《2022年基本不等式柯西不等式知识点复习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年基本不等式柯西不等式知识点复习(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、名师总结优秀知识点基本不等式及应用一、考纲要求:1. 了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大( 小) 值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件abab2a0,b0ab三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a ,bR) (2)ab(ab2)2(a,bR) (3)a2b22(ab2)2(a ,bR) (4)baab2(a ,b 同号且不为零 ) 上述四个不等式等号成立的条件都是ab. 四、算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为ab2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于
2、它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系;a,bR+:当且仅当ab时取等号 .五、利用基本不等式求最值:设x,y 都是正数(1) 如果积 xy 是定值 P,那么当xy 时和 xy 有最小值2P. (2) 如果和 xy 是定值 S ,那么当xy 时积 xy 有最大值14S2. 强调: 1、 “积定和最小,和定积最大”这两个结论时,应把握三点:“一正、二定、三相等、四最值 ”. 当条件不完全具备时,应创造条件. 正:两项必须都是正数;2222abab2ababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页名师总结优秀知识点定:求
3、两项和的最小值,它们的积应为定值;求两项积的最大值,它们的和应为定值。等:等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时,如何处理?(若最值取不到可考虑函数的单调性)想一想 : 错在哪里?3、已知两正数x,y 满足 xy1,则 z(x 1x)(y 1y) 的最小值为 _解一:因为对a0,恒有 a1a2,从而 z(x 1x)(y 1y) 4,所以 z 的最小值是4. 解二: z2x2y22xyxy (2xy xy) 222xyxy22(2 1) ,所以z 的最小值是2(21)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立
4、的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x 1x)(y 1y) xy1xyyxxyxy1xyxy22xyxy2xy xy2,令 t xy,则 0t xy(xy2)214,由 f(t) t 2t在(0 ,14上单调递减,故当t 14时, f(t) t 2t有最小值334,所以当x y12时 z 有最小值254. 误区警示:已知函数,求函数的最小值和此时x的取值xxxf1)(11:()22112.fxxxxxxxx解当 且 仅 当即时 函 数取 到 最 小 值3已知函数,求函数的最小值)2(2)(xxxxf33()22223326fxxxxxxxxx解 :当 且 仅 当即时
5、, 函 数的 最 小 值 是。23x大家把代 入看一 看, 会有什么发现?用 什么 方法求 该函 数的最小值 ?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页名师总结优秀知识点(1) 在利用基本不等式求最值( 值域 ) 时,过多地关注形式上的满足,极容易忽视符号和等号成立条件的满足,这是造成解题失误的重要原因如函数y1 2x3x(x0) 有最大值126而不是有最小值126. (2) 当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否都能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错课堂纠错补练:若 00,b0,a b1,求证:
6、1a1b4. 练习: 已知 a、b、c为正实数,且abc1,求证: (1a1)(1b1)(1c1)8.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页名师总结优秀知识点考点 2利用基本不等式求最值 (1) 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值(2) 当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法例
7、4: (1) 设 0x2,求函数)2(2xxy的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值,然后确定取得最值的条件【解】(1) 0x0, (2) x0,求 f(x) 12x3x 的最小值;( 3)已知 :x0,y0.且 2x+5y=20, 求 xy 的最大值 . 4)已知y4a2 a,求y的取值范围(5) 已知 x0,y0,且 xy1,求3x4y的最小值练习:求下列各题的最值(1) 已知 x0,y0,lgx lgy 1,求 z2x5y的最小值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页名师总结优秀知识点 (2)x0
8、,求 f(x)12x3x 的最大值; (3)x0 ,且 aR),当且仅当a1 时“”成立(2)baab2(a0 ,b0,a,bR),当且仅当ab 时“”成立柯西不等式一、 二维形式的柯西不等式.),()()(22222等号成立时当且仅当bcadRdcbabdacdcba二、 二维形式的柯西不等式的变式bdacdcba2222)1 (.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页名师总结优秀知识点bdacdcba2222)2(.),(等号成立时当且仅当bcadRdcba.),0,()()
9、()(3(2等号成立,时当且仅当bcaddcbabdacdcba三、 二维形式的柯西不等式的向量形式.),(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当kk借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对a2 + b2 + c2,并不是不等式的形状,但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。例题【5】 . 设 x,y,z R,且满足x2 y2 z2 5,则 x 2y 3z 之最大值为解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 514 70x 2y 3z 最大值为70【6】 设 x,y,z R,若 x2 y2 z2 4,则 x 2y 2z 之最小值为时, (x,y,z) 解(x 2y 2z)2(x2y2z2)12( 2)222 4 9 36 x 2y 2z 最小值为6, 公式法求(x , y , z) 此时322)2(26221222zyx32x,34y,34z练习【 8】、设25,222zyxzyxR,试求zyx22的最大值与最小值。【9】、设622,zyxzyxR,试求222zyx之最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页