2022年北师大版数学导学案第一章

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1、学习必备欢迎下载 1.1.1 集合的含义与表示（ 1）学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程一、课前准备集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上。二、新课导学探索新知探究 1：考察几组对象： 120 以内所有的质数；到定点的距离等于定长的所有点；所有的锐角三角形；2x , 32x, 35yx , 22xy ；方程230xx的所有实数根；试回答：各组对象分别是

2、一些什么？有多少个对象？新知 1：一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些不同的确定的元素组成的总体叫做集合. 试试 1：探究 1 中都能组成集合吗，元素分别是什么？探究 2： “好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知 2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合. 试试 2：分析下列对象，能否构成集合，

3、并指出元素：不等式30x的解； 3的倍数；方程2210xx的解； a，b，c，x，y，z；最小的整数；周长为 10 cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流 . 探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知 3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于 (belong to)集合 A，记作： aA；如果 a 不是集合A 的元素，就说a 不属于 (not belong to)集合 A，记作： aA. 试试 3：设 B 表示“5 以内的自然数” 组成的集合

4、，则 5 B，0.5 B， 0 B， 1 B. 探究 4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知 4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；正整数集：所有正整数的集合，记作N*或 N+；整数集：全体整数的集合，记作Z；有理数集：全体有理数的集合，记作Q；实数集：全体实数的集合，记作R. 试试 4：填或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，3Q，32R. 探究 5：探究 1 中分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合 . 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知 5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“

5、 ”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,” 隔开； a 与 a不同 . 试试 5：试试 2 中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示. 典型例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页学习必备欢迎下载例 1 用列举法表示下列集合： 15 以内质数的集合；方程2(1)0x x的所有实数根组成的集合；一次函数yx与21yx的图象的交点组成的集合 . 变式：用列举法表示“一次函数yx的图象与二次函数2yx 的图象的交点”组成的集合. 三、总结提升学习小结概念：集合与元素；属于与不

6、属于；集合中元素三特征；常见数集及表示；列举法. 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19 世纪末创立的 . 1874 年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873 年12月 7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 下列说法正确的是（）. A某个村子里的高个子组成一个集合B所有小正数组成一个集合C集

7、合 1,2,3,4,5 和 5,4,3,2,1 表示同一个集合D1 3 611,0.5,2 2 44这六个数能组成一个集合2. 给出下列关系：12R；2Q ；3N ；3.Q其中正确的个数为（）. A1 个B2 个C3 个D 4个3. 直线21yx与y 轴的交点所组成的集合为（）. A. 0,1B. (0,1)C. 1,02D. 1(,0)24. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填或）5. “方程230xx的所有实数根”组成的集合用列举法表示为_. 课后作业1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于 10 的所有质数组成的集合；（2）10 的所有正约数组成的

8、集合；（3）方程2100xx的所有实数根组成的集合. 2. 设 xR，集合23,2 Ax xx . （1）求元素 x 所应满足的条件；（2）若2A，求实数x. 1.1.1 集合的含义与表示（ 2）学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程一、课前准备（预习教材P4 P5，找出疑惑之处）复习 1：一般地，指定的某些对象的全体称为.其中的每个对象叫作. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名

9、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页学习必备欢迎下载集合中的元素具备、特征 . 集合与元素的关系有、. 复习2：集合221 Axx的元素是，若 1A，则 x= . 复习 3：集合 1,2 、(1,2) 、(2,1) 、2,1 的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学学习探究思考：你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗？你能用列举法表示不等式13x的解集吗？探究：比较如下表示法方程210x的根； 1,1 ；2|10xR x. 新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为|xA P，其中x 代表元素， P 是确定条件 .

10、试试：方程230x的所有实数根组成的集合，用描述法表示为. 典型例题例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x的所有实数根组成的集合；（2）由大于10 小于 20 的所有整数组成的集合. 练习：用描述法表示下列集合. （1）方程340xx的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合. 小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，xR、xZ明确时可省略，例如|21,x xkkZ ,|0x x. 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21yx上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327xyxy解集 . 变式：以下三个集合有什么区别.

12、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页学习必备欢迎下载练2. 已知集合|33,AxxxZ，集合2 (,) |1,Bx yyxxA . 试用列举法分别表示集合 A、B. 三、总结提升学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（ 1 ）所有直角三角形的集合可以表示为：|x x是直角三角形，也可以写成：直角三角形；（2）集合2(, ) |1x yyx与集合2|1y yx是同一个集合吗？

13、2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 设|16AxNx，则下列正确的是（） . A. 6AB. 0AC. 3AD. 3.5A2. 下列说法正确的是（）. A.不等式253x的解集表示为4xB.所有偶数的集合表示为|2 x xkC.全体自然数的集合可表示为自然数 D. 方程240x实数根的集合表示为(2,2)3. 一次函数3yx与2yx 的图象的交点组成的集合是（）. A. 1, 2B. 1,2x

15、. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义. 学习过程一、课前准备（预习教材P6 P7，找出疑惑之处）复习 1：集合的表示方法有、. 请用适当的方法表示下列集合. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页学习必备欢迎下载（1）10 以内 3 的倍数；（2） 1000 以内 3 的倍数 . 复习 2：用适当的符号填空. （1） 0 N；2Q；-1.5 R. （2）设集合2|(1) (3)0Axxx， Bb ，则 1 A；bB； 1,3A. 思考：类比实数的大小关系，如5

16、7，22，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：3,6,9A与*|3 ,333Bx xk kNk且；C东升高中学生与D东升高中高一学生；| (1)(2)0Ex x xx与0,1,2F. 新知：子集、相等、真子集、空集的概念. 如果集合 A 的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B的子集（ subset ），记作：()ABBA或，读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含 (contains)A. 当集合 A 不包含于集合B 时，记作AB?. 在数学中

17、，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图 . 用 Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：()ABBA或. 集合相等：若 ABBA且，则AB中的元素是一样的，因此AB. 真子集：若集合 AB ，存在元素 xBxA且，则称集合A 是集合 B 的真子集（ proper subset），记作： AB（或 BA），读作： A 真包含于B（或B 真包含 A） . 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 试试：用适当的符号填空. （1） , a b , , a b c ， a , ,

18、a b c ；（2）2|30x x，R；（3）N0,1 ，QN；（4） 02|0x xx. 反思：思考下列问题. （1）符号“aA”与“ aA”有什么区别？试举例说明 . （2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论. （3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？若,abbaab且则；若,abbcac且则. 典型例题例 1 写出集合 , , a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集. 变式：写出集合 0,1,2 的所有真子集组成的集合. B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

20、两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. 知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有21n个. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 下列结论正确的是（）. A. AB. 0C. 1,2ZD. 00,12. 设1 ,Ax xBx xa ，且 AB，则实数a 的取值范围为（）. A. 1aB. 1aC. 1aD. 1a3. 若21,2|0x xbxc，则（）. A. 3,2

21、bcB. 3,2bcC. 2,3bcD. 2,3bc4. 满足,dcbaAba的集合 A 有个. 5. 设集合,ABC四边形平行四边形矩形，D正方形，则它们之间的关系是，并用 Venn 图表示 . 课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格 . 若用 A 表示合格产品的集合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合则下列包含关系哪些成立？,AB BA AC CA试用 Venn 图表示这三个集合的关系. 2. 已知2|0Ax xpxq，2 |320Bx xx且 AB ，求实数p、q 所满足的条件. 1.1.3 集合的基本运算（ 1）学习目标1. 理解

22、交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程一、课前准备（预习教材P8 P9，找出疑惑之处）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页学习必备欢迎下载复习 1：用适当符号填空. 0 0 ； 0 ；x|x21 0,xR；0 x|x5 ；x|x3 x|x2 ；x|x6 x|x5. 复习 2：已知 A=1,2,3, S=1,2,3,4,5 ，则 AS，x|xS且 xA=

23、. 思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学学习探究探究：设集合4,5,6,8A，3,5,7,8B. （1）试用 Venn图表示集合A、B 后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集. 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A、B 的交集（ intersection set），记作 AB，读“ A 交 B” ，即：|,.ABx xAxB且Venn图如右表示 . 类比说出并集的定义. 由所有属于集合A或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做

24、A 与 B 的并集（ union set），记作：AB ，读作： A 并 B，用描述法表示是：|,ABx xAxB或. Venn图如右表示 . 试试：（1） A3,5,6,8 ， B4,5,7,8 ，则 AB；（2）设 A等腰三角形，B直角三角形，则AB；（3）A x|x3 ，Bx|x0 ，B x|x 3 ，则 A、B、R 有何关系？二、新课导学学习探究探究：设 U= 全班同学、A= 全班参加足球队的同学、B= 全班没有参加足球队的同学，则 U、 A、B 有何关系？新知：全集、补集. 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称

25、这个集合为全集（Universe），通常记作U. 补集：已知集合U, 集合 AU，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫作A 相对于 U 的补集（ complementary set），记作：UC A，读作：“ A在 U 中补集”，即|,UC Ax xUxA且. 补集的 Venn图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U=2,3,4 ，A=4,3 ，B=，则UC A= ，UC B= ；（2）设 Ux|x8，且 xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则UC A；（3）设集合|38Axx，则R

26、Ae=；（4）设 U三角形，A锐角三角形，则UC A. 反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？典型例题例 1 设 Ux|x13，且 x N，A8 的正约数，B12 的正约数，求UC A、UC B . 例 2 设 U=R，A x| 1x2 ，B x|1x3 ，求 AB、AB、UC A 、UC B . 变式：分别求()UCAB 、 ()()UUC AC B . 动手试试练 1. 已知全集I= 小于 10 的正整数，其子集A、B 满足 ()()1,9IIC AC B， ()4,6,8IC AB，2AB.

27、求集合 A、B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页学习必备欢迎下载练 2. 分别用集合A、B、C 表示下图的阴影部分. （1）；（2）；（3）；（4）. 反思：结合 Venn 图分析，如何得到性质：（1）()UAC A，()UAC A；（2）()UUCC A. 三、总结提升学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号. 2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图. 知识拓展试结合 Venn图分析，探索如下等式是否成立？（1）()()()UUUCABC AC B ；（2）()()()UUUCABC AC

29、UC A= . 5. 定义 AB= x|xA，且 xB，若 M=1,2,3,4,5 ，N=2,4,8 ，则 NM= . 课后作业1. 已知全集I=22,3,23aa，若, 2Ab，5IC A，求实数,ab. 2. 已知全集U=R，集合A=220x xpx，250 ,Bx xxq若 ()2UC AB，试用列举法表示集合A 1.1 集合（复习）学习目标1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程一、课前准备（复习教材P2 P14，找出疑惑之处

30、）复习 1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页学习必备欢迎下载表示？图形语言？AB；AB；UC A. 复习 2：交、并、补有如下性质. AA；A；AA；A；()UAC A；()UAC A；()UUCC A. 你还能写出一些吗？二、新课导学典型例题例 1 设 U=R，|55Axx，|07Bxx.求 AB、AB、CUA 、CUB、(CUA)(CUB)、(CUA)(CUB)、CU(AB)、CU(AB). 小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2

31、）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2 已知全集1,2,3,4,5U，若 ABU ，AB，()1,2UAC B，求集合A、B. 小结：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法. 例 3 若22430 ,10Ax xxBx xaxa，210Cx xmx,ABA ACC且，求实数 a、m 的值或取值范围变式：设2 |8150Ax xx，|10Bx ax，若 BA，求实数a 组成的集合、 . 动手试试练 1. 设2|60Ax xax，2 |0Bx xxc，且 AB2 ，求 AB. 练 2. 已知 A= x|x3 ，B= x|4x+m0 ，当AB 时，求实数m 的取值范围。精选学习资

32、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页学习必备欢迎下载练 3. 设 Axx2axa219 0 ，B xx25x60 ，C xx22x80 （1）若 AB，求 a 的值；（2）若AB，A C，求 a 的值三、总结提升学习小结1. 集合的交、并、补运算. 2. Venn图示、数轴分析. 知识拓展集合中元素的个数的研究：有限集合A 中元素的个数记为()n A ，则()()()()n ABn An Bn AB . 你能结合Venn图分析这个结论吗？能再研究出()n ABC 吗？学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.

33、很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 如果集合A= x|ax2 2x 1=0 中只有一个元素，则 a 的值是（）. A0 B0 或 1 C1 D不能确定2. 集合 A= x|x=2n，nZ ，B= y|y=4k，k Z ，则A 与 B 的关系为（）. AABBABCA=BDAB3. 设全集1,2,3,4,5,6,7U，集合1,3,5A，集合3,5B，则（） . A UABB()UUC ABC()UUAC BD()()UUUC AC B4. 满足条件 1,2,3M1,2,3,4,5,6 的集合 M 的个数是. 5. 设集合2|3My yx，

34、2|21Ny yx，则 MN. 课后作业1. 设全集|5,*Ux xxN且，集合2|50Ax xxq，2|120Bx xpx，且 ()1,2,3,4,5UC AB，求实数p、q 的值 . 2. 已知集合A= x|x2-3x+2=0, B= x|x2-ax+3a-5=0.若 AB=B，求实数a 的取值范围 . 1.2.1 函数的概念（ 1）学习目标1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程一、课前准备（

35、预习教材P15 P17，找出疑惑之处）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页学习必备欢迎下载复习 1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？复习 2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和 y，对于x 的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y 是 x 的函数， x 是自变量， y 是因变量 . 表示方法有：解析法、列表法、图象法 . 二、新课导学学习探究探究任务一：函数模型思想及函数概念问题：研究下面三个实例：A. 一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，

36、射高为 845 米，且炮弹距地面高度h （米）与时间 t （秒）的变化规律是21305htt . B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况. C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份1991 1992 1993 1994 1995 恩格尔系数 % 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例

37、变量之间的关系都可以描述为，对于数集 A 中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集 B中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f AB . 新知：函数定义 . 设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数( )f x 和它对应，那么称:f AB 为从集合A 到集合B的一个函数（function ），记作：( ),yf xxA . 其中， x 叫自变量， x 的取值范围A 叫作定义域（domain），与 x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合 ( ) |f xxA 叫值域（ range）. 试

38、试：（1）已知2( )23f xxx，求( 0 )f、 (1)f、 (2)f、( 1)f的值 . （2）函数223, 1,0,1,2yxxx值域是. 反思：（1）值域与B 的关系是；构成函数的三要素是、. （2）常见函数的定义域与值域. 函数解析式定义域值域一次函数(0)yaxb a二次函数2yaxbxc，其中0a反比例函数(0)kykx探究任务二：区间及写法新知：设 a、b 是两个实数，且aa= 、 x|xb= 、x|xb= . （2） |01x xx或= . （3）函数 yx 的定义域，值域是. （观察法）典型例题例 1 已知函数( )1f xx. （1）求(3)f的值；（

39、2）求函数的定义域（用区间表示）；（3）求2(1)f a的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页学习必备欢迎下载变式：已知函数1( )1f xx. （1）求(3)f的值；（2）求函数的定义域（用区间表示）；（3）求2(1)f a的值 . 动手试试练1. 已知函数2()352fxxx，求( 3)f、(2)f、(1)f a的值 . 练 2. 求函数1( )43f xx的定义域 . 三、总结提升学习小结函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示. 知识拓展求函数定义域的规则：分式：( )(

40、)f xyg x，则( )0g x；偶次根式：*2( )()nyf xnN，则( )0fx；零次幂式：0( )yf x，则( )0f x. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 已知函数2( )21g tt，则(1)g（）. A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数( )12f xx 的定义域是（）. A. 1,)2B. 1(,)2C. 1(,2D. 1(,)23. 已知函数( )23f xx，若()1f a，则 a= （） . A. 2 B. 1 C. 1 D.

41、2 4. 函数2, 2, 1,0,1,2yxx的值域是. 5. 函数2yx的定义域是，值域是.（用区间表示）课后作业1. 求函数11yx的定义域与值域. 2. 已知( )2yf tt，2( )23t xxx. （1）求 (0)t的值；（2）求( )f t 的定义域；（3）试用 x 表示 y. 1.2.1 函数的概念（ 2）学习目标1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用 “区间”的符号表示；2. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 学习过程一、课前准备（预习教材P18 P19，找出疑惑之处）复习 1：函数的三要素是、.函数23xyx与 y3x 是不是同一个函数？为何？精选学习资料 - -

42、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页学习必备欢迎下载复习 2：用区间表示函数ykxb、 yax2bxc、ykx的定义域与值域，其中0k，0a. 二、新课导学学习探究探究任务：函数相同的判别讨论：函数 y=x、y=(x )2、 y=32xx、 y=44x、 y=2x有何关系？试试：判断下列函数( )f x 与( )g x 是否表示同一个函数，说明理由？( )f x= 0(1)x；( )g x= 1. ( )f x = x；( )g x= 2x. ( )f x = x 2；( )g x= 2(1)x. ( )f x = | x |

43、；( )g x = 2x. 小结：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 典型例题例 1 求下列函数的定义域（用区间表示）. （1）23( )2xf xx；（2）( )29f xx；（3）1( )12f xxx. 试试：求下列函数的定义域（用区间表示）. （1）2( )343xf xxx；（2）1( )94f xxx. 小结：（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；（2）求定义域步骤：列不等式（组）解不等式（组） . 例 2 求下列函数的值域（用区间表示）：

44、（1）yx23x4；（2）2( )24f xxx；（3）y53x；（4）2( )3xf xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页学习必备欢迎下载变式：求函数(0)axbyaccxd的值域 . 小结：求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 动手试试练 1. 若2(1)21f xx，求( )f x . 练 2. 一次函数( )f x 满足( )12ff xx ，求( )f x . 三、总结提升学习小结1. 定义域的求法及步骤；2. 判断同一个函数的方法；3. 求函数值域的常用方法. 知

45、识拓展对于两个函数( )yf u 和( )ug x ，通过中间变量 u，y 可以表示成x 的函数，那么称它为函数( )yf u 和( )ug x 的复合函数，记作( ( )yf g x. 例如21yx由 yu 与21ux复合 . 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函数( )131f xxx的定义域是（） . A. 3,1B. ( 3,1)C. RD. 2. 函数2132xyx的值域是（）. A. 11(,)(,)33B. 22(,)(,)33C. 11(,)(,)22D. R

46、3. 下列各组函数( )( )f xg x与的图象相同的是（）A.2( ),( )()f xx g xxB.22( ), ( )(1)f xxg xxC.0( )1, ( )f xg xxD.( )|, ( )xf xxg xx(0)(0)xx4. 函数 f(x) = 1x+12x的定义域用区间表示是. 5. 若2(1)1f xx，则( )f x = . 课后作业1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积 y 关于 x 的函数的解析式，并写出定义域. 2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx （a， b 为常数，且 a0 ）满足条件f(x1)=f(3x)且方程 f(x)=2x 有

47、等根，求f(x)的解析式 . 1.2.2 函数的表示法（ 1）学习目标1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 . 学习过程一、课前准备（预习教材P19 P21，找出疑惑之处）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页学习必备欢迎下载复习 1：（1）函数的三要素是、 . （2）已知函数21( )1f xx，则(0)f，1()fx= ，( )f x 的定义域为. （3）分析

48、二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习 2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学学习探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 小结：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 . 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. 典型例题例 1 某种笔记本的单价是2 元，买 x (x1 ，2，3，4，5)个笔

49、记本需要y 元试用三种表示法表示函数( )yf x . 变式：作业本每本0.3 元，买x 个作业本的钱数y（元） . 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思：例 1 及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？例 2 邮局寄信，不超过20g 重时付邮资0.5 元，超过 20g重而不超过40g重付邮资 1元 . 每封 x克（0x2时， f(x1)与 f(x2)的大小关系怎样？问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？新知：设函数 y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有

50、f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function ）. 试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义 . 新知：如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫 f(x)的单调区间 . 反思：图象如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？函数2( )f xx 的单调递增区间是，单调递减区间是. 试试：如图，定义在-5,5 上的 f(x)，根据图象说出单调区间及单调性. 典型例题例 1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并

51、运用定义进行证明. （1）( )32f xx；（2）1( )f xx. 变式：指出 ykxb、(0)kykx的单调性 . 例 2 物理学中的玻意耳定律kpV（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强 p 如何变化？试用单调性定义证明. 小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页学习必备欢迎下载别代数式的符号；证明函数单调性的步骤：第一步：设x1、x2给定区间，且x10 时， ( )(1)f xxx ，试问：当 x0 时，求( )f x 的解析

52、式例 3 设函数221( )1xf xx（1）求它的定义域；（2）判断它的奇偶性；（3）求证：1()( )ff xx；（4）求证：( )f x 在 1,) 上递增 . 动手试试练 1. 判断下列函数的奇偶性：（1）222( )1xxf xx；（2）3( )2f xxx ；（3） ( )f xa （ xR）；（4）(1)( )(1)xxf xxx0,0.xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页学习必备欢迎下载练 2. 将长度为20 cm 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小

53、，正方形的周长应为多少？三、总结提升学习小结1. 集合的三种运算：交、并、补；2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究. 知识拓展要作函数()yf xa的图象，只需将函数( )yf x 的图象向左(0)a或向右 (0)a平移 |a个单位即可 . 称之为函数图象的左、右平移变换. 要作函数( )yf xh 的图象，只需将函数( )yf x 的图象向上(0)h或向下 (0)h平移 |h个单位即可 . 称之为函数图象的上、下平移变换. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B

54、. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 若2|0Ax x，则下列结论中正确的是（） . A. 0AB. 0AC. AD. A2. 函数|yx xpx ，xR是（）. A偶函数B奇函数C不具有奇偶函数D与p有关3. 在区间 (,0) 上为增函数的是（） . A1yB21xyxC221yxxD21yx4. 某班有学生55 人，其中音乐爱好者34 人，体育爱好者43 人，还有4 人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人. 5. 函数( )f x在R 上为奇函数，且0x时，()1fxx，则当0x，( )f x. 课后作业1. 数集 A 满足条件：若,1aA a，则11Aa. （1）若 2A，则在 A中还有两个元素是什么；（2）若 A 为单元集，求出A 和 a . 2. 已知( )f x 是定义在R 上的函数，设( )()( )2f xfxg x，( )()( )2f xfxh x. （1）试判断( )( )g xh x与的奇偶性；（2）试判断( ), ( )( )g xh xf x与的关系；（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页

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2022年北师大版数学导学案第一章

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