《2022年北师大版数学导学案第一章》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年北师大版数学导学案第一章(30页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载 1.1.1 集合的含义与表示( 1)学习目标1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程一、课前准备集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上。二、新课导学 探索新知探究 1:考察几组对象: 120 以内所有的质数; 到定点的距离等于定长的所有点; 所有的锐角三角形;2x , 32x, 35yx , 22xy ;方程230xx的所有实数根;试回答:各组对象分别是
2、一些什么?有多少个对象?新知 1:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些不同的确定的元素组成的总体叫做集合. 试试 1:探究 1 中都能组成集合吗,元素分别是什么?探究 2: “好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?新知 2:集合元素的特征对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合. 试试 2:分析下列对象,能否构成集合,
3、并指出元素: 不等式30x的解; 3的倍数; 方程2210xx的解; a,b,c,x,y,z; 最小的整数; 周长为 10 cm的三角形; 中国古代四大发明; 全班每个学生的年龄; 地球上的四大洋; 地球的小河流 . 探究 3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢?新知 3:集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说a 属于 (belong to)集合 A,记作: aA;如果 a 不是集合A 的元素,就说a 不属于 (not belong to)集合 A,记作: aA. 试试 3: 设 B 表示“5 以内的自然数” 组成的集合
4、,则 5 B,0.5 B, 0 B, 1 B. 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢?新知 4:常见数集的表示非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作N;正整数集:所有正整数的集合,记作N*或 N+;整数集:全体整数的集合,记作Z;有理数集:全体有理数的集合,记作Q;实数集:全体实数的集合,记作R. 试试 4:填或:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z,3Q,32R. 探究 5:探究 1 中分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描述一个集合 . 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢?新知 5:列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号“
5、 ”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法. 注意:不必考虑顺序,“,” 隔开; a 与 a不同 . 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示. 典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页学习必备欢迎下载例 1 用列举法表示下列集合: 15 以内质数的集合; 方程2(1)0x x的所有实数根组成的集合;一次函数yx与21yx的图象的交点组成的集合 . 变式 :用列举法表示“一次函数yx的图象与二次函数2yx 的图象的交点”组成的集合. 三、总结提升 学习小结概念:集合与元素;属于与不
6、属于;集合中元素三特征;常见数集及表示;列举法. 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19 世纪末创立的 . 1874 年康托尔提出“集合”的概念:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873 年12月 7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 下列说法正确的是(). A某个村子里的高个子组成一个集合B所有小正数组成一个集合C集
7、合 1,2,3,4,5 和 5,4,3,2,1 表示同一个集合D1 3 611,0.5,2 2 44这六个数能组成一个集合2. 给出下列关系:12R;2Q ;3N ;3.Q其中正确的个数为(). A1 个B2 个C3 个D 4个3. 直线21yx与y 轴的交点所组成的集合为(). A. 0,1B. (0,1)C. 1,02D. 1(,0)24. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合, 则:深圳A; 广州A. (填或)5. “方程230xx的所有实数根”组成的集合用列举法表示为_. 课后作业1. 用列举法表示下列集合:(1)由小于 10 的所有质数组成的集合;(2)10 的所有正约数组成的
8、集合;(3)方程2100xx的所有实数根组成的集合. 2. 设 xR,集合23,2 Ax xx . (1)求元素 x 所应满足的条件;(2)若2A,求实数x. 1.1.1 集合的含义与表示( 2)学习目标1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程一、课前准备(预习教材P4 P5,找出疑惑之处)复习 1:一般地,指定的某些对象的全体称为.其中的每个对象叫作. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
9、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页学习必备欢迎下载集合中的元素具备、特征 . 集合与元素的关系有、. 复习2:集合221 Axx的元素是,若 1A,则 x= . 复习 3:集合 1,2 、(1,2) 、(2,1) 、2,1 的元素分别是什么?四个集合有何关系?二、新课导学 学习探究思考 : 你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗? 你能用列举法表示不等式13x的解集吗?探究 :比较如下表示法 方程210x的根 ; 1,1 ;2|10xR x. 新知 :用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 描述法 ,一般形式为|xA P,其中x 代表元素, P 是确定条件 .
10、试试 :方程230x的所有实数根组成的集合,用描述法表示为. 典型例题例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程2(1)0x x的所有实数根组成的集合;(2)由大于10 小于 20 的所有整数组成的集合. 练习 :用描述法表示下列集合. (1)方程340xx的所有实数根组成的集合;(2)所有奇数组成的集合. 小结 :用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看,xR、xZ明确时可省略,例如|21,x xkkZ ,|0x x. 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)抛物线21yx上的所有点组成的集合;(2)方程组3222327xyxy解集 . 变式 :以下三个集合有什么区别.
11、 (1)2(, ) |1x yyx;(2)2|1yyx;(3)2|1xyx. 反思与小结 : 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如2(, ) |1x yyx与2|1y yx不同 . 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如 |1x x, |3 ,x xk kZ . 集合的 已包含“所有” 的意思,例如:整数 ,即代表整数集Z,所以不必写 全体整数 .下列写法实数集 , R也是错误的 . 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法. 动手试试练 1. 用适当的方法表示集合:大于0 的所有奇数 . 精选学习资
12、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 30 页学习必备欢迎下载练2. 已 知 集 合|33,AxxxZ, 集 合2 (,) |1,Bx yyxxA . 试用列举法分别表示集合 A、B. 三、总结提升 学习小结1. 集合的三种表示方法(自然语言、列举法、描述法) ;2. 会用适当的方法表示集合; 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如:( 1 ) 所 有 直 角 三 角 形 的 集 合 可 以 表 示 为 :|x x是直角三角形,也可以写成:直角三角形 ;(2)集合2(, ) |1x yyx与集合2|1y yx是同一个集合吗?
13、2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,即:文氏图,或称Venn图. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 设|16AxNx, 则下列正确的是 () . A. 6AB. 0AC. 3AD. 3.5A2. 下列说法正确的是(). A.不等式253x的解集表示为4xB.所有偶数的集合表示为|2 x xkC.全体自然数的集合可表示为 自然数 D. 方程240x实数根的集合表示为(2,2)3. 一次函数3yx与2yx 的图象的交点组成的集合是(). A. 1, 2B. 1,2x
14、yC. (2,1)D. 3(, ) |2yxx yyx4. 用列举法表示集合|510AxZx为. 5.集合 Ax|x=2n且 nN,2 |650Bx xx,用或填空:4 A,4 B, 5 A,5 B. 课后作业1. (1)设集合(, ) |6,Ax yxyxN yN,试用列举法表示集合A. (2)设 A x|x2n,nN,且 n10 , B3 的倍数 ,求属于A 且属于 B 的元素所组成的集合. 2. 若集合 1,3A,集合2|0Bx xaxb,且AB,求实数a、b. 1.1.2 集合间的基本关系学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2. 理解子集、真子集的概念;3
15、. 能利用Venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用;4. 了解空集的含义. 学习过程一、课前准备(预习教材P6 P7,找出疑惑之处)复习 1:集合的表示方法有、. 请用适当的方法表示下列集合. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页学习必备欢迎下载(1)10 以内 3 的倍数;(2) 1000 以内 3 的倍数 . 复习 2:用适当的符号填空. (1) 0 N;2Q;-1.5 R. (2)设集合2|(1) (3)0Axxx, Bb ,则 1 A;bB; 1,3A. 思考 :类比实数的大小关系,如5
16、7,22,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?二、新课导学 学习探究探究 :比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:3,6,9A与*|3 ,333Bx xk kNk且;C东升高中学生与D东升高中高一学生;| (1)(2)0Ex x xx与0,1,2F. 新知 :子集、相等、真子集、空集的概念. 如果集合 A 的任意一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合 B的子集 ( subset ) ,记作:()ABBA或,读作:A 包含于 (is contained in)B,或 B 包含 (contains)A. 当集合 A 不包含于集合B 时,记作AB?. 在数学中
17、,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图 . 用 Venn图表示两个集合间的“包含”关系为:()ABBA或. 集合相等 :若 ABBA且,则AB中的元素是一样的,因此AB. 真子集 :若集合 AB ,存在元素 xBxA且,则称集合A 是集合 B 的真子集( proper subset) ,记作: AB(或 BA) ,读作: A 真包含于B(或B 真包含 A) . 空集 :不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作:. 并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 试试 :用适当的符号填空. (1) , a b , , a b c , a , ,
18、a b c ;(2)2|30x x,R;(3)N0,1 ,QN;(4) 02|0x xx. 反思 :思考下列问题. (1)符号“aA”与“ aA”有什么区别?试举例说明 . (2)任何一个集合是它本身的子集吗?任何一个集合是它本身的真子集吗?试用符号表示结论. (3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出什么结论? 若,abbaab且则; 若,abbcac且则. 典型例题例 1 写出集合 , , a b c 的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集. 变式 :写出集合 0,1,2 的所有真子集组成的集合. B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
19、- - -第 5 页,共 30 页学习必备欢迎下载例 2 判断下列集合间的关系:(1) |32Ax x与|250Bxx;(2)设集合A=0,1 ,集合|Bx xA ,则A与 B 的关系如何?变式 :若集合 |Ax xa ,| 250Bxx,且满足 AB,求实数 a 的取值范围 . 动手试试练 1. 已知集合2|320Ax xx, B1,2 ,|8,Cx xxN,用适当符号填空:AB,AC,2 C,2 C. 练 2. 已知集合|5Ax ax,|2Bx x,且满足 AB,则实数 a 的取值范围为. 三、总结提升 学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn图图示;一些结论. 2.
20、两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. 知识拓展如果一个集合含有n个元素, 那么它的子集有2n个,真子集有21n个. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 下列结论正确的是(). A. AB. 0C. 1,2ZD. 00,12. 设1 ,Ax xBx xa ,且 AB,则实数a 的取值范围为(). A. 1aB. 1aC. 1aD. 1a3. 若21,2|0x xbxc,则(). A. 3,2
21、bcB. 3,2bcC. 2,3bcD. 2,3bc4. 满足,dcbaAba的集合 A 有个. 5. 设集合,ABC四边形平行四边形矩形 ,D正方形, 则它们之间的关系是,并用 Venn 图表示 . 课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格 . 若用 A 表示合格产品的集合,B 表示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合则下列包含关系哪些成立?,AB BA AC CA试用 Venn 图表示这三个集合的关系. 2. 已知2|0Ax xpxq,2 |320Bx xx且 AB ,求实数p、q 所满足的条件. 1.1.3 集合的基本运算( 1)学习目标1. 理解
22、交集与并集的概念,掌握交集与并集的区别与联系;2. 会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题;3. 能使用Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程一、课前准备(预习教材P8 P9,找出疑惑之处)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 30 页学习必备欢迎下载复习 1:用适当符号填空. 0 0 ; 0 ;x|x21 0,xR;0 x|x5 ;x|x3 x|x2 ;x|x6 x|x5. 复习 2: 已知 A=1,2,3, S=1,2,3,4,5 , 则 AS,x|xS且 xA=
23、. 思考 :实数有加法运算,类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?二、新课导学 学习探究探究 :设集合4,5,6,8A,3,5,7,8B. (1)试用 Venn图表示集合A、B 后,指出它们的公共部分(交) 、合并部分(并) ;(2)讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并?新知 :交集、并集. 一般地,由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫作A、B 的交集( intersection set) ,记作 AB,读“ A 交 B” ,即:|,.ABx xAxB且Venn图如右表示 . 类比说出并集的定义. 由所有属于集合A或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做
24、A 与 B 的并集( union set) ,记作:AB ,读作: A 并 B,用描述法表示是:|,ABx xAxB或. Venn图如右表示 . 试试 :(1) A3,5,6,8 , B4,5,7,8 , 则 AB;(2)设 A等腰三角形 ,B直角三角形 ,则AB;(3)A x|x3 ,Bx|x0 ,B x|x 3 , 则 A、B、R 有何关系?二、新课导学 学习探究探究 :设 U= 全班同学 、A= 全班参加足球队的同学、B= 全班没有参加足球队的同学 ,则 U、 A、B 有何关系?新知 :全集、补集. 全集 :如果一个集合含有我们所研究问题中所涉 及 的 所 有 元 素 , 那 么 就 称
25、 这 个 集 合 为 全 集(Universe) ,通常记作U. 补集 :已知集合U, 集合 AU,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫作A 相对于 U 的补集( complementary set) ,记作:UC A,读作:“ A在 U 中补集”,即|,UC Ax xUxA且. 补集的 Venn图表示如右:说明:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,补集的概念必须要有全集的限制. 试试 :(1)U=2,3,4 ,A=4,3 ,B=,则UC A= ,UC B= ;(2)设 Ux|x8,且 xN,Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0,则UC A;(3) 设集合|38Axx, 则R
26、Ae=;(4)设 U三角形 ,A锐角三角形 ,则UC A. 反思 :(1)在解不等式时,一般把什么作为全集?在研究图形集合时,一般把什么作为全集?(2)Q 的补集如何表示?意为什么? 典型例题例 1 设 Ux|x13,且 x N,A8 的正约数 ,B12 的正约数 ,求UC A、UC B . 例 2 设 U=R,A x| 1x2 ,B x|1x3 ,求 AB、AB、UC A 、UC B . 变式 :分别求()UCAB 、 ()()UUC AC B . 动手试试练 1. 已知全集I= 小于 10 的正整数 ,其子集A、B 满足 ()()1,9IIC AC B, ()4,6,8IC AB,2AB.
27、 求集合 A、B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页学习必备欢迎下载练 2. 分别用集合A、B、C 表示下图的阴影部分. (1);(2);(3);(4). 反思 :结合 Venn 图分析,如何得到性质:(1)()UAC A,()UAC A;(2)()UUCC A. 三、总结提升 学习小结1. 补集、全集的概念;补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法:数轴、Venn图. 知识拓展试结合 Venn图分析,探索如下等式是否成立?(1)()()()UUUCABC AC B ;(2)()()()UUUCABC AC
28、B . 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 设全集 U=R, 集合2|1Ax x, 则UC A= ()A. 1 B. 1,1 C. 1D. 1,1 2. 已知集合U=|0x x,|02UC Axx,那么集合A(). A. |02x xx或B. |02x xx或C. |2x xD. |2x x3. 设全集0, 1, 2, 3, 4I,集合0, 1, 2M, 0, 3, 4N,则IMNe(). A B3, 4C1, 2D4. 已知 U= x N|x10 ,A= 小于 11 的质数 ,则
29、UC A= . 5. 定义 AB= x|xA, 且 xB, 若 M=1,2,3,4,5 ,N=2,4,8 ,则 NM= . 课后作业1. 已知全集I=22,3,23aa,若, 2Ab,5IC A,求实数,ab. 2. 已知全集U=R,集合A=220x xpx,250 ,Bx xxq若 ()2UC AB,试用列举法表示集合A 1.1 集合(复习)学习目标1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质,能运行性质解决一些简单的问题,掌握集合的有关术语和符号;2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程一、课前准备(复习教材P2 P14,找出疑惑之处
30、)复习 1:什么叫交集、并集、补集?符号语言如何精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页学习必备欢迎下载表示?图形语言?AB;AB;UC A. 复习 2:交、并、补有如下性质. AA;A;AA;A;()UAC A;()UAC A;()UUCC A. 你还能写出一些吗?二、新课导学 典型例题例 1 设 U=R,|55Axx,|07Bxx.求 AB、AB、CUA 、CUB、(CUA)(CUB)、(CUA)(CUB)、CU(AB)、CU(AB). 小结 :(1)不等式的交、并、补集的运算,可以借助数轴进行分析,注意端点;(2
31、)由以上结果,你能得出什么结论吗?例2 已 知 全 集1,2,3,4,5U, 若 ABU ,AB,()1,2UAC B,求集合A、B. 小结 :列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法. 例 3 若22430 ,10Ax xxBx xaxa,210Cx xmx,ABA ACC且, 求实数 a、m 的值或取值范围变式 :设2 |8150Ax xx,|10Bx ax,若 BA,求实数a 组成的集合、 . 动手试试练 1. 设2|60Ax xax,2 |0Bx xxc,且 AB2 ,求 AB. 练 2. 已知 A= x|x3 ,B= x|4x+m0 ,当AB 时,求实数m 的取值范围。精选学习资
32、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 30 页学习必备欢迎下载练 3. 设 Axx2axa219 0 ,B xx25x60 ,C xx22x80 (1)若 AB,求 a 的值;(2)若AB,A C,求 a 的值三、总结提升 学习小结1. 集合的交、并、补运算. 2. Venn图示、数轴分析. 知识拓展集合中元素的个数的研究:有限集合A 中元素的个数记为()n A ,则()()()()n ABn An Bn AB . 你能结合Venn图分析这个结论吗?能再研究出()n ABC 吗?学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A.
33、很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 如果集合A= x|ax2 2x 1=0 中只有一个元素,则 a 的值是(). A0 B0 或 1 C1 D不能确定2. 集合 A= x|x=2n,nZ ,B= y|y=4k,k Z ,则A 与 B 的关系为(). AABBABCA=BDAB3. 设全集1,2,3,4,5,6,7U,集合1,3,5A,集合3,5B,则() . A UABB()UUC ABC()UUAC BD()()UUUC AC B4. 满足条件 1,2,3M1,2,3,4,5,6 的集合 M 的个数是. 5. 设集合2|3My yx,
34、2|21Ny yx,则 MN. 课后作业1. 设全集|5,*Ux xxN且,集合2|50Ax xxq,2|120Bx xpx,且 ()1,2,3,4,5UC AB,求实数p、q 的值 . 2. 已知集合A= x|x2-3x+2=0, B= x|x2-ax+3a-5=0.若 AB=B,求实数a 的取值范围 . 1.2.1 函数的概念( 1)学习目标1. 通过丰富实例, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;2. 了解构成函数的要素;3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程一、课前准备(
35、预习教材P15 P17,找出疑惑之处)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 30 页学习必备欢迎下载复习 1:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系?复习 2: (初中对函数的定义)在一个变化过程中,有两个变量x 和 y,对于x 的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对应,此时y 是 x 的函数, x 是自变量, y 是因变量 . 表示方法有:解析法、列表法、图象法 . 二、新课导学 学习探究探究任务一 :函数模型思想及函数概念问题 :研究下面三个实例:A. 一枚炮弹发射, 经 26 秒后落地击中目标,
36、射高为 845 米,且炮弹距地面高度h (米)与时间 t (秒)的变化规律是21305htt . B. 近几十年, 大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况. C. 国际上常用恩格尔系数 (食物支出金额总支出金额) 反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份1991 1992 1993 1994 1995 恩格尔系数 % 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 讨论 :以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应关系?三个实例有什么共同点?归纳 :三个实例
37、变量之间的关系都可以描述为,对于数集 A 中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集 B中都与唯一确定的y 和它对应,记作::f AB . 新知 :函数定义 . 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数( )f x 和它对应,那么称:f AB 为 从 集 合A 到 集 合B的 一 个 函 数(function ) ,记作:( ),yf xxA . 其中, x 叫自变量, x 的取值范围A 叫作 定义域(domain) ,与 x 的值对应的y 值叫函数值, 函数值的集合 ( ) |f xxA 叫值域 ( range). 试
38、试 :(1) 已知2( )23f xxx, 求( 0 )f、 (1)f、 (2)f、( 1)f的值 . (2) 函数223, 1,0,1,2yxxx值域是. 反思 :(1)值域与B 的关系是;构成函数的三要素是、. (2)常见函数的定义域与值域. 函数解析式定义域值域一次函数(0)yaxb a二次函数2yaxbxc,其中0a反比例函数(0)kykx探究任务二 :区间及写法新知 :设 a、b 是两个实数,且aa= 、 x|xb= 、x|xb= . (2) |01x xx或= . (3)函数 yx 的定义域,值域是. (观察法) 典型例题例 1 已知函数( )1f xx. (1)求(3)f的值;(
39、2)求函数的定义域(用区间表示);(3)求2(1)f a的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 30 页学习必备欢迎下载变式 :已知函数1( )1f xx. (1)求(3)f的值;(2)求函数的定义域(用区间表示);(3)求2(1)f a的值 . 动手试试练1. 已 知 函 数2()352fxxx, 求( 3)f、(2)f、(1)f a的值 . 练 2. 求函数1( )43f xx的定义域 . 三、总结提升 学习小结函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间表示. 知识拓展求函数定义域的规则: 分式:( )(
40、)f xyg x,则( )0g x; 偶次根式:*2( )()nyf xnN,则( )0fx; 零次幂式:0( )yf x,则( )0f x. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 已知函数2( )21g tt,则(1)g(). A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数( )12f xx 的定义域是(). A. 1,)2B. 1(,)2C. 1(,2D. 1(,)23. 已知函数( )23f xx, 若()1f a, 则 a= () . A. 2 B. 1 C. 1 D.
41、2 4. 函数2, 2, 1,0,1,2yxx的值域是. 5. 函数2yx的定义域是,值域是.(用区间表示)课后作业1. 求函数11yx的定义域与值域. 2. 已知( )2yf tt,2( )23t xxx. (1)求 (0)t的值;(2)求( )f t 的定义域;(3)试用 x 表示 y. 1.2.1 函数的概念( 2)学习目标1. 会求一些简单函数的定义域与值域,并能用 “区间”的符号表示;2. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 学习过程一、课前准备(预习教材P18 P19,找出疑惑之处)复习 1: 函数的三要素是、.函数23xyx与 y3x 是不是同一个函数?为何?精选学习资料 - -
42、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页学习必备欢迎下载复习 2: 用区间表示函数ykxb、 yax2bxc、ykx的定义域与值域,其中0k,0a. 二、新课导学 学习探究探究任务 :函数相同的判别讨论 :函数 y=x、y=(x )2、 y=32xx、 y=44x、 y=2x有何关系?试试 :判断下列函数( )f x 与( )g x 是否表示同一个函数,说明理由?( )f x= 0(1)x;( )g x= 1. ( )f x = x;( )g x= 2x. ( )f x = x 2;( )g x= 2(1)x. ( )f x = | x |
43、 ;( )g x = 2x. 小结 : 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数);两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的字母无关. 典型例题例 1 求下列函数的定义域(用区间表示). (1)23( )2xf xx;(2)( )29f xx;(3)1( )12f xxx. 试试 :求下列函数的定义域(用区间表示). (1)2( )343xf xxx;(2)1( )94f xxx. 小结 :(1)定义域求法(分式、根式、组合式);(2)求定义域步骤:列不等式(组) 解不等式(组) . 例 2 求下列函数的值域(用区间表示):
44、(1)yx23x4; (2)2( )24f xxx;(3)y53x;(4)2( )3xf xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 30 页学习必备欢迎下载变式 :求函数(0)axbyaccxd的值域 . 小结 :求函数值域的常用方法有:观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 动手试试练 1. 若2(1)21f xx,求( )f x . 练 2. 一次函数( )f x 满足( )12ff xx ,求( )f x . 三、总结提升 学习小结1. 定义域的求法及步骤;2. 判断同一个函数的方法;3. 求函数值域的常用方法. 知
45、识拓展对于两个函数( )yf u 和( )ug x ,通过中间变量 u,y 可以表示成x 的函数,那么称它为函数( )yf u 和( )ug x 的复合函数 ,记作( ( )yf g x. 例如21yx由 yu 与21ux复合 . 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 函数( )131f xxx的定义域是 () . A. 3,1B. ( 3,1)C. RD. 2. 函数2132xyx的值域是(). A. 11(,)(,)33B. 22(,)(,)33C. 11(,)(,)22D. R
46、3. 下列各组函数( )( )f xg x与的图象相同的是 ()A.2( ),( )()f xx g xxB.22( ), ( )(1)f xxg xxC.0( )1, ( )f xg xxD.( )|, ( )xf xxg xx(0)(0)xx4. 函数 f(x) = 1x+12x的定义域用区间表示是. 5. 若2(1)1f xx,则( )f x = . 课后作业1. 设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积 y 关于 x 的函数的解析式,并写出定义域. 2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx (a, b 为常数,且 a0 )满足条件f(x1)=f(3x)且方程 f(x)=2x 有
47、等根,求f(x)的解析式 . 1.2.2 函数的表示法( 1)学习目标1. 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法),了解三种表示方法各自的优点,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;2. 通过具体实例, 了解简单的分段函数,并能简单应用 . 学习过程一、课前准备(预习教材P19 P21,找出疑惑之处)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 30 页学习必备欢迎下载复习 1:(1)函数的三要素是、 . (2)已知函数21( )1f xx,则(0)f,1()fx= ,( )f x 的定义域为. (3)分析
48、二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习 2:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学 学习探究探究任务 :函数的三种表示方法讨论 :结合具体实例,如:二次函数解析式、股市走势图、 银行利率表等, 说明三种表示法及优缺点. 小结 :解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 . 优点:简明;给自变量求函数值. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值. 典型例题例 1 某种笔记本的单价是2 元,买 x (x1 ,2,3,4,5)个笔
49、记本需要y 元试用三种表示法表示函数( )yf x . 变式 :作业本每本0.3 元,买x 个作业本的钱数y(元) . 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思 :例 1 及变式的函数图象有何特征?所有的函数都可用解析法表示吗?例 2 邮局寄信,不超过20g 重时付邮资0.5 元,超过 20g重而不超过40g重付邮资 1元 . 每封 x克 (0x2时, f(x1)与 f(x2)的大小关系怎样?问题 :一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?新知 :设函数 y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有
50、f(x1)f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 (increasing function ). 试试 :仿照增函数的定义说出减函数 的定义 . 新知 :如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数,就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫 f(x)的单调区间 . 反思 : 图象如何表示单调增、单调减? 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? 函数2( )f xx 的单调递增区间是,单调递减区间是. 试试 :如图,定义在-5,5 上的 f(x),根据图象说出单调区间及单调性. 典型例题例 1 根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并
51、运用定义进行证明. (1)( )32f xx;(2)1( )f xx. 变式 :指出 ykxb、(0)kykx的单调性 . 例 2 物理学中的玻意耳定律kpV(k 为正常数),告诉我们对于一定量的气体,当其体积V 增大时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明. 小结 : 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 30 页学习必备欢迎下载别代数式的符号; 证明函数单调性的步骤:第一步:设x1、x2给定区间,且x10 时, ( )(1)f xxx ,试问:当 x0 时,求( )f x 的解析
52、式例 3 设函数221( )1xf xx(1)求它的定义域;(2)判断它的奇偶性;(3)求证:1()( )ff xx;(4)求证:( )f x 在 1,) 上递增 . 动手试试练 1. 判断下列函数的奇偶性:(1)222( )1xxf xx; (2)3( )2f xxx ;(3) ( )f xa ( xR) ; (4)(1)( )(1)xxf xxx0,0.xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 30 页学习必备欢迎下载练 2. 将长度为20 cm 的铁丝分成两段, 分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最小
53、,正方形的周长应为多少?三、总结提升 学习小结1. 集合的三种运算:交、并、补;2. 集合的两种研究方法:数轴分析、Venn图示;3. 函数的三要素:定义域、解析式、值域;4. 函数的单调性、最大(小)值、奇偶性的研究. 知识拓展要作 函数()yf xa的图象,只需将函数( )yf x 的图象向左(0)a或向右 (0)a平移 |a个单位即可 . 称之为函数图象的左、右平移变换. 要作 函数( )yf xh 的图象,只需将函数( )yf x 的图象向上(0)h或向下 (0)h平移 |h个单位即可 . 称之为函数图象的上、下平移变换. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为(). A. 很好B
54、. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测(时量: 5 分钟 满分: 10 分)计分:1. 若2|0Ax x, 则下列结论中正确的是 () . A. 0AB. 0AC. AD. A2. 函数|yx xpx ,xR是(). A偶函数B奇函数C不具有奇偶函数D与p有关3. 在区间 (,0) 上为增函数的是() . A1yB21xyxC221yxxD21yx4. 某班有学生55 人,其中音乐爱好者34 人,体育爱好者43 人,还有4 人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人. 5. 函 数( )f x在R 上 为 奇 函 数 , 且0x时 ,()1fxx,则当0x,( )f x. 课后作业1. 数集 A 满足条件:若,1aA a,则11Aa. (1)若 2A,则在 A中还有两个元素是什么;(2)若 A 为单元集,求出A 和 a . 2. 已知( )f x 是定义在R 上的函数,设( )()( )2f xfxg x,( )()( )2f xfxh x. (1)试判断( )( )g xh x与的奇偶性;(2)试判断( ), ( )( )g xh xf x与的关系;(3) 由此你猜想得出什么样的结论,并说明理由?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 30 页