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1、 本节本节,我们来学习数学上两个有名的经典不我们来学习数学上两个有名的经典不等式等式:柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式,知道它的数学知道它的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养学的美妙，提高数学素养 . 有些不等式不仅形式优美而且具有重要的有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式应用价值，人们称它们为经典不等式. 如均值不等式如均值不等式: : 问题：问题：类比类比 ，研究关于，研究关于的不等关系的不等关系.展开这个乘积，得展开这个乘积，得 由于由于 即即 而而 因此因此 从上述的探究
2、过程可以发现，当且仅当从上述的探究过程可以发现，当且仅当时，时，式中的等号成立式中的等号成立. 总结：总结：1.二维形式的柯西不等式的结构特征是什么？二维形式的柯西不等式的结构特征是什么？式左边每个括号内都是两项的平方和，右边式左边每个括号内都是两项的平方和，右边是两组数积的和平方，反映了是两组数积的和平方，反映了4个实数的特定数量关个实数的特定数量关系，排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感系，排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感. 2.注意取等号的条件注意取等号的条件. 3.这个不等式的右边还可以写成什么？何时这个不等式的右边还可以写成什么？何时取等号？取等号？ 二维形式的柯西不等式
3、的两个推论二维形式的柯西不等式的两个推论: 小试牛刀！小试牛刀！ 证明：证明：问题探究问题探究 探究探究1. 柯西不等式的几何意义（柯西不等式的向量形式）柯西不等式的几何意义（柯西不等式的向量形式） 设在直角坐标系设在直角坐标系xOy中有向量中有向量 ， 之间的夹角为之间的夹角为 ， ， 根据向量的数量积（内积）的定义，有根据向量的数量积（内积）的定义，有 所以所以 因为因为 ，所以所以 由此可知，二维形式的柯西不等式由此可知，二维形式的柯西不等式是向量形式的是向量形式的不等式不等式的坐标表示的坐标表示. 用平面（二维）向量的坐标表示不等式用平面（二维）向量的坐标表示不等式，得，得 所以所以
4、(2)上式取等号的条件是什么？上式取等号的条件是什么？ 如果向量如果向量 和和 中有中有零向量零向量，则，则ad-bc=0，以上，以上不等式取等号不等式取等号. 如果向量如果向量 和和 都不是零向量都不是零向量，则当且仅当，则当且仅当 ， 即向量即向量 和和 共线时，以上不等式取等号，共线时，以上不等式取等号， 这时存在非零实数这时存在非零实数k,使使 ，即，即 所以，所以， (3) 柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式: 由以上分析可知，不等式由以上分析可知，不等式与不等式与不等式有相有相同的意义，所以我们把不等式同的意义，所以我们把不等式柯西不等式柯西不等式的的向向量形式量形式. 探究
5、探究2.在平面直角坐标系中，设点在平面直角坐标系中，设点P1,P2的坐标为的坐标为(x1,y1)，(x2,y2),根据根据 的边长关系，你能发现的边长关系，你能发现这这4个实数蕴涵着何种大小关系吗？个实数蕴涵着何种大小关系吗？ O OO O 根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，容易发现容易发现 当且仅当点当且仅当点 与原点与原点O在同一直线上并且点在同一直线上并且点 在在原点原点O两旁时，两旁时，式中的等号成立式中的等号成立. 不等式不等式叫做二维形式的叫做二维形式的三角不等式三角不等式. 探究探究3.证明定理证明定理3（二维形式的三角不等式）：
6、（二维形式的三角不等式）：设设 ,那么那么 探究探究4.如何由不等式如何由不等式得到更一般的形式？得到更一般的形式？ 由于不等式由于不等式对于任何实数都成立，不妨用对于任何实数都成立，不妨用 代代 ， 用用 代代 ， 用用 代代 ， 用用 代代 ， 代入不等式代入不等式，得，得 探究探究5.你能结合平面直角坐标系，解释不等式你能结合平面直角坐标系，解释不等式的几何的几何意义吗？意义吗？三角形中三边之间的数量关系三角形中三边之间的数量关系.不等式不等式仍被称为二维形式的仍被称为二维形式的三角不等式三角不等式. 又又 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简可以体会到，运用柯西不等式，思路一步
7、到位，简洁明了！洁明了！合作探究合作探究 分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。 这个函数的解析式是两部分的和，若能化为这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值的形式，就能利用柯西不等式求其最大值. 解：函数的定义域为解：函数的定义域为1，5，且，且y0 当且仅当当且仅当 时等号成立，时等号成立， 即即 时函数取最大值时函数取最大值 . 点评：回顾本题的求解过程，可以体会其中式子变形的点评：回顾本题的求解过程，可以体会其中式子变形的作用，提高利用柯西不等式解题的能力。作用，提高利用柯西不等式解题的能力。 学习小结学习小结 学习小结学习小结 二维形式的三角不等式：二维形式的三角不等式： 作业：作业： P3637T19
