2022年第二章推理与证明的导学案

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1、学习必备欢迎下载 2.1.1 合情推理（ 1）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程一、课前准备（预习教材P53 P55，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞， 蚂蚁搬家， 推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是的思维过程 . 二、新课导学学习探究探究任务一 ： 考察下列示例中的推理问题 1:.1856 年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，

2、因此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的。问题 2： 我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，二中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油问题 3：因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，五边形的内角和是180(52)所以n 边形的内角和是新知 1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。探究任务二：问题 1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a，公差为 d 的等差数列 an 的通项公式的？新知 2 归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的的推理 . 归纳是的过程例子 :哥

3、德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97 ，猜想：归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 。典型例题例 1 用推理的形式表示等差数列1,3,5,7 2n-1，的前n项和 Sn的归纳过程。变式 1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，你能猜想到一个怎样的结论？变式 2 观察下列等式：1=1 1+

4、8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100 ，你能猜想到一个怎样的结论？例2设2( )41,f nnnnN计算(1),(ffff的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。变 式 ：（ 1 ） 已 知 数 列na的 第 一 项11a， 且nnnaaa11(1 , 2 , 3n，试归纳出这个数列的通项公式三、总结提升学习小结1归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想） . 知识拓展四色猜想： 1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一

5、种有趣的现象：“ 每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色 . ”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200 个小时，作了100 亿逻辑判断，完成证明. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）. A. 归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D. 归纳推理具有由具体到抽象的

6、认识功能2. 已知2 ( )(1),(1)1( )2f xfxff x*xN（） ， 猜想(f x） 的表达式为（）. A.4( )22xf xB.2( )1f xxC.1( )1f xxD.2( )21f xx3.111( )1()23f nnNn，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222fffff猜测当2n时，有_. 课后作业1.已 知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10, 1+2+3+ +n= (1)2n n，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，试归纳出上述求和的一般公式。精选学习资料 - - - - - -

7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.1.1 合情推理（ 2）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 . 学习过程一、课前准备（预习教材P57 P58，找出疑惑之处）复习 1 什么是合情推理？复习 2 什么是归纳推理？二、新课导学学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都

8、是类比思维，即类比推理. 新知 ：类比推理就是根据两类不同事物之间具有推 测 其 中 一 类 事 物 具 有 与 另 一 类 事 物的性质的推理. 简言之， 类比推理是由的推理 . 典型例题例 1 用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形和四面体有如下类似的性质：（1）（2）三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1()2Sabc r （r 为三角形内切圆的半径）类比推理的一般步骤：1 找出两类事物之间的相似性或一致性2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）例 2： 找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球

9、的有关性质. 圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，上面哪些性质，类比的结论是正确的，哪些是错误的？三、总结提升学习小结1类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想） . 3. 合情推理仅是“ 合乎情理 ” 的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法 . 知识拓展试一试下列题目：1. 南京江苏A.石家庄河北B.渤海中国C.泰州江苏D.秦岭淮河2. 成功失败A.勤奋成

10、功B.懒惰失败C.艰苦简陋D.简单复杂3.面条食物A.苹果水果B.手指身体C.菜肴萝卜D.食品巧克力学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1.下列说法中正确的是（）. A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（）. A. “ 若33ab,则ab” 类推出 “ 若00ab,则ab”B. “ 若()ab cacbc” 类推出“()a b cac bc”C. “ 若 ()ab cacbc ” 类推出

11、 “ababccc（c0 ）”D. “nnaa bn（ b）” 类推出 “nnaabn（b）3. 设)()(,sin)(010xfxfxxf，21( )( ),fxfx1( )( )nnfxfx， nN ， 则2007( )fx（）. A.sin xB.sin xC.cosxD.cosx4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前 2006 个圆中有个黑圆 . 5. 在数列1，1，2，3， 5，8，13，x，34，55 中的x 的值是. 课后作业1.在等差数列na中，若100a，则有*121219(19,)nnaaaaaannN成立，类比上述性质

12、，在等比数列nb中，若91b，则存在怎样的等式？2. 在 各 项 为 正 的 数 列na中 ， 数 列 的 前n 项 和nS满 足nnnaaS121（1） 求321,aaa； （2） 由（ 1）猜想数列na的通项公式； （3） 求nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.1.2 演绎推理学习目标1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 学习过程一、课前准备（预习教材P59 P61，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由

13、到的推理 . 类比推理是 由到的推理 . 复习 2：合情推理的结论. 二、新课导学学习探究探究任务一 ：演绎推理的概念问题 ：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（ 2 ） 一 切 奇 数 都 不 能 被2 整 除 ， 2007是 奇 数 ， 所以；（ 3 ） 三 角 函 数 都 是 周 期 函 数 ， sin是 三 角 函 数 ， 所以；（4）两条直线平行，同旁内角互补.如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，那么. 新知 ：演绎推理是的推理 .简言之，演绎推理是由到的推理 . 探究任务二 ：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都

14、导电铜是金属铜能导电已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断大前提小前提结论新知 ： “三段论”是演绎推理的一般模式：大前提；小前提；结论. 新知 ：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：试试 ：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（ 4）写成“三段论”的形式 . 典型例题例 1 命题：等腰三角形的两底角相等已知：求证：证明：把上面推理写成三段论形式：变式：已知空间四边形ABCD 中， 点 E,F 分别是 AB,AD 的中点，求证： EF 平面 BCD 例 2 求证：当a1 时，有(1)log (1)logaaaa动手试试：1证明函数632( )1f xxxxx的值恒为正数

15、。2 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）小结 ：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确 . 三、总结提升学习小结1. 合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确. 2. 演绎推理： 由一般到特殊 .前提和推理形式正确结论一定正确. 3 应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略. 知识拓展乒乓球教练组将从右手执拍的选手R、S、T 和左手执拍的选手 L、M、N、O 中

16、选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知s 不能与 L 配对 .T 不能与 N 配对， M 不能与 L 或 N配对。若R 不被选入队中，那么有几种不同的选法? A. 只有一种B. 两种C. 三种D. 四种学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 因为指数函数xya 是增函数，1()2xy是指数函数，则1()2xy是增函数 .这个结论是错误的，这是因为A. 大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2. 有这样一段演绎推理

17、是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A. 大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线； 已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为A. 大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4.归纳推理是由到的推理；类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理 . 课后作业1. 运用完全归纳推理证明：函数852( )1f xxxxx的值恒为正数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

18、 - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.2.1 综合法和分析法（ 1）学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法 . 学习过程一、课前准备（预习教材P63 P64，找出疑惑之处）复习 1：两类基本的证明方法: 和. 复习 2：直接证明的两中方法: 和. 二、新课导学学习探究探究任务一 ： 综合法的应用问题 ：已知,0a b, 求证 :2222()()4a bcb caabc . 新知 ：综合法 .：反思 ：框图表示：要点：顺

19、推证法；由因导果. 典型例题例 1 求证：5321232log 19log 19log 19变式 ：已知 a,b,c 表示 .ABC的边长， m0，求证：abcambmcm小结 ：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质 ,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明 . 例 2 设在四面体PABC 中, 90 ,ABCPAPBPCD 是AC 的中点 .求证 :PD 垂直于ABC 所在的平面 . 变式 ：如果3sinsin(2)，求证tan()2tan小结 ：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致

20、的分析 ,把其中的隐含条件明确表示出来. 三、总结提升学习小结综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,Q Q，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 知识拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 已知22,11x yRxyxy则是的

21、（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 如果821,aaa为各项都大于零的等差数列，公差0d，则（）A5481aaaaB5481aaaaC5481aaaaD5481aaaa3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P，则（）A 01PB12PC 23PD 34P4.若关于x的不等式22133(2)(2)22xxkkkk的解集为1(,)2，则k的范围是_ . 5. 已知ba,是不相等的正数，,2abxyab ， 则, x y的大小关系是 _.课后作业1.已知 a， b，c 是全不相等的正实数，求证 :3bcaacbabca

22、bc2.在 ABC 中，证明：2222112cos2cosbabBaA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.2.1 综合法和分析法 (二) 学习目标1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法 . 学习过程一、课前准备（预习教材P63 P64，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由导; 二、新课导学学习探究探究任务一 ： 分析法新知 ：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成

23、立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 反思 ：框图表示要点：逆推证法；执果索因 典型例题例 1 求证372 5变式 ：求证3526小结 ：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径. 例 2 在四面体 SABC 中,SAABC ABBC面,过 A 作 SB 的垂线 ,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线 ,垂足为 F,求证 AFSC. 变式 ：求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。小结 ：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题. 三、总结提升 学习小结分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,P

24、 P，直到所有的已知P 都成立 . 知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别: 在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的. 分析法中 ,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 要证明372 5 可选择的方法有以下几种,其中最合理的是A. 综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式233xx ;2baab,其中恒成立的是A. B.C.D.都不正确3.已知0yx,且1x

25、y,那么A.22xyxyxyB. 22xyxyxyC.22xyxxyyD.22xyxxyy4.若, ,a b cR,则222abcabbcac . 5.将a千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)ba,则其浓度为;若再加入m千克的白糖(0)m,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: . 课后作业1 设实数1x，求证：22651213xxxx2. 求证：672 25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.2.1 综合法和分析法（ 3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分

26、析法的思考过程和特点 ; 2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系; 3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程一、课前准备（复习教材P63 P65，找出疑惑之处）复习 1：综合法是由导; 复习 2：分析法是由索. 二、新课导学学习探究探究任务一 ： 综合法和分析法的综合运用新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：反思 ：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用. 典型例题例 1 已知,A B都是锐角，且2AB， (1tan)(1tan)2AB，求证：45AB变式 ：已知

27、1tan12tan，求证： 3sin24cos2. 小结 ：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用. 例 2 在四面体 PABC 中， PDABC ， ACBC ，D是AB的中点，求证：ABPC . 变式 ：如果,0a b，则lglglg22abab. 小结 ：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. 三、总结提升学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法. 2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知” (分析 )，从“已知”推“可知” （综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件

28、与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径 . 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 给 出 下 列 函 数 3yxx， sincos ,yxxxsincos ,yxx 22,xxy

29、其中是偶函数的有（）. A1 个B2 个C3 个D4 个2. m、n 是不同的直线，,是不同的平面，有以下四个命题（）. /；/mm/mm；/mnmn其中为真命题的是（）AB. CD3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）. A a，b 均为负数，则2abbaB22221xxC lglog 102xxD1,(1)(1)4aRaa4. 设 、r 是互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出四个命题：若 m ，m ，则 若 r， r，则 若 m ，m ，则 若 m ，n ，则 mn 其中真命题是. 5. 已知: 231,: (3)0pxq x x, 则p是q的条件 . 课后作业1. 求证

30、：正三棱锥的侧棱与底面的对边垂直2 设,a bR,且 ab,求证 :3322aba bab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.2.2 反证法（一）学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 学习过程一、课前准备（预习教材P66 P67，找出疑惑之处）复习 1：直接证明的两种方法: 和; 复习 2：是间接证明的一种基本方法. 二、新课导学 学习探究探究任务 ：反证法问题 (1)：将 9 个球分别染成红色或白

31、色,那么无论怎样染,至少有5 个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题 (2):三十六口缸,九条船来装,只准装单 ,不准装双 ,你说怎么装? 新知 ：反证法：试试 ：证明：设p 为正整数，如果p2是偶数，则p 也是偶数。反思 ：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题例 1 证明2 不是有理数 . 变式 ：设 p 是质数，证明p是无理数小结 ：应用关键：在正确的推理下得

32、出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 例 2 证明质数有无穷多个。变式 ：用反证法证明：设直线a,b,c 在同一平面上，如果,ac bc，那么ab小结 ：从以上两例可以看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。所谓矛盾主要是指：（1）（2）（3）三、总结提升学习小结1. 反证法的步骤：否定结论；推理论证；导出矛盾；肯定结论 . 2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 知识拓展反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用看一

33、个有趣的实际问题： “三十六口缸， 九条船来装， 只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9 个单数之和仍为单数，与36 这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60 ”时，反设正确的是（）.

34、A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于602. 实数, ,a b c不全为 0 等价于为（）. A, ,a b c均不为 0 B, ,a b c中至多有一个为0 C, ,a b c中至少有一个为0 D, ,a b c中至少有一个不为0 3. 用反证法证明命题“自然数, ,a b c中恰有一个偶数”的反设为. 课后作业1 用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。2 设 p,q 是奇数，求证方程2220xpxq没有有理根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共

35、13 页学习必备欢迎下载 2.2.2 反证法(二) 学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 学习过程一、课前准备（预习教材P66 P67，找出疑惑之处）复习 1：反证法：复习 2：所谓矛盾主要是指：二、新课导学学习探究探究任务 ：反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？新知 ：应用反证法证明数学问题的一般步骤：反思 ：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进

36、行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 典型例题例 1 证明：1, 3, 2不能为同一等差数列的三项。变式 ：证明：5,3,2不可能成等差数列. 小结 ：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 例 2 平面上有四个点，没有三点共线。证明以每三个点为顶点的三角形不可能是锐角三角形。变式 ：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60 . 小结 ：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 三、总结提升学习小结1. 反证法的步骤：否定结论；推

37、理论证；导出矛盾；肯定结论 . 2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. 知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头 ,怎么办 ?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案 ,端坐弹琴 ,态度从容 ,琴声优雅 , 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑 ,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余 ,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵 ,故意诱我入城 ,决不能中

38、计 ,于是急令退兵 . 诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 设, ,a b c都是正数，则三个数111,abcbca（） . A都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 2. 设 a,b,c,d是正有理数，,cd是

39、无理数， 求证：a cbd是无理数。3 设 a为实数，2( )fxxaxa。求证：(1)f与(2)f中至少有一个不小于12课后作业1. 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 2. 已知0a,证明x的方程 axb 有且只有一个根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.3.1 数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.数学归纳法中递推思想的理解. 学习过

40、程一、课前准备（预习教材P69 P170，找出疑惑之处）复习 1 合情推理复习 2 演绎推理二、新课导学学习探究探究任务 ：数学归纳法问题 ：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 ? 探究教材 69 页的证明（ *）新知 ：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n0时命题成立 ; （2）归纳递推：假设n=k（k n0， kN* ）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n 都成立 . 原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于 n0的正整数n0+1，n0+2， ，命题都成立

41、. 试试 ：你能证明数列的通项公式1nan这个猜想吗 ? 反思 ：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键：从假设n=k 成立，证得n=k+1 成立 . 典型例题例 1 用数学归纳法证明如果 an是一个等差数列，公差为d，那么1(1)naand对一切nN都成立变式 ：用数学归纳法证明：首项是1a，公比是q 的等比数列的通项公式是：11nnaa q小结 ：证 n=k+1 时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 例 2 用数学归纳法证明:当n为整数时 , 2135(21)nn变式 ： 用数学归纳法证明：2246.2nnn小结 ：数学归纳

42、法经常证明数列的相关问题. 三、总结提升 学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：.1 用数学归纳法证明: 等差数列的前n项和的公式是1(1)2nn nSnad .和等比数列的前 n 项和公式是1(1)(1)1nnaqSqq课后作业1. 用归纳猜想平面上n 个圆最多有多少个交点，并用数学归纳法证明你的猜想。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

43、-第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.3.2 数学归纳法应用举例（1）学习目标1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解. 学习过程一、课前准备（预习教材P71 P72，找出疑惑之处）复习 1：数学归纳法的基本步骤？复习 2：数学归纳法主要用于研究与有关的数学问题. 二、新课导学学习探究探究任务 ：数学归纳法的各类应用典型例题例1用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6nnnnnN变式 ：证明1123.(1)2nnn例 2 证明 :平面上 n 个圆最多把平面分成22nn个区域。变式 ：证明 :平面内

44、n 条直线，最多把平面划分成多少个区域？并证明你的结论。例 3 求证：当5n时，22nn三、总结提升学习小结1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题; 2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 知识拓展不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明*1(1) ()nnNn的单调性就难以实现. 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 使不等式122nn对任意kn的自然数都成立的最小k值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D

45、. 5 2. 若命题)(np对 n=k 成立，则它对2kn也成立，又已知命题)2(p成立，则下列结论正确的是A. )(np对所有自然数n 都成立B. )(np对所有正偶数n 成立C. )(np对所有正奇数n 都成立D. )(np对所有大于1 的自然数n 成立3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264n成立，起始值至少应取为A.7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 对任意*4221,3nnnNa都能被14 整除 ,则最小的自然数a= . 5. 用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)nnn时 ,当1n时 左 边 表达 式是;从1kk需增添的项的是. 课后作业1. 给出四个

46、等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4) 猜测第n个等式，并用数学归纳法证明. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载 2.3 .2 数学归纳法应用举例 (2) 学习目标4.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤; 5.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 6.数学归纳法中递推思想的理解. 学习过程一、课前准备（预习教材P69 P70，找出疑惑之处）复习 1： 数学归纳

47、法是合情推理和是演绎推理？复习 2： 数学归纳法主要步骤：二、新课导学典型例题例 1 用数学归纳法证明：22nnxy能被xy整除（nN）变式 ： 用数学归纳法证明2121nnxy能被xy整除（nN）例 2 用数学归纳法证明11 22 334.(1)(1)(2)3n nn nn变式 ：用数学归纳法证明135.( 1) (21)( 1)nnnn三、总结提升学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 知识拓展数学归纳法的思想可以远推至欧几里得前330-前 275 。严格的数学归纳法是在16 世纪后期才引入的。1575 年意大利数学家、物理

48、学家莫洛克斯1494-1575 在他的算术一 书 中 明 确 提 出 了 这 一 方 法 ， 并 且 用 它 证 了1+3+ +(2n+1)=(n+1)2 等 ； 法 国 著 名 数 学 家 帕 斯 卡1623-1662 承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作三角阵算术中运用了这一方法。因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人。由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686 年 J?伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著猜度术1713 中包含运用数学归纳法证题的出色例子。数学归纳法 这个名称及数学归纳法的证题形式是德?摩根 1806-1871

49、所提出的。 皮亚诺 1858-1932 的自然数公理中包含了归纳原理。学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 用数学归纳法证明：22111(1)1nnaaaaaa，在验证1n时，左端计算所得项为A.1 B.21aaC.1aD.231aaa2. 用数学归纳法证明)(12(312)()3)(2)(1(*Nnnnnnnnn时 ，从 n=k 到 n=k+1，左端需要增加的代数式为A. 12kB. )12(2kC. 112kkD. 132kk3. 设*111( )()122f nnNnnn， 那么)(

50、) 1(nfnf等于（）A. 121nB. 221nC. 221121nnD. 221121nn4. 已知数列na的前 n项和)2(2nanSnn，而11a，通过计算432,aaa，猜想na课后作业1. 用数学归纳法证明: 222212121 21 31)(.).2(.nnnnaaaaaaaaaaa a(nN且2n) 2.证明凸多边形的对角线的条数1( )(3)(4)2f nn nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载C3H8C2H6CH4HHHHHHHHHHHHHHCCCCCHHHHC第二章推理与

51、证明 (复习一 ) 学习目标1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；4. 能用反证法进行数学证明. 学习过程一、课前准备（预习教材P53 P78，找出疑惑之处）复习 1：归纳推理是由到的推理 . 类比推理是 由到的推理 . 合情推理的结论. 演绎推理是由到的推理 . 演绎推理的结论. 复习 2：综合法是由导; 分析法是由索. 直接证明的两种方法: 和; 是间接证明的一种基本方法. 二、新课导学学习探究探究任务一 ： 合情推理与演绎推理问题 ：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前

52、者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一 ： 直接证明和间接证明问题： 你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？典型例题例 1 已知数列na的通项公式21()(1)nanNn，记12( )(1)(1)(1)nf naaa，试通过计算(1),(2),(3)fff的值，推测出( )f n的值 . 变式 ：已知数列1111,1 3 35 572121nn求出1234,S S SS ；猜想前n项和nS. （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结 ：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推

53、理的结论都有待进一步证明. 例 2 两平行直线被第三条直线所截，所得同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。试类比出相应的立体几何命题，并判断真假。变式 ：.平面几何中有对顶角相等。请类比出相应的立体几何命题，并判定其真假三、总结提升学习小结知识拓展帽子颜色问题“有 3 顶黑帽子， 2 顶白帽 .让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是

54、不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么 ? 学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）. A C4H9 BC4H10C C4H11DC6H122. 用反证法证明： “ab” ，应假设为（） . A.abB.abC.abD.ab3. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（）. A. 演绎推理B.类比

55、推理C.合情推理D.归纳推理4. 用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按 图 示 的规律搭下去 ,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 _. 5. 由 “ 以 点00,xy为 圆 心 ， r 为 半 径 的 圆 的 方 程 为22200xxyyr” 可 以 类 比 推 出 球 的 类 似 属 性是. 课后作业1.设二次函数2( )(0)fxaxbxc a中的 a,b,c均为奇数，求证：方程( )0fx无整数根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载第二章推理与证明 (复习二 ) 学习

56、目标1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；4. 能用反证法进行数学证明. 学习过程一、课前准备复习 1：综合法和分析法葛优怎样的特点？试举例说明复习 2：反证法的逻辑根据是什么？复习 3 数学归纳法与归纳推理有什么区别？云用数学归纳法时应注意些什么？与同学交流并回答。二、新课导学学习探究典型例题例 1 已知函数( )f x对其定义域内任意两个实数a,b， 当 ab 时，都有( )( )f af b，适用反证法证明：函数图像与x 轴至多有一个交点。变式 ： 设 a,b 为实数，且1ab，求证：方程20

57、xaxb的两根的绝对值小于1 例 2 观察下列各式：101234185678982710 11 1213 14 15 162764你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？变式：设(1)2,(ffnnN，且121()()()fnnfnfn，试猜出( )f n的解析式， 并证明你的猜想。学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1.用数学归纳法证明（1）21nx能被 x+1 整除（2）2161n能被 7 整除（3）(1)(21)n nn能被 6 整除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页