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1、振动与波习题课振动与波习题课 一、基本概念一、基本概念1 1、振幅：、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。2 2、周期：、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。振动物体完成一次完整振动所需要的时间。3 3、频率：、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数单位时间内振动物体完成完整振动的次数4 4、相位：、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量表示谐振动状态的最重要的物理量5 5、波长：、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长是一个波长6 6、波速：、波速：单位时间某种一定的振动状态单
2、位时间某种一定的振动状态( (或振动相位或振动相位) ) 所传播的距离称为波速所传播的距离称为波速 7 7、平均能量密度：、平均能量密度：能量密度的平均值。能量密度的平均值。8 8、平均能流密度：、平均能流密度：能流密度的平均值。能流密度的平均值。二、基本规律二、基本规律1 1、简谐振动的动力学方程、简谐振动的动力学方程2 2、简谐振动的运动方程、简谐振动的运动方程3 3、由初始条件确定、由初始条件确定4 4、简谐振动的能量、简谐振动的能量5 5、同方向、同频率简谐振动的合成：、同方向、同频率简谐振动的合成： 6、一维简谐波的波动方程：、一维简谐波的波动方程：7 7、波的干涉：频率相同、振动方
3、向相同、初位相差恒定。、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。8、驻波、驻波：振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿沿相反相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象. .波腹波腹波节波节* *9 9、多普勒效应多普勒效应：振振动动与与波波振动振动波波旋转矢量法旋转矢量法波腹波腹波节波节三、基本题型三、基本题型1 1、已知运动方程求相应物理量。、已知运动方程求相应物理量。2 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。3 3、已知一些条件给出谐
4、振动的运动方程。、已知一些条件给出谐振动的运动方程。4 4、已知波动方程求相应物理量。、已知波动方程求相应物理量。5 5、已知一些条件给出波动方程。、已知一些条件给出波动方程。6 6、能解决波的干涉问题。、能解决波的干涉问题。1. 把一单摆从平衡位置拉开把一单摆从平衡位置拉开,使悬线与竖直方向成一小使悬线与竖直方向成一小角度角度 ,然后放手任其摆动然后放手任其摆动,如果从放手时如果从放手时开始计算时间开始计算时间,此此 角是否是振动的初相角是否是振动的初相?单摆的角速度是否是振动的角频单摆的角速度是否是振动的角频率率?t=0角是振幅，振动初相位为角是振幅，振动初相位为0答答：振动的角频率振动的
5、角频率单摆的角速度单摆的角速度单摆的角速度不是振动的角频率单摆的角速度不是振动的角频率.2. 把单摆从平衡位置拉开把单摆从平衡位置拉开,使摆线与竖直方向成使摆线与竖直方向成 角角,然然后放手任其振动后放手任其振动,试判断图中所示五种运动状态所对应试判断图中所示五种运动状态所对应的相位的相位.12 /23 543 /2t=T/2t=T/4t=3T/4t=Tt=054321它们所对应的相位分别它们所对应的相位分别为为:0, /2, , 3 /2, 2 .xOX0mk1k23. 如图所示如图所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为两个轻弹簧的劲度系数分别为 , 当物体在当物体在光滑斜面上振动时光滑斜面上振动
6、时.(1)证明其运动仍是简谐运动证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振求系统的振动频率动频率.k1k2k1k2 要要证证明明一一系系统统作作简简谐谐振振动动,须须分分析析受受力力,看看是是否否满满足足简简谐谐振振动动的的受受力力特特征征(或或动动力力学学方方程程).建建立立如如图图(2)所所示示的的坐坐标标,设设系系统统的的平平衡衡位位置置为为原原点点,沿沿x轴轴物物体体受受弹弹力力和和重重力力的的分分力力.利利用用串串联联时时各各弹弹簧簧受受力力相相等等,分析在任一位置时受力和位移关系分析在任一位置时受力和位移关系.即可证即可证.证证: 设平衡时两弹簧伸长分别为设平衡时两弹簧伸长分别为x1
7、 x2, 则由物体受力平衡则由物体受力平衡,有有按按图图所所取取坐坐标标,原原点点取取在在平平衡衡位位置置,物物体体沿沿x轴轴移移动动x时时,两弹簧与分别被拉伸两弹簧与分别被拉伸 ,即即将将(1)代入代入(2),得得考虑考虑(3)与与x的表达式的表达式,得得则则物体作简谐振动物体作简谐振动,频率频率对物体分析受力对物体分析受力,有有X0mk1k2mm(a)(b)讨论讨论(1)由结果可见由结果可见,倾角倾角与弹簧与弹簧是否作简谐运动及频率无关是否作简谐运动及频率无关.弹簧无论水平、斜置还是竖直弹簧无论水平、斜置还是竖直悬挂悬挂,物体均作简谐运动物体均作简谐运动.其频率其频率相同相同.固有频率固有
8、频率.(2)如振动系统并联如振动系统并联(a)或如图或如图(b)所示所示,频率均为频率均为4. 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅(1)物体在正方向端点；物体在正方向端点；(2)物体物体 在平衡位置、向负方向运动；在平衡位置、向负方向运动；(3)物体在物体在向负方向运动；向负方向运动；(4)物体物体在在求以上各种情况的运动方程求以上各种情况的运动方程分析：要确定简谐运动方程，在已知振幅、频率分析：要确定简谐运动方程，在已知振幅、频率的情况下，关键是的情况下，关键是 确定初相位，通常有两种方法：确定初相位，通常有两种方法：1、解析法；、解析法；2、旋转矢量法。、
9、旋转矢量法。(1)物体在正方向端点物体在正方向端点(2)在平衡位置、向负方向运动在平衡位置、向负方向运动解解 由题给条件知由题给条件知可采用分析中的两种不同方法来求可采用分析中的两种不同方法来求x 1324旋转矢量法：旋转矢量法：分别画出四个分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，不同初始状态的旋转矢量图，如图所示，它们所如图所示，它们所对应的初相分别为：对应的初相分别为：则各相应状态下的运动方程为：则各相应状态下的运动方程为：5. 某振动质点的某振动质点的曲线如图所示，试求：曲线如图所示，试求：(1)运动方程；运动方程；(2)点点对应的相位；对应的相位；(3)到达点到达点相应位相应位置所需的时
10、间。置所需的时间。分析：写出运动方程，首先确定振幅、频率、初相位，曲线的分析：写出运动方程，首先确定振幅、频率、初相位，曲线的最大副值即振幅最大副值即振幅,另外两个量的通常求法：另外两个量的通常求法：1、解析法，、解析法，2、旋转、旋转矢量法。而旋转矢量法一般比较方便矢量法。而旋转矢量法一般比较方便.振振动动中中常常见见的的两两类类问题问题运动方程运动方程振动曲线振动曲线(a)(b)解解 (1)质点振动振质点振动振幅幅而由振动曲线可画出而由振动曲线可画出由图可见初相由图可见初相(2)图图(a)中点中点的位置是质点从的位置是质点从处运动到处运动到正向的端点处对应的旋转矢量图如图所示正向的端点处对
11、应的旋转矢量图如图所示1.由振动曲线求运动方程由振动曲线求运动方程;2. 应用旋转矢量法应用旋转矢量法.(3)由旋转矢量图可得由旋转矢量图可得 空盘振动系统由于下落物体空盘振动系统由于下落物体的加入的加入，振子质量振子质量发生变化，则系统发生变化，则系统的的周期周期发生变化，发生变化，初始条件初始条件也发生变也发生变化。物体落在盘中，与盘做完全非化。物体落在盘中，与盘做完全非弹性碰撞弹性碰撞, ,由动量守恒可确定由动量守恒可确定共同共同初速度，这也是系统的初速度初速度，这也是系统的初速度。但在确定初始时刻的位。但在确定初始时刻的位移时，应注意移时，应注意新振动系统的平衡位置新振动系统的平衡位置
12、应是盘和物体悬挂应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置。因此，新振动系统的初始位移，在弹簧上的平衡位置。因此，新振动系统的初始位移，就是空盘的平衡位置相对新系统平衡位置的位移。就是空盘的平衡位置相对新系统平衡位置的位移。6. 6. 如图所示一劲度系数为如图所示一劲度系数为A A的轻弹簧其下挂有一质量为的轻弹簧其下挂有一质量为mm1 1的空盘的空盘, ,现有一质量为现有一质量为mm2 2的物体从盘上方高为的物体从盘上方高为h h处自由落到盘中处自由落到盘中并和盘粘在一起振动并和盘粘在一起振动, ,问：问： (1)(1)此时的振动周期与空盘作振动此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同的周期有何不同?
13、 (2)? (2)此时的振幅为多大此时的振幅为多大? ? m2h分析分析:解解:（1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为：空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为：（2）取新系统取新系统的平衡位置为坐标原点，初始位移为空盘的平衡位置为坐标原点，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移。时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移。可知可知: 即振动周期变大了即振动周期变大了.m2hm2xox0l1l2由动量守恒由动量守恒为为物体下落至盘时的速度物体下落至盘时的速度位移位移式中式中空盘静止时弹簧的伸长量空盘静止时弹簧的伸长量物体粘在盘上后静止时弹簧的伸长量物体粘在盘上后静
14、止时弹簧的伸长量关键：确定相对于新的平衡位置的初始位移关键：确定相对于新的平衡位置的初始位移延伸：延伸： 用机械能守恒怎样求？用机械能守恒怎样求？ 谐振子系统的周谐振子系统的周期，只与弹簧的劲度系数期，只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关，粘土和振子的质量有关，粘土下落后振子的质量发生变下落后振子的质量发生变化，周期也发生变化。粘化，周期也发生变化。粘土如何下落，不影响周期，土如何下落，不影响周期，粘土下落时将改变振动系粘土下落时将改变振动系统的初始状态，因此对振统的初始状态，因此对振幅有影响。幅有影响。7. 7. 如图所示劲度系数为如图所示劲度系数为k k的轻弹簧，系一质量为的轻弹簧，系一质量
15、为mm1 1的物体的物体, ,在在水平面上作振幅水平面上作振幅 为为A A的简谐运动有一质量为的简谐运动有一质量为mm2 2的粘土，从高的粘土，从高度度h h处自由下落正好在处自由下落正好在( (a)a)物体通过平衡物体通过平衡 位置时，位置时，( (b)b)物体在最物体在最大位移处时落在物体上大位移处时落在物体上. . 分别求：分别求： (1)(1)振动周期有何变化振动周期有何变化? (2)? (2)振幅有何变化振幅有何变化? ? m1m2h分析分析:解：解：（2 2）粘土下落后的两种不同情况中，系统在粘土下落后的两种不同情况中，系统在水平方向的水平方向的动量都守恒，机械能守恒。动量都守恒，
16、机械能守恒。（1 1）下落前的周期：）下落前的周期：下落前后周期：下落前后周期：（a a） ：平衡位置时，平衡位置时，粘土落在物体前后，系统的振粘土落在物体前后，系统的振幅和速度分别为：幅和速度分别为：表明增加粘土后表明增加粘土后,物体的振幅变小了物体的振幅变小了.（b）：）：物体正好在最物体正好在最大位移时粘土落在大位移时粘土落在物体上，由物体上，由动量守恒知动量守恒知在水平方向共同速度为零在水平方向共同速度为零, ,即初始条件与不落上时相同即初始条件与不落上时相同, ,因而振幅不变因而振幅不变. .此题还可以根据公式此题还可以根据公式 求振幅，求振幅，留作练习。留作练习。 m1m2h8.8
17、. 如图所示一劲度系数为如图所示一劲度系数为k k3.12103.12102 2NmNm-1-1的轻弹簧的轻弹簧，一端固一端固定定, ,另一端连接一另一端连接一 质量为质量为mm1 1 0. 30 kg0. 30 kg的物体的物体A A上上, ,A A放置在光滑放置在光滑的水平桌面上的水平桌面上, ,物体物体A A上再放置质量为上再放置质量为m m 2 2 0.20 kg0.20 kg的物体的物体B B己己知知A A、B B间静摩擦因数为间静摩擦因数为0.50,0.50,求两物体间无相对运动时求两物体间无相对运动时, ,系统振动系统振动的的 最大能量最大能量 BA分析分析: 振动系统的总能量与
18、振幅的平振动系统的总能量与振幅的平方成正比。为求方成正比。为求A A、B B两物体无相对两物体无相对运动时的最大能量，只需确定此运动时的最大能量，只需确定此条件下的振幅，因最大加速度为条件下的振幅，因最大加速度为 故根据故根据A、B间的最大静摩擦力求出间的最大静摩擦力求出 是确定振幅的关键是确定振幅的关键无相对滑动时，无相对滑动时，A、B两物体参两物体参与振动的角频率为与振动的角频率为物体物体B在静摩擦力作用下运动，由动力学方程得在静摩擦力作用下运动，由动力学方程得:振动系统的最大能量为：振动系统的最大能量为：可得：可得：BA解：解：9. 9. 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为已
19、知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为x x1 1 =(0.05m)=(0.05m)coscos(10s(10s-1-1 )t+0.75 )t+0.75 ; x; x2 2=(0.06m)=(0.06m)coscos(10s(10s- -1 1)t+0.25)t+0.25 . . 求：求： (1)(1)合振动的振幅及初相：合振动的振幅及初相： (2)(2)若有另一同若有另一同方向、同频率的简谐运动方向、同频率的简谐运动 x x3 3=(0.07m)=(0.07m)coscos(10s(10s-1-1)t+)t+ 3 3, , 则则 3 3 为多少时为多少时, ,x x1 1+x+x3 3
20、 的振幅最大的振幅最大? ?又又 3 3 为多少时，为多少时，x x2 2+x+x3 3的振幅最的振幅最小小? ?分析分析:可采用解析法和旋转矢量法求解：由旋转矢量可采用解析法和旋转矢量法求解：由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率的简谐运动的合成可知，两个同方向、同频率的简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变。合振动合成仍为一简谐运动，其角频率不变。合振动的振幅为的振幅为 ：其大小与两个分振动的初相差（其大小与两个分振动的初相差（ 2 2 - - 1 1 ）相关。）相关。合振动的初相位为：合振动的初相位为：解：解：两个简谐运动合成的旋转矢量图为：两个简谐运动合成的旋转矢量图为： 1 1
21、2 2xAA2A1O由于：由于：合振动的振幅：合振动的振幅：合振动的初相位为：合振动的初相位为：（2 2）要使）要使x x1 1+x+x3 3 的振幅最大，则两振动同相，即：的振幅最大，则两振动同相，即： 要使要使x x2 2+x+x3 3的振幅最小，则两振动反相，即：的振幅最小，则两振动反相，即：10. 10. 有两个同方向、同频率的简谐运动，其合振动的振幅有两个同方向、同频率的简谐运动，其合振动的振幅为为0.20 0.20 mm，合振动的相位与合振动的相位与 第一个振动的相位差为第一个振动的相位差为 / /6 6，若第一个振动的振幅为若第一个振动的振幅为 0.1730.173mm求第二个振
22、动的振幅及求第二个振动的振幅及两振动的两振动的 相位差相位差. . 解：解：采用旋转矢量合成图求解。采用旋转矢量合成图求解。如图：取第一个振动的旋转矢量如图：取第一个振动的旋转矢量A A1 1沿沿oxox轴，即令其初相为零。则合振动的轴，即令其初相为零。则合振动的旋转矢量旋转矢量A A与与A A1 1之间的夹角之间的夹角 = = /6 /6 。由。由矢量合成矢量合成可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为xA A1A2由于由于A 、A1 、A2 的量值恰好满足勾股定理，的量值恰好满足勾股定理，故故A1 、A2垂直，即：垂直，即：11.机械波的波长机械
23、波的波长,频率频率,周期和波速四个量中周期和波速四个量中,(1)在在同一介质中同一介质中, 哪些量是不变的哪些量是不变的?(2)当波从一种介质进当波从一种介质进入另一种介质时入另一种介质时,那些量是不变的那些量是不变的?同一介质中波速不变同一介质中波速不变设在一种介质中设在一种介质中,波长波长,频率频率,周期和波速分别为周期和波速分别为 , ,T,u.进入另一种介质时进入另一种介质时,频率不变频率不变 ,周期不变周期不变T波速变为波速变为u1,波长变为波长变为 1= u1T.12.判断下面几种说法判断下面几种说法,哪些是正确的哪些是正确的,那些错的那些错的?(1)机械振动一定能产生机械波机械振
24、动一定能产生机械波;(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的质点振动的速度是和波的传播速度相等的;(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的质点振动的周期和波的周期数值是相等的;(4)波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上的波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上的.错错机械振动在机械振动在弹性介质弹性介质中传播形成的波中传播形成的波,叫机械波叫机械波错错对对错错13.波动的能量与哪些物理量有关波动的能量与哪些物理量有关?比较波动的能量与比较波动的能量与简谐运动的能量简谐运动的能量.从波的能量密度公式可知从波的能量密度公式可知波动的能量不但与体积有关波动的能量不但与体积有关,且与且与 ,A
25、, ,u.波动的能量与简谐运动的能量有显著的不同波动的能量与简谐运动的能量有显著的不同,在简在简谐运动系统中谐运动系统中,动能和势能有动能和势能有/2的相位差的相位差,系统的系统的机械能是守恒的机械能是守恒的.在波动中在波动中,动能和势能的变化是同动能和势能的变化是同相位的相位的,对任何体积元来说对任何体积元来说,系统的机械能是不守恒系统的机械能是不守恒的的.14.波的干涉的产生条件是什么波的干涉的产生条件是什么?若两波源所发出的波的振若两波源所发出的波的振动方向相同动方向相同,频率不同频率不同,则它们在空间叠加时则它们在空间叠加时,加强和减弱加强和减弱是否稳定是否稳定?两波的两波的相干条件：
26、相干条件：3 3）恒定的相位差）恒定的相位差2 2）相同的振动方向）相同的振动方向两波源具有：两波源具有：1 1）相同的频率）相同的频率频率不同频率不同,就不会有恒定的相就不会有恒定的相位差位差,加强和减弱不会稳定加强和减弱不会稳定.补充条件：强度相差不太大补充条件：强度相差不太大15.在驻波的同一半波中在驻波的同一半波中,其各质点振动的振幅是否相同其各质点振动的振幅是否相同?振动的频率是否相同振动的频率是否相同?相位是否相同相位是否相同?振幅是不相同振幅是不相同,振动的频率相同振动的频率相同,相位是相同相位是相同.习题习题16. 一横波在沿绳子传播时的波动方程为一横波在沿绳子传播时的波动方程
27、为(1)求波的振幅求波的振幅,波速波速,频率频率,波波长长(2)求绳上的质点振动时的最大速度求绳上的质点振动时的最大速度; (3)分别画出分别画出t=1s和和t=2s时的波形时的波形,并指出波峰和波谷并指出波峰和波谷,画出画出x=1.0m处质点的振处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同动曲线并讨论其与波形图的不同.解解:(1)已知波动方程已知波动方程为为与一般表达式与一般表达式比较比较,得得(2)绳上的质点振动速度绳上的质点振动速度(3)t=1s和和t=2s时的波形方程分别为时的波形方程分别为波形如图波形如图x=1.0m处质点的运动方程处质点的运动方程已知波动方程为已知波动方程为振动图形如图振
28、动图形如图波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,振振动图表示某确定位置的一个质点动图表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的其位移随时间变化的情况情况.17.已知一波动方程为已知一波动方程为(1)求波长求波长,频率频率,波速波速,周期周期; (2)说明说明x=0时方程时方程的意义的意义,并作图表示并作图表示.解解:已知波动方程改为已知波动方程改为与一般表达式与一般表达式比较比较,得得x=0时方程时方程表示位于坐标原点的质点的运动方程表示位于坐标原点的质点的运动方程.18. 波源作简谐运动波源作简谐运动,周期为周期为0.02s,若该振动以若
29、该振动以100m.s-1的速度沿直的速度沿直线传播线传播,设设t=0时时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动波源处的质点经平衡位置向正方向运动,求求:(1)距距波源波源15.0m和和5.0m处质点的运动方程和初相处质点的运动方程和初相;(2)距波源分别为距波源分别为16.0m和和17.0m的两质点间的相位差的两质点间的相位差.解解:(1)由题意知由题意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可可得得t=0时时,波源处的质点经平衡位置向正波源处的质点经平衡位置向正方向运动方向运动,质点的初相为质点的初相为设波源为坐标原点设波源为坐标原点距波源距波源15.0m和和5.0m处质点的运动方程为处质点
30、的运动方程为它们的初相分别为它们的初相分别为 10=-15.5 和和 20=-5.5 (2)距波源距波源16.0m和和17.0m的两点间的相位差的两点间的相位差 0=- /219.有一平面简谐波在介质中传播有一平面简谐波在介质中传播,波速波速u=100m.s-1,波波线上右侧距波源线上右侧距波源o(坐标原点坐标原点)为为75.0m处的一点处的一点P的运的运动方程为动方程为求求(1)波向波向x轴正方向传播时的波动方程轴正方向传播时的波动方程;(2)波向波向x轴负方向传播时的波动方程轴负方向传播时的波动方程;解解波函数就是普适性的振动方程波函数就是普适性的振动方程. .把把x=75.0m代入向代入
31、向x轴正方向传播时波动方程的轴正方向传播时波动方程的一般形式与一般形式与P点的振动方程进行比较点的振动方程进行比较得得:(2)波向波向x轴负方向传播时的波动方程轴负方向传播时的波动方程;把把x=75.0m代入向代入向x轴负方向传播时波动方程的轴负方向传播时波动方程的一般形式与一般形式与P点的振动方程进行比较点的振动方程进行比较得得:20.图示为平面间谐波在图示为平面间谐波在t=0时的波形图时的波形图,设此简谐波的频率为设此简谐波的频率为250Hz,且此时图中点且此时图中点P的运动方向向上的运动方向向上.求求(1)该波的波动方程该波的波动方程;(2)在距原在距原点点7.5m处质点的运动方程与处质
32、点的运动方程与t=0时该点的振动速度时该点的振动速度.解解确定坐标原点的振动初相确定坐标原点的振动初相 0 0(1)由图得由图得:u u根据根据t=0点点P的运动方向向上的运动方向向上可知波沿可知波沿Ox轴负向传播轴负向传播.t=0时位于原点处的质点时位于原点处的质点将沿将沿oy轴的负方向运动轴的负方向运动.yoA/2(2)在距原点在距原点7.5m处质点的运动方程处质点的运动方程.t=0时该点的振动速度时该点的振动速度21. 平面简谐波以波速平面简谐波以波速u=0.50m.s-1沿沿x轴负向传播轴负向传播,t=2s时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示,求原点的运动方程求原点的运动方程.u ut
33、=2s解解确定坐标原点的振动初相确定坐标原点的振动初相 0 0由图得由图得:根据根据t=2s原点处质点处于平衡原点处质点处于平衡位置且向上运动位置且向上运动 =3 /2yot=2t=0原点的运动方程原点的运动方程u ut=2st=0yo波形平移法波形平移法根据根据t=0原点处质点处于平衡原点处质点处于平衡位置且向下运动位置且向下运动t=0解法解法222.有一波在介质中传播有一波在介质中传播,其波速其波速u=1.0103m.s-1,振幅振幅A= 1.010-4m,频率频率 = 1.0103Hz,若介质的密度为若介质的密度为= 8.0102kg.m-3,求求:(1)该波的能流密度该波的能流密度;(
34、2)1min内垂直内垂直通过通过4.010-4m2的总能量的总能量.解解(1)能流密度能流密度I的表达式的表达式得得(2)1min内垂直通过内垂直通过4.010-4m2的总能量的总能量23.如图所示如图所示,两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A,B点点,设它们相位相同设它们相位相同,且频率且频率 =30Hz,波速波速u=0.50m.s-1.求点求点P处两列波的相位差处两列波的相位差.ABP0.07m3m解解点点P处两列波的波程差处两列波的波程差相位差相位差24.如图所示如图所示,两相干波源分别在两相干波源分别在P,Q两点两点,它们发出频率为它们发出频率
35、为 ,波长为波长为 ,初相相同的两列相干波初相相同的两列相干波,设设PQ=3 /2,R为为PQ连连线上的一点线上的一点.求求（1）自）自P,Q发出的两列波在发出的两列波在R处的相位差；处的相位差；（2）两波在）两波在R处干涉时的合振幅处干涉时的合振幅.PQR3 /2解解R处两列波的相位差处两列波的相位差合振幅合振幅25.图是干涉型消声器结构的原理图图是干涉型消声器结构的原理图,利用这一结构可以消除噪声利用这一结构可以消除噪声,当发动机排气噪声声波经管道到达点当发动机排气噪声声波经管道到达点A时时,分成两路而在点分成两路而在点B相遇相遇,声波因干涉而相消。如果要消除频率为声波因干涉而相消。如果要
36、消除频率为300赫兹的噪声，求图中弯赫兹的噪声，求图中弯道与直管长度差道与直管长度差, r=r2-r1至少应为多少至少应为多少?(设声速为设声速为340m.s-1)ABr2r1解解声波从点声波从点A分开到点分开到点B相遇相遇,两两列波的波程差列波的波程差两列波的相位差两列波的相位差由干涉相消条件由干涉相消条件令令k=0得得 r至少应为至少应为26.一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过通过A点时作为计时起点点时作为计时起点( t = 0 )，经过，经过2秒后质点第一秒后质点第一次经过次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经过秒后质点第二
37、次经过B点，若已点，若已知该质点在知该质点在A、B两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且 AB= 10 cm 求：求： (1) 质点的振动方程；质点的振动方程； （2）质点在）质点在A点处的速率点处的速率 ABxoxt=0ABt=2st=4s解解:由旋转矢量图和由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知可知 T/2 = 4秒，秒， T = 8 s， = (1/8) s-1， = 2 = ( /4) s-1 当当t = 0 时，质点在时，质点在A点点 m/s27.一一木木板板在在水水平平面面上上作作简简谐谐振振动动,振振幅幅是是12cm,在在距距平平衡衡位位置置6cm处处速速度度是是24
38、cm/s。如如果果一一小小物物块块置置于于振振动动木木板板上上,由由于于静静磨磨擦擦力力的的作作用用,小小物物块块和和木木板板一一起起运运动动(振振动动频频率率不不变变),当当木木板板运运动动到到最最大大位位移移处处时时,物物块块正正好好开开始始在在木木板上滑动板上滑动,问物块与木板之间的静摩擦系数问物块与木板之间的静摩擦系数为多少为多少? 解：设振动方程为解：设振动方程为28.如图所示，质量如图所示，质量M 的笼的笼子，用轻弹簧悬挂起来，弹子，用轻弹簧悬挂起来，弹簧的倔强系数为簧的倔强系数为k,初始静止初始静止在平衡位置。今有在平衡位置。今有 m的油灰的油灰由距离笼底高由距离笼底高h 处自由
39、落到处自由落到笼底上，求笼子的振动方程笼底上，求笼子的振动方程 hmM解：物理过程解：物理过程（1）m刚要与刚要与M碰撞时的速度为：碰撞时的速度为：（2）m、M在碰撞过程中，满足动量守恒在碰撞过程中，满足动量守恒（3）选取坐标如图）选取坐标如图mMox29. 两两个个完完全全相相同同的的轮轮相相向向高高速速旋旋转转，轴轴在在同同一一平平面面上，间距上，间距d=10cm，板与轮间的摩擦系数，板与轮间的摩擦系数=0.25，（1）求证：此振动为简谐振动；求证：此振动为简谐振动；（2）求出该振动的振动周期。）求出该振动的振动周期。 d解：力矩平衡解：力矩平衡NAd=Mg(d/2-x) NBd=Mg(d
40、/2+x)F=fA-fB= NA-NB= - 2Mgx/d=MaxfAyBAONANBfBMg30.如如图图所所示示，两两相相干干波波源源S1和和S2的的距距离离为为d =30m，S1和和S2都都在在x 坐坐标标轴轴上上，S1位位于于坐坐标标原原点点O,设设由由S1和和S2分分别别发发出出的的两两列列波波沿沿x轴轴传传播播时时，强强度度保保持持不不变变.x1 = 9m和和x2 = 12m 处处的的两两点点是是相相邻邻的的两两个个因因干干涉涉而而静静止止的的点点，求求:两波的波长。两波的波长。dOxS1S2由由题中已知条件题中已知条件31. 如如图图所所示示，原原点点O是是波波源源，振振动动方方
41、向向垂垂直直于于纸纸面面，波波长长是是 ，AB为为波波的的反反射射平平面面，反反射射时时无无半半波波损损失失。O点点位位于于A点点的的正正上上方方，AO = h，Ox轴轴平平行行于于AB，求求Ox轴上干涉加强点的坐标（限于轴上干涉加强点的坐标（限于x 0)hOAxBxhOAB P解：沿解：沿ox 轴传播的波与从轴传播的波与从AB面上面上P点反射来的波在坐标点反射来的波在坐标x处相遇，两波的波程差为：处相遇，两波的波程差为：（当（当x=0时由时由4h2-k2 2=0可得可得k=2h/ .)32. 振振幅幅为为A，频频率率为为 ，波波长长为为 的的一一简简谐谐波波沿沿弦弦线线传传播播，在在自自由由
42、端端A点点反反射射（如如图图），假假设设反反射射后后的的波波不不衰减，已知：衰减，已知：OA = 7 /8，OB = /2，在，在t = 0时，时，x = 0处处媒媒质质质质元元的的合合振振动动经经平平衡衡位位置置向向负负方方向向运运动动。求求B点处入射波和反射波的合成振动方程。点处入射波和反射波的合成振动方程。OyxBA解：设入射波的表达式为解：设入射波的表达式为则则反射波反射波的表达式为的表达式为驻波的表达式为驻波的表达式为 OyxBAB点点(x= /2)的振动方程为的振动方程为(其中其中l= OA = 7 /8) :33.如图所示为一平面简谐波在如图所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形
43、图时刻的波形图求（求（1）波动方程波动方程 （2）P点处质点的振动方程点处质点的振动方程（已知（已知A、u、 ）解：设原点处质点的振动方程为解：设原点处质点的振动方程为OyX-. PuAt=2s时时O点位相点位相波动方程波动方程（2）P点振动方程点振动方程34.如图有一平面简谐波在空间传播，已知如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为点的振动方程为（1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程）分别就图中的两种坐标写出其波动方程（2）写出距）写出距P点为点为b的的Q点的振动方程点的振动方程OPQXYuPQXOYu原点的振动方程原点的振动方程波动方程波动方程原点的振动方程原点的振动方程波动方程波动方程OPQXYuPQXOYu（2）写出距）写出距P点为点为b的的Q点的振动方程点的振动方程
