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1、学习好资料欢迎下载排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2. 重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略3. 难点综合运用解题策略解决问题4. 学习过程 : (1) 知识梳理1分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第2 类办法中有2m种不同的方法在第n类型办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN.21种不同的方法2分步计数原理（乘法原理）：完成一件
2、事，需要分成n 个步骤，做第1 步有1m种不同的方法，做第2 步有2m种不同的方法，做第n 步有nm种不同的方法；那么完成这件事共有nmmmN.21种不同的方法特别提醒 ：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性 和并列性 ；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性 和连续性 ，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏3排列： 从 n 个不同元素中，任取m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列 ，nm时叫做 选排列 ，nm时叫做 全排列 . 4排列数： 从 n 个不同元素中，取出m(
3、m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示 . 5排列数公式：）、（NmnnmmnnmnnnnPmn,)!(!)1).(2)(1(排列数具有的性质：11mnmnmnmPPP特别提醒：规定 0!=1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载6组合： 从 n 个不同的元素中，任取m(m n)个不同元素，组成一组，叫做从n 个不同元素中取m个不同元素的一个组合
4、. 7组合数 ：从 n 个不同元素中取m(m n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号mnC表示 . 8组合数公式：)!( !) 1).(2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn组合数的两个性质：mnnmnCC；11mnmnmnCCC特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从 n 个不同元素中取出m个元素 . 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系 . (2) 典型例题考点一 : 排列问题例 1. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙
5、不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 【解析】： (1) 方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4 个位置上任选1个，有14P种站法，然后其余5 人在另外 5 个位置上作全排列有55P种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种PP方法二：由于甲不站两端， 这两个位置只能从其余5 个人中选2个人站，有25P种站法，然后中间4人有44P种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425PP方法三：若对甲没有限制条件共有66P种站法，甲在两端共有552P种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(480255
6、66种PP（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4 人进行全排列有55P种站法，再把甲、乙进行全排列， 有22P种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种PP方法二： 先把甲、乙以外的4 个人作全排列，有44P种站法，再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P种方法，最后让甲、乙全排列，有22P种方法，共有)(240221544种PPP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资
7、料欢迎下载（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4 个人站队，有44P种站法；第二步再将甲、乙排在4 人形成的 5 个空档（含两端）中，有25P种站法，故共有站法为（种）4802544PP此外，也可用“间接法”，6 个人全排列有66P种站法，由（2）知甲、乙相邻有2402255PP种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种PPP. （4）方法一： 先将甲、 乙以外的4 个人作全排列， 有44P种，然后将甲、 乙按条件插入站队，有223P种，故共有（种）（14432244PP站法 . 方法二： 先从甲、乙以外的4 个人中任选2 人排在甲、
8、乙之间的两个位置上，有24P种，然后把甲、 乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2 人作全排列有33P种方法， 最后对甲、乙进行排列，有22P种方法，故共有（种）144223324PPP站法 . （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P种，再让其他4 人在中间位置作全排列，有44P种，根据分步乘法计数原理，共有（种）484422PP站法 . 方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有22P种站法，然后考虑中间4 个位置，由剩下的4 人去站，有44P种站法，由分步乘法计数原理共有（种）484422PP站法 . （6）方法一：甲在左端的站法有55P种，乙在右端的站法有55P种，
9、甲在左端而且乙在右端的站法有44P种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P-255P+44P=504（种）站法 . 方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有55P种站法，甲在中间4 个位置之一，而乙又不在右端有441414PPP种，故共有55P+441414PPP=504（种）站法 . 考点二 : 组合问题例 2. 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人. 选派 5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员. 【解析】：（ 1）选法为（
10、种）1202436CC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）方法一：至少1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女1 男. 由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614CCCCCCCC. 方法二：因“至少1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解. 从 10 人中任选5 人有510C种选法，其中全是
11、男运动员的选法有56C种. 所以“至少有1 名女运动员”的选法（种）24656510CC. （3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为48C；“只有女队长”的选法为48C；“男、女队长都入选”的选法为38C；所以共有248C+38C=196（种）选法 . 方法二：间接法：从10 人中任选 5 人有510C种选法 . 其中不选队长的方法有58C种. 所以“至少1 名队长”的选法为510C-58C=196 种. （4）当有女队长时，其他人任意选，共有49C种选法；不选女队长时， 必选男队长， 共有48C种选法，而且其中不含女运动员的选法有45C种，所以不选女队长时的选法共有4548CC种选法
12、 . 所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849CCC种. 考点三 : 综合问题例 3.4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（ 1）为保证“恰有1 个盒不放球”，先从4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球， 3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从3 个盒子中选1 个放 2 个球，其余2 个球放在另外2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有种144221324
13、14PCCC；（2）“恰有1 个盒内有 2 个球”，即另外3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放1 个球，也就是说另外3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒内有2 个球”与“恰有1 个盒不放球”是同一件事，所以共有144 种放法 . （3）确定 2 个空盒有24C种方法； 4 个球放进 2 个盒子可分成（3，1）、（ 2，2）两类：第一类有序不均匀分组有8221134PCC种方法；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - -
14、 - - 学习好资料欢迎下载第二类有序均匀分组有622222224PPCC种方法 . 故共有842222222422113424）（PPCCPCCC种. 当堂测试1. 从 5 名男医生、 4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、 女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种【解析】：分为2 男 1 女，和 1男 2 女两大类，共有7024151425CCCC种解题策略： 合理分类与准确分步的策略2. 2020 年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其
15、中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种 B.12 种 C.18 种 D.36 种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1 人入选，先从两人中选1 人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有24331212PCC种选法（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有222P种方法，然后在剩余的 3 人中选 2 人做后两项工作， 有633P种方法 故共有363322331212PPPCC种选法解题策略 ：. 特殊元素优先安排的策略. 合理分类与准确分步的策略. 排列、组合混合问题先选后排的策略3.
16、 从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48 B.12 C.180 D.162 【解析】：分为两大类：（1）含有 0，分步：从另外两个偶数中选一个，有12C种方法，. 从 3 个奇数中选两个，有23C种方法； . 给 0 安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C种方法； .其他的 3 个数字进行全排列，有33P种排法，根据乘法原理共有10833132312PCCC种方法（ 2）不含 0，分步：偶数必然是2 和 4 ；奇数有23C种不同的选法，然后把4 个元素全排列，共44P种排法，不含0 的排法有724423PC种根据加法
17、原理把两部分加一块得108+72=180 个4. 甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学， 2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A.150 种 B.180种 C.300 种 D.345 种【解析】： 4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种，即这1 名女同学或来自甲组，或来自乙组，则
18、所有不同的选法共有345121625261315CCCCCC种选法解题策略： 合理分类与准确分步的策略5. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（）A.6 B.12 C.30 D.36 【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法可以分为两类：甲、乙所选的课程中2 门均不相同，甲先从4 门中任选 2 门，乙选取剩下的2 门，有62224CC种甲、乙所选的课程中有且只有1 门相同， 分为 2 步：从 4 门中先任选一门作为相同的课程， 有414C种选法， 甲从剩余的3 门中任选 1 门，乙从最后剩余的2 门中任选1 门，有61213
19、CC种选法，由分步计数原理此时共有24121314CCC种最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有6+24=30 种故选 C法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有362424CC种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4 门中任选两门有624C种选法，所以至少有一门不相同的选法为30242424CCC种不同的选法解题策略： 正难则反，等价转化的策略6. 用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 B.328 C.360 D.648 【解析】：第一类个位是0，共29P种不同的排法；第
20、二类个位不是0，共181814CCC种不同的解法故共有29P+181814CCC=328（个）解题策略： 合理分类与准确分步的策略.7. 从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A.85 B.56 C.49 D.28 【解析】 ：合理分类， 甲、乙全被选中， 有1722CC种选法， 甲、乙有一个被选中，有2712CC种不同的选法，共1722CC+2712CC=49 种不同的选法解题策略： （1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
21、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载8. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.4 B.18 C.24 D.30 【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有24C种不同的分法，然后三组进行全排列共33P种不同的方法； 最后再把甲、 乙分到同一个班的情况排除掉，共33P种不同的排法所以总的排法为24C33P-33P=30 种注意 : 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的
22、分法的问题解题策略 ：. 正难则反、等价转化的策略. 相邻问题捆绑处理的策略. 排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题， 判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析， 设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证， 因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -
