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1、名师总结优秀知识点基本不等式及应用一、考纲要求：1. 了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大( 小) 值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件abab2a0，b0ab三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a ，bR) (2)ab(ab2)2(a，bR) (3)a2b22(ab2)2(a ，bR) (4)baab2(a ，b 同号且不为零 ) 上述四个不等式等号成立的条件都是ab. 四、算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于
2、它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号 .五、利用基本不等式求最值：设x，y 都是正数(1) 如果积 xy 是定值 P，那么当xy 时和 xy 有最小值2P. (2) 如果和 xy 是定值 S ，那么当xy 时积 xy 有最大值14S2. 强调： 1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值 ”. 当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；2222abab2ababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师总结优秀知识点定：求
3、两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想 : 错在哪里？3、已知两正数x，y 满足 xy1，则 z(x 1x)(y 1y) 的最小值为 _解一：因为对a0，恒有 a1a2，从而 z(x 1x)(y 1y) 4，所以 z 的最小值是4. 解二： z2x2y22xyxy (2xy xy) 222xyxy22(2 1) ，所以z 的最小值是2(21)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立
4、的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x 1x)(y 1y) xy1xyyxxyxy1xyxy22xyxy2xy xy2，令 t xy，则 0t xy(xy2)214，由 f(t) t 2t在(0 ，14上单调递减，故当t 14时， f(t) t 2t有最小值334，所以当x y12时 z 有最小值254. 误区警示：已知函数，求函数的最小值和此时x的取值xxxf1)(11:()22112.fxxxxxxxx解当 且 仅 当即时 函 数取 到 最 小 值3已知函数，求函数的最小值)2(2)(xxxxf33()22223326fxxxxxxxxx解 ：当 且 仅 当即时
5、， 函 数的 最 小 值 是。23x大家把代 入看一 看， 会有什么发现？用 什么 方法求 该函 数的最小值 ？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师总结优秀知识点(1) 在利用基本不等式求最值( 值域 ) 时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y1 2x3x(x0) 有最大值126而不是有最小值126. (2) 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：若 00，b0，a b1，求证：
6、1a1b4. 练习： 已知 a、b、c为正实数，且abc1，求证： (1a1)(1b1)(1c1)8.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师总结优秀知识点考点 2利用基本不等式求最值 (1) 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2) 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例
7、4： (1) 设 0x2，求函数)2(2xxy的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1) 0x0， (2) x0，求 f(x) 12x3x 的最小值；（ 3）已知 :x0,y0.且 2x+5y=20, 求 xy 的最大值 . 4）已知y4a2 a，求y的取值范围(5) 已知 x0，y0，且 xy1，求3x4y的最小值练习：求下列各题的最值(1) 已知 x0，y0，lgx lgy 1，求 z2x5y的最小值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师总结优秀知识点 (2)x0
8、，求 f(x)12x3x 的最大值； (3)x0 ，且 aR)，当且仅当a1 时“”成立(2)baab2(a0 ，b0，a，bR)，当且仅当ab 时“”成立柯西不等式一、 二维形式的柯西不等式.),()()(22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba二、 二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1 (.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师总结优秀知识点bdacdcba2222)2(.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,()()
9、()(3(2等号成立，时当且仅当bcaddcbabdacdcba三、 二维形式的柯西不等式的向量形式.),(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。例题【5】 . 设 x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 514 70x 2y 3z 最大值为70【6】 设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为时， (x，y，z) 解(x 2y 2z)2(x2y2z2)12( 2)222 4 9 36 x 2y 2z 最小值为6， 公式法求(x ， y ， z) 此时322)2(26221222zyx32x，34y，34z练习【 8】、设25,222zyxzyxR，试求zyx22的最大值与最小值。【9】、设622,zyxzyxR，试求222zyx之最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
