、 设 x 的二次方程 x2-2x+lg(2a2-a)=0 有一正根和一负根，求a 的范围。2、 （1994 年高考题）在测量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a1,a2, , an共 n 个数据。我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1 ,a2 , an，推出的 a 的值。3、 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少
10、货。通过一番调查，确定的需求关系是 p=-750x+15000 （p 为零售商进货的总数量，x 为每双鞋的出厂价） ， 并求得工厂生产塑料鞋固定成本是7000 元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4 元，为了获得最大利润，工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为2400 米3，深为 6 米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a 元，池底每平方米粉的造价为 2a 元，则如何建造才能使总造价为最小。4、 某一信托公司，考虑投资1600 万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每年年底可获利600万元，假设银行每年复利计息，利率为10%。若需要在三年内收回全部投资，每年至少应
11、该收益多少万元（结果保留一位小数）？七、试验法解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。例 1：在正整数集N+上解方程： xy+
12、3x-5y=3 例 2、已知方程x2+(m+1)x+2m-1=0 的两个根都是整数，求m 的整数值。例 3、求所有的实数k，使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数 。八、分类法分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数
13、学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。用分类法解题，大体包含以下几个步骤：第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A 分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，An; 第三步：在子集A1，A2，An内逐类讨论；第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的
14、灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。例 1：求方程2)lg(2lgaxx的实数解，其中a为实参数。例 2： ABC 中， AD BC 于点 D，M 是 BC 的中点，且 B=2C。求证： DM=21AB 例 3：解方程： 2|x+2|-|2x+1-1|=2x+1+1 九、数形结合法数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，
15、在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。例：方程 sinx=2x解的个数为A、1 B、2 C、3
16、 D、4 例：已知实数x,y 满足 3x+4y-1=0，求22)2() 1(yx的最小值。例：设 xR，求80817222xxxx的最小值。例：对每个实数x，记 -x,x2,x+2 三者中的最大者为F(x)，求 F(x)及 F(x)的最小值。例：如果方程 |x2-4x+3|=px 有四个不同的实数根，求p 的取值范围十、反证法与同一法反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备
17、欢迎下载反证法的解题步骤：第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。例 1：已知 A1，A2，An是凸 n 边形的 n(n3)个内角。求证：这n 个内角中至多有3 个内角是锐角。例 2：设平面 平面 ，直线 l平面 =A。求证：直线l 与平面 相交。例 3：求证：方程x=qsinx+a (0q0. 2、已知 ，（ 0，2） ，且 sin(+)=2sin。求证： 3、 在梯形 ABCD 中， E 为一腰 BC 上的一点，已知AED 的面积是梯形ABCD 的面积的一半，求证：CE=EB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
