2022年容斥原理题库教师版

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1、2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 1 of 131. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABABUI(其中符号“U ”读作“并” ，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思) 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:A表示小圆部分，B表

2、示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集 ABU的元素的个数，可分以下两步进行：第一步： 分别计算集合AB、的元素个数， 然后加起来， 即先求AB( 意思是把AB、的一切元素都 “包含”进来，加在一起) ；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CABI( 意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元

3、素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABCUUIIIII图示如下：知识精讲教学目标7-7 容斥原理1先包含AB重叠部分ABI计算了2次，多加了1次；2再排除ABABI把多加了1次的重叠部分ABI减去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 2 of 13在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图( 韦恩图 ) 来帮助分析思考板块一、两量重叠问题【例 1】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放

4、成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图32厘米4厘米【解析】 两 个长方形如图摆放时出现了重叠( 见图中的阴影部分) ，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，被覆盖面积长方形面积之和 - 重叠部分于是，被覆盖面积4222212( 平方厘米 ) 【巩固】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】 因 为 焊 接 部 分 为 两 根 铁 条 的 重 合 部 分 ， 所 以 ， 由 包 含

5、 排 除 法 知 ， 焊 接 后 这 根 铁 条 长3853487( 厘米 ) 【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357( 厘米 ) 【例 2】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人， 参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】 如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C( 阴影部分 ) 表示同时参加两个小组的人图中A圆不含阴影的部分表示只参

6、加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216( 人) ；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的例题精讲图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数1先包含：ABC重叠部分ABI、BCI、CAI重叠了2次，多加了1次2再排除：ABCABBCACIII重叠部分ABCII重叠了3次，但是在进行ABCABBCACIII计算时都被减掉了3再包含：ABCABBCACABCIIIIICBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲.

7、重叠问题教师版page 3 of 13人，有29 1217( 人) 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745( 人) 方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：28291245(人) 【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义如图，A圆表示学画画的人，B圆表示

8、学钢琴的人，C表示既学钢琴又学 画 画的 人， 图 中A圆 不含 阴 影的 部分 表 示只 学画 画 的人 ，有 ：43376(人) ，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721( 人) 【例 3】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】 不妨用下图来表示：线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数根据题意，做

9、完语文作业的有37人，即37AC做完数学作业的有42人，即42DB374279ACDB( 人)L L L L48AB( 人)L L L L式减式，就有794831DC( 人)所以，数学、语文作业都做完的有31人【巩固】四年级科技活动组共有63人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人每个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】 因423476，7663，所以必有人同时完成了这两项活动由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234( 完成了两项活动的人数)

10、全组人数，即76( 完成了两项活动的人数 )63由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313( 人) 也可画图分析【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10 人，能表演跳舞的有18 人，两种都能表演的有 7 人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721( 人) 【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】 如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人图中A

11、圆不含阴影的部分表CBA两项比赛都参加的只参加军棋比赛的只参加象棋比赛的BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 4 of 13示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814( 人) ；图中B圆不含阴影的部分表示只参加 军 棋 比 赛 不 参 加 象 棋 比 赛 的 人 ， 有28 1810( 人 ) 由 此 得 到 参 加 棋 类 比 赛 的 人 有14181042( 人) 或者根据包含排除法直接得：32281842( 人) 【例 4】( 第二届

12、小学迎春杯数学竞赛) 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：100 1090( 人) 又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515( 人) 从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83 1568( 人) 就是既懂英语又懂俄语的旅客方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068ABABABUI( 人) 【巩固】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人问：两门都在

13、95分以上的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数， 长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225( 人) 根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510( 人) 【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】 已知全

14、班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数根据包含排除法知，该班至少参加了一个 小 组 的 总 人 数 为1223530( 人 ) 所 以 ， 该 班 未 参 加 美 术 或 音 乐 小 组 的 人 数 是463016( 人) 【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236( 人) ，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369( 人) 【巩固】某次英语考试

15、由两部分组成，结果全班有12人得满分， 第一部分有25人做对， 第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？【解析】 如 图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213( 人) 又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136( 人) 必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人【巩固】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人两项都会的有10人，两项都不会的有9人这个班一共有多少人

16、？两门都不在95分以上的数学95分以上的语文95分以上的两门95分以上的AB两部分全对的两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的会打篮球的会游泳的两项都会的两项都不会的BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 5 of 13【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：2025 1035( 人)

17、，全班人数为：35944( 人) 【例 5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数由图中可以看出， 全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640( 人) ，而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715( 人) 【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68

18、块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】 68 块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060( 块)，这是两个丙组擦的玻璃数60230( 块) 丙组擦了30块玻璃乙组擦了：683038( 块) 玻璃，甲组擦了：523022( 块 ) 玻璃【巩固】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16 幅画不是六年级的，有15 幅画不是五年级

19、的，五、六年级共展出25 幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】 通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25 幅画，进而可以求出五年级画作有13 幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3 幅【例 7】一次数学测验， 甲答错题目总数的14，乙答错 3 道题， 两人都答错的题目是题目总数的16。 求甲、乙都答对的题目数. 【解析】 ( 法一 ) 设共有 n 道题。由右图知d 即为所求，并有关系式(1)43(2

20、)(3)6naccbnc由知 ,n 是 4 和 6 的公倍数，即12 的倍数。将代入，有36nb，由于 b 是非负整数， 所以 n=12，由此求出c=2，b=1，a=1. 又由 a+b+c+d=n，得到 d=n-（a+b+c)=8 （法二）显然两人都答错的题目不多于3 道，所以题目总数只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答错题目总数是整数. AB既采樱桃又采杏的既没采樱桃又没采杏的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 6 of 13【例 8】在

21、1100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？【解析】 如图，用长方形表示1100的全部自然数，A圆表示1100中3的倍数，B圆表示1100中5的倍数， 长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数由1003331L可知，1100中3的倍数有33个；由100520可知，1100中5的倍数有20个；由 10035610L（）可知，1100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个由包含排除法，3或5的倍数有：3320647( 个) 从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753( 个) 【巩固】在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被5 除尽，又不能被7 除尽的数有

22、多少个? 【解析】 11000 之间， 5 的倍数有10005=200 个， 7 的倍数有10007=142 个，因为既是5 的倍数，又是 7 的倍数的数一定是35 的倍数，所以这样的数有100035=28 个所以既不能被5 除尽，又不能被7 除尽的数有1000-200-142+-28=686个【巩固】求在 1 至 100 的自然数中能被3 或 7 整除的数的个数。【解析】 记 A ：1100 中 3的倍数，100 3331L L，有 33 个；B：1100 中 7 的倍数，1007142L L，有 14 个；BA：1100 中 3和 7 的公倍数，即21 的倍数，10021416L L，有

23、4 个。依据公式， 1100 中 3 的倍数或7 的倍数共有33 14443个，则能被3 或 7 整除的数的个数为 43 个 . 【巩固】50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1，2，3， 49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名? 【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4 的倍数，又不是6 的倍数；第二类是标号既是4 的倍数又是6 的倍数150 之间， 4 的倍数有504=12,6 的倍数有506=8，即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数一定是 12的倍数，所以有50

24、12=4于是，第一类同学有50-12-8+4=34 人，第二类同学有 4 人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师【巩固】在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2 的倍数，奖2 支铅笔；（2）标签号为3 的倍数，奖3 支铅笔；（3）标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖；AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 7 of 13（4）其他标签号均奖1 支铅笔那么游艺会为

25、该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 【解析】 1100，2 的倍数有1002=50， 3 的倍数有1003=33 个，因为既是2 的倍数，又是3 的倍数的数一定是6 的倍数，所以标签为这样的数有1006=16 个于是，既不是2 的倍数，又不是3 的倍数的数在1100 中有 100-50-33+16=33 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：502+333+331=232 支 . 板块二、三量重叠问题【例 9】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人其中手中有红、 黄、蓝三种小旗的有6人而手中只有红、黄两种小旗的

26、有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【解析】 如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去， 那么，全班人数为：342618943（）（）6250( 人) 【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解

27、析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人根据包含排除法， 4226171994（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0），得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427( 人) 【例 10】 四年级一班有46 名学生参加3 项课外活动其中有24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35 倍，又是 3 项活动都参加人数的7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3 项都参加的人数的2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10 人求参加文艺小组的人数【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组

28、的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集 合G 三 者 都 参 加 的 学 生 有z人 有ABCUU=46，A=24，B=20 ，C=3.5 ，ACI=7ABCII，BCI=2ABCII，ABI=10因为ABCABCABACBCABCUUIIIII，所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3，即三者的都参加的有3 人那么参加文艺小组的有37=21 人【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8 人

29、，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9 人，语文、美术、自然3 科兴趣小组都参加的有4 人求这个班的学生人数【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 8 of 13人组成集合CA=25，B=35，C=27，BCI=12，ABI =8 ，ACI=9，ABCII=4. ABCUU=ABCABACBCABCIIIII. 所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+3

30、5+27-12-8-9+4=62 ， 而这个班每人至少参加一项即这个班有62 人【巩固】五年级三班有46 名学生参加三项课外活动，其中24 人参加了绘画小组，20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5 倍，又是三项活动都参加人数的7 倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10 人，求参加朗诵小组的人数。【解析】 设三项都参加的人数有X人，则参加朗诵小组的人数为7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为 2X人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为2X人，于是有46=（24+20+7X- 2X-

31、2X-10+X），解得X=3,所以参加朗诵小组的人数为21 人。【例 11】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上( 如图 ) ，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？【解析】 将图中的三个圆标上A、B、C根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积(A圆面积B圆面积C圆面积）（ A与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合部分面积）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A（）（与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合部分面积10）， 得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：16010060平方厘米，而这个面积对

32、应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103阴影部分面积， 则阴影部分面积为：603030( 平方厘米 ) 【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3 个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而 3 个圆覆盖的总面积为73求阴影部分的面积【解析】 设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合CABC=30，ABI=6，BCI=8，ACI=5，ABCUU=73，而ABCUU=ABCABBCACABCIIIII. 有 73=30 3-6-8-5+ABCII，即ABCII=2，即甲、乙、丙三者的公共面积( 部分面积 )为 2那么只是甲与乙( )

33、 ，乙与丙 ( ) ，甲与丙 ( ) 的公共的面积依次为6-2=4 ，8-2=6 ，5-2=3 ，所以有阴影部分( 、部分之和) 的面积为73-4-6-3-2=58【例 12】 如图，三角形纸板、 正方形纸板、 圆形纸板的面积相等，都等于 60 平方厘米 阴影部分的面积总和是40 平方厘米， 3 张板盖住的总面积是100 平方厘米， 3 张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【解析】 阴 影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次所以三张纸重叠部分的面积603 10040220（）( 平方厘米 ) 【巩固】 如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状

34、的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3求A与C公共部分的面积是多少？【解析】 设A与C公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得： 先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：1228 1656，那么CBA10ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 9 of 13每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉 再“排除”：5687x，这样一来，三个图形的公

35、共部分被全部减掉，因此还要再补回 再“包含”：56873x，这就是三张纸片覆盖的面积根据上面的分析得：5687338x，解得：6x【例 13】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？【解析】 如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人 根据包含排除法， 总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋糕的人数）（带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋糕的人数带鸡腿

36、、 芝 士 蛋 糕 的 人 数）三 种 都 带 了 的 人 数 ， 即10664321（）（） 三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10 100(人) 求只带一种的人数，只需从10 人中减去带了两种的人数，即103214（）( 人) 只带了一种的有4人【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要【解析】 根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数( 要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数)( 要可乐、

37、雪碧的人数要可乐、 橙汁的人数要雪碧、 橙汁的人数 )三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：55532219（）（）( 人 )1091( 人) ，所以其中有1人这三种饮料都没有要【例 14】 (2008 年西城实验考题) 新年联欢会上， 共有 90 人参加了跳舞、 合唱、 演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4 人； 50 人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人【巩固】设只参加合唱

38、的有x 人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50 1040人，即340xx，得10x，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人” ，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人【巩固】五一班有28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6 个同学参加数学与自然

39、小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3 个小组全参加的人数的5 倍，并且知道3 个小组全参加的人数是一个不为0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【解析】 参加 3 个小组的人数是一个不为0 的偶数，如果该数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6 个，这样至少应有30 人，与题意矛盾， 所以参加3 个小组的人数为2。仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与自然、 仅参加数学与自然和参加3 个小组的人数一共是18 人，剩下的 10 人是仅参加BAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

40、 - - - - - - -第 9 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 10 of 13数学与语文以及仅参加数学的。由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人。【巩固】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？【解析】 由条件可知，参加长跑的人中有2 人参加其它项目，参加跳高的人中有3 人参加其它项目，参加标枪的人中有4 人还参加别的项目，假设

41、只参加长跑和跳高的人数为x， 只参加长跑和标枪的人数为y， 只参加标枪和跳高的有z 人，三项都参加的有n 人. 那么有以下方程组：由条件可知，参加长跑的人中有2 人参加其它项目，参加跳高的人中有3 人参加其它项目，参加标枪的人中有4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z 人，三项都参加的有n 人. 那么有以下方程组：xyn2xzn3zyn4将 3 条等式相加则有2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是 1或 3、5、7，如果n3 时 x、y、z 中会出现负数. 所以 n=1，这样可以求得x=

42、0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-21=40 人. 将 3 条等式相加则有2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，n 只能是 1或 3、5、7，如果n3 时 x、 y、z 中会出现负数 . 所以 n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-21=40 人. 【例 15】 全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有6个人数学不及格，那么， 数学成绩优秀

43、的有几个学生？ 有几个人既会游泳，又会滑冰？【解析】 有6个数学不及格，那么及格的有：25619( 人) ，即最多不会超过19人会这三项运动之一而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：17138219（）( 人) 至少会这三项运动之一于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的 上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车所以，全班有19172(

44、 人) 既会游泳又会滑冰【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人， 参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同， 参加E组的人数最少，只有4人那么，参加B组的有 _人【解析】 参加B，C，D三组的总人数是3615417( 人 ) ，C，D每组至少5人，当C，D每组6人时，B组为5人，不符合题意，所以参加B组的有17557( 人 ) 【例 16】 以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【解析】 以 105 为分母的最简真分数的分子与105 互质， 105=357，所以也是求1到 105 不是 3、5、7科

45、学 51人文艺 56人17154体育 55人x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 11 of 13倍数的数有多少个，3 的倍数有35 个， 5 的倍数有21 个， 7 的倍数有15 个， 15 的倍数有7 个，21 的倍数有5 个， 35 的倍数有3 个， 105 的倍数有1 个，所以105 以内与105 互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与 105 互质，那么（105-n ）与 n 互质，所以以105为分母的

46、48 个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24. 【巩固】 分母是 385 的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【解析】 385=5711，不超过385 的正整数中被5 整除的数有77 个；被 7 整除的数有55 个；被 11 整除的数有35 个；被 77 整除的数有5 个；被 35 整除的数有11 个；被 55 整除的数有7 个；被 385整除的数有1 个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385 也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数 1，所以这些真分数的和为1

47、20. 【例 17】 (2008年西城实验考题) 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是3、5、7 中两个数的倍数的数共有个【解析】 1 到 2008 这 2008 个自然数中， 3 和 5 的倍数有200813315个， 3 和 7 的倍数有20089521个，5 和 7 的倍数有20085735个， 3、5 和 7 的倍数有200819105个所以，恰好是3、5、7 中两个数的倍数的共有133 1995 1957 19228个【巩固】有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3， 2000，然后将编号为2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为3

48、的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？【解析】 三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5 的倍数的数以及是6、 10、15 的倍数但不是30 的倍数的数。 12000 这 2000 个正整数中， 2 的倍数有1000个， 3的倍数有666 个， 5 的倍数有400 个， 6的倍数有333 个， 10 的倍数有 200 个， 15 的倍数有133 个， 30 的倍数有66 个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2（333+200+133）-466=1002 盏。【巩固】在从 1 到 1998 的自然数中， 能被 2 整除，但不能被3

49、或 7整除的数有多少个？【解析】ab表示取商的整数部分例如，732要注意的是， 符号与、符号一样，也是一种运算，叫取整运算本题中，先求出能被2 整除的数有多少个，再分别求出能被2 和 3、能被 2和 7 分别整除的数的个数，那么用能被2 整除的数的个数减去能被2 和 3整除的数的个数，再减去能被2 和 7 整除的数的个数， 所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7 整除的数故能被 2 整除的有：19982999( 个) 能被 2 和 3 同时整除的有：199823 333（）( 个) 能被 2 和 7 同时整除的有：199827 142（）能被 2、

50、3、7 同时整除的有：1998237 47（）( 个) 所以，能被2 整除，但不能被3 或 7 整除的数有999333 14247571( 个) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 12 of 13练习 1.一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠( 见图中的阴影部分) ， 重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如果利用

51、两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以， 组合图形的面积长方形面积之和重叠部分于是，组合图 形的面积12 810644140( 平方厘米 ) 练习 2.科技活动小组有55人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？【解析】 因为403272，7255，所以必有人两项制作都完成了由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032完成了两项

52、制作的人数，即5572完成了两项制作的人数所以，完成了两项制作的人数为：725517( 人) 练习 3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【解析】 如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数前100个自然数中能被2整除的数有：100250( 个)由1003331L知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个由 10023164L（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数因为A，B都包含C，根据包含排

53、除法得到，能被2或3整除的数有：5033 1667(个) 练习 4.六年级100 名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的55 人，爱好文艺的56 人，爱好科学的51 人，三项都爱好的15 人，只爱好体育和科学的4 人，只爱好体育和文艺的17 人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？【解析】 只是 A 类和 B 类的元素个数，有别于容斥原理中的既是A 类又是 B 类的元数个数依题意，画 图 如 下 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有x 人 由 容 斥 原 理 ， 列 方 程 得55565117154151515100x（）（）（）即55

54、5651 174152100x111100x11x只爱好体育的有：55 1715419( 人 ) 测试 1、如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠( 见图中的阴影部分) ，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，月测备选课后练习图 364681064812CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13

55、页2010 年暑假 .三年级 .第 3 讲. 重叠问题教师版page 13 of 13而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，组合图形的面积长方形面积正方形面积重叠部分于是，组合图形的面积：8 6664468( 平方厘米 ) 测试 2、四 ( 二) 班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人 问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？【解析】 由题意，有48642( 人) 至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：3020428( 人) （2）只 写完 语文 作业 的人 数写 完语 文作 业的 人数

56、 - 语 文数 学都 写完 的人 数， 即30822( 人) 测试 3、在自然数1 100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【解析】1003331L，100520， 10035610L（）根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647( 个) 测试 4、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【解析】

57、 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130人把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去， 但是， 同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有： 13018109598（）( 人) 或者根据学过的公式：ABCABCABBCACABCUUIIIII，参加棋类比赛的总人数为：425533 18109598( 人 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页