《15轨迹方程的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《15轨迹方程的求法（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、xyo(1)(1)建系建系: : 建立直角坐标系；建立直角坐标系；(2)(2)设点设点: : 设所求动点设所求动点P(x,y);P(x,y);(4)(4)化简化简: : 化简方程；化简方程；(5)(5)检验检验：检验所得方程的纯粹性和完备性检验所得方程的纯粹性和完备性, , 多余的点要剔除多余的点要剔除, ,不足的点要补充。不足的点要补充。(3)(3)列式列式: : 根据条件列出动点根据条件列出动点P P满足的关系式满足的关系式; ;求动点轨迹方程的基本步骤是什么？求动点轨迹方程的基本步骤是什么？复习复习1： 求轨迹方程经常用的方法有：求轨迹方程经常用的方法有： 一、直接法一、直接法 二、待定
2、系数法二、待定系数法 三、定义法三、定义法 四、代入法四、代入法 ( (相关点法相关点法) ) 五、参数法五、参数法求动点轨迹方程的基本方法有哪些？求动点轨迹方程的基本方法有哪些？复习复习2：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点点P P（x,yx,y）的解析式）的解析式. .一、直接法一、直接法【例题【例题1】它它它它表表表表示示示示何何何何种种种种曲曲曲曲线线线线呢呢呢呢？2.与圆与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨
3、迹方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)1.已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为 1:2的点的轨迹的点的轨迹,则此曲线的方程是则此曲线的方程是_.PABxyo解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得由题，得即即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0)【练习练习1】二、待定系数法二、待定系数法题目已知曲线类型题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件然后结合问题的条件,建立参数建立参数a,b,c,p 满足的满足的等式等式,求得其值求得其值
4、,再代入所设方程再代入所设方程.1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且轴，且经过点经过点P（-6，-3），则抛物线方程为），则抛物线方程为_【练习练习2】三、定义法三、定义法分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程线的方程.已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（1）PAB的周长为的周长为10;（2）圆）圆P与圆与圆
5、A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心）为动圆圆心）;（3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）.【例题【例题3】【分析】【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离.【解析】【解析】(1)(1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10， 即即|PA|+|PB|=6
6、|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P点的轨迹是点的轨迹是椭圆椭圆， 且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b= b= ， 因此其方程为因此其方程为 （y0y0）. . （2 2）设圆）设圆P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r， 因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为点的轨迹为双曲线的右支双曲线的右支， 且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a= ,c=2,b= a= ,c=2,b= ， 因此其方程为
7、因此其方程为（3）依题意，知动点）依题意，知动点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直线到定直线x=2的距离，故其轨迹为的距离，故其轨迹为抛物线抛物线， 且开口向左，且开口向左，p=4. 方程为方程为y2=-8x.1.动点动点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差为距离之差为2， 则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.2.3.【练习练习3】【练习练习3】第】第3题题【练习练习3】第】第3题题-变式变式1616【练习练习3】第】第3题题-变式变式四、代入法（相关点法）四、代入法（相关点法） 当所求动点当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲的运动很明显地依赖于
8、一已知曲线上的动点线上的动点Q的运动时，可利用的运动时，可利用代入法代入法，其关键是，其关键是找出两动点的坐标的关系。找出两动点的坐标的关系。 设所求动点设所求动点 P坐标坐标 (x,y)，再设与，再设与P相关的已相关的已知点坐标为知点坐标为Q(x0,y0)，找出，找出P.Q之间的坐标关系，之间的坐标关系，并表示为并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点，根据点Q的运动规律得的运动规律得出关于出关于x0,y0的关系式的关系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入关系代入关系式中式中,即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程.此法实际上是利用中间此法实际上是利用中间变量变量x0,y0求轨迹方程求
9、轨迹方程【例题【例题4】此法实际上是利用中间此法实际上是利用中间变量变量x0,y0求轨迹方程求轨迹方程【例题【例题4】【练习练习4】【练习练习4】【练习练习4】五、参数法五、参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数参数法中常选角、斜率等为参数法中常选角、斜率等为参数.【例题【例题5】倾斜角为倾斜角为45450 0的直的直线与椭圆线与椭圆 交于交于A A、B B两点，求两点，求ABAB中
10、点的轨迹方程中点的轨迹方程。 xyoAB【例题【例题5】 解：解：设动直线方程为：设动直线方程为：y=x+b， 和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得： x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与与联立消去参数联立消去参数b，得：得：x+4y-2=0 （椭圆内的一段）（椭圆内的一段）倾斜角为倾斜角为45450 0的直线与椭圆的直线与椭圆 交于交于A A、B B两两点，求点，求ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。 xyoAB【练习练习5】1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，求弦中
11、点的轨迹方程。相交，求弦中点的轨迹方程。 2. 如如图图,过过点点A(-3,0)的的直直线线l与与曲曲线线C：x2+2y2=4交交于于A,B两两点点.作作平平行行四四边边形形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 AoxyBCPoxyMA【练习练习5】2. 如如图图,过过点点A(-3,0)的的直直线线l与与曲曲线线C：x2+2y2=4交交于于B,C两两点点.作作平平行行四四边形边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 AoxyBCP【练习练习5】 解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），）， 由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设中点设中点M（x，y
12、），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2） k=y/x 消参数得：消参数得： x2+4y2-2x=01.1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点相交，求弦中点的轨迹方程。的轨迹方程。 oxyMA2.如如图图,过过点点A(-3,0)的的直直线线l与与曲曲线线C：x2+2y2=4交交于于A,B两点两点.作平行四边形作平行四边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 AoxyBCPG解法一解法一：利用韦达定理解法二解法二：点差法 连PO交CB于G.设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得
13、(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习练习5】直接法直接法当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时, ,可用可用直接法直接法. .待定系数法待定系数法已知曲线的类型和位置已知曲线的类型和位置, ,可设出曲线方程可设出曲线方程, ,利用利用待定待定系数法系数法求解求解. .定义法定义法分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的
14、曲线，直接求出该曲线的方程迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程. .代入法代入法(相关点法相关点法)当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时动点的运动时, ,可利用可利用代入法代入法, ,其关键是找出两动点其关键是找出两动点的坐标的关系的坐标的关系, ,这要充分利用题中的几何条件这要充分利用题中的几何条件. .参数法参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P P（x，y）的坐标之间的关系不易找）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程. .参数法参数法中常选角、斜率等为参数中常选角、斜率等为参数. .总结总结一、求动点的轨迹方程的常用方法一、求动点的轨迹方程的常用方法1.1.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应, ,否则要否则要 “多退少补多退少补”, ,多余的点要剔除多余的点要剔除, ,不足的点要补充不足的点要补充. .2.2.注意注意“求轨迹求轨迹”和和“求轨迹方程求轨迹方程”的区别的区别. .3.3.如何合理引参？如何合理引参？ 五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等二、注意二、注意
