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1、指数与指数幂的运算导入新课思路 1.碳 14 测年法 .原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收 ,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳 14 在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14 的含量 ,便可推断其年代(半衰期 :经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂. 思路2.同学们 ,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯
2、定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题指数与指数幂的运算之分数指数幂 . 推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子 ,并总结出规律：a 0, 510a=352)(a=a2=a510; 8a=24)(a=a4=a28; 412a=443)(a=a3=a412; 210a=225)(a=a5=a210. (3)利用 (2)的规律 ,你能表示下列式子吗？435,357,57a,nmx(x0,m,n N*,且 n1). (4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动： 学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察 ,特别是每
3、题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示 ,借鉴 (2)(3), 我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示 . 讨论结果： (1)整数指数幂的运算性质：an=a a a a,a0=1(a 0);00无意义 ; a-n=na1(a 0);am an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn. (2)a2是 a10的 5 次方根； a4是 a8的 2 次方根； a3是 a12的 4 次方根； a5是 a10的 2 次方根 .实质上510a=a510,8a=a28,412
4、a=a412,210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了 ,本质没变 . 根据 4 个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - (3)利用 (2)的规律 ,435=543,357=735,57a=a57,nmx=xnm. (4)53的四次方根是543,
5、75的三次方根是735,a7的五次方根是a57,xm的 n次方根是xnm. 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的. (5)如果 a0,那么 am的 n 次方根可表示为nam=anm,即 anm=nam(a0,m,nN*,n1). 综上所述 ,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书 : 规定 :正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a0,m,nN*,n1). 提出问题负整数指数幂的意义是怎样规定的? 你能得出负分数指数幂的意义吗? 你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? 综合上述 ,如何规定分数指数幂的意义? 分数指数幂的意义中,为什么规定a0,去掉这个规定会产生什么样的后果? 既然指
6、数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 活动： 学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a0 的必要性 ,教师及时作出评价. 讨论结果： 负整数指数幂的意义是:a-n=na1(a 0),nN*. 既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义. 规定 :正数的负分数指数幂的意义是amn=
7、mna1=nma1(a0,m,nN*,n1). 规定 :零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. 教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是amn=nma(a0,m,n N*,n1),正数的负分数指数幂的意义是amn=mna1=nma1(a0,m,nN*,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. 若没有 a0 这个条件会怎样呢? 如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使
8、底数大于零,如无 a0 的条件 ,比如式子3a2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说 ,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数 ,而不是负数 ,负数只是出现在指数上. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质
9、: （1）ar as=ar+s(a0,r,sQ), （2）(ar)s=ars(a0,r,sQ), （3）(ab)r=arbr(a0,b0,rQ). 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路 1 例 1 求值 :832;2521(21)-5;(8116)43. 活动： 教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求 ,把底数写成幂的形式,8 写成 23,25 写成 52, 21写成 2-1,8116写成 (32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后 ,把自己的答案用投影仪展示出来. 解： 832=(
10、23)32=2323=22=4; 2521=(52)21=5)21(2=5-1=51; (21)-5=(2-1)-5=2-1 (-5)=32; (8116)43=(32)43(4=(32)-3=827. 点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解 .在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 832=328=364=4. 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式. a3a;a232a;3aa(a0). 活动： 学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流
11、自己的解题步骤 ,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解： a3a=a3 a21=a213=a27; a232a=a2 a32=a232=a38; 3aa=(a a31)21=(a34)21=a32. 点评： 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
12、心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 3 计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a32b21)(-6a21b31) (-3a61b65); （2）(m41n83)8. 活动： 先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析 ,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除 ,最后算加减 ,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答 ,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号 ,第（ 2）
13、小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤 . 解： （1）原式 =2 (-6) (-3)a612132b653121=4ab0=4a; （2）(m41n83)8=(m41)8(n83)8=m841n883=m2n-3=32nm. 点评： 分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练求值 : (1)333363; (2)6463)12527(nm. 解： (1)333363=3 321 331 361=361312
14、11=32=9；(2)6463)12527(nm=(6463)12527(nm=(646333)53(nm=646643643643)()5()()3(nm=42259nm=42259nm. 例 4 计算下列各式 : （1）(125253) 425; （2）322aaa(a0） . 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析 ,化为同底 .利用分数指数幂计算,在第（ 1）小题中 ,只含有根式 ,且不是同次根式,比较难计算 ,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了 ,第（ 2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解： （1）原式 =(2531-1252
15、1) 2541=(532-523) 521名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - =52132-52123=561-5=65-5; （2）322aaa=32212aaa=a32212=a65=65a. 思路 2 例 1 比较5,311,6123的大小 . 活动：学生努力思考 ,积极交流 ,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较 ,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后 ,只
16、看被开方数的大小就可以了 . 解： 因为5=635=6125,311=6121,而 125123121,所以612561236121. 所以56123311. 点评： 把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例 2 求下列各式的值: (1)432981; (2)2335. 1612. 活动： 学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981=421344)3(3,对 (2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价. 解： (1)432981=34 (33
17、4)2141=(3324)41=(3314)41=367=633; (2)63125.132=2 321 (23)31 (3 22)61=231311 3613121=2 3=6. 例 3 计算下列各式的值: （1） (a23b2)-1 (ab-3)21(b21)731; （2）1112121aaaaa; (3)14323)(abba. 活动： 先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生 ,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法 ,最后再乘方 ,或先都乘方 ,再进行同底数幂的乘法,对（ 2）把分数指数化
18、为根式,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 然后通分化简 ,对（ 3）把根式化为分数指数,进行积的乘方 ,再进行同底数幂的运算. 解： (1)原式=(a23b2)31(ab-3)61 (b21)37=a21b32a61b21b67=a6121b672132=a32b0=a32; 另解： 原式 =(a23b-2a21b23 b27)31=(a2123b27232)31=(a2b0)31=a32; （2）原式 =1111
19、1aaaaa=) 1(1aaa=) 1(11aaaa=)111(1aaa= ) 1(2aa=)1 (2aaa; （3）原式 =（a21b32）-3 (b-4a-1)21=a23b-2 b-2a21=a2123b-2+2=a-1=a1. 例 4 已知 a0,对于 0r 8,rN*,式子 (a)8-r)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？解： (a)8-r)1(4ar=a28 r a4r=a448rr=a4316r. 16-3r 能被 4 整除才行 ,因此 r=0,4,8 时上式为关于a 的整数指数幂 . 点评： 本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍 .利用
20、分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例 5 已知 f（x）=exe-x,g（x）=ex+e-x. （1）求 f（x） 2 g（x） 2的值；（2）设 f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求)()(yxgyxg的值 . 解： (1)f（x） 2 g（x） 2=f（x）+g（x） f（x） g（x） =（exe-x+ex+e-x） （exe-xexe-x）=2ex（ 2e-x）=4e0=4; 另解： (1)f（x） 2 g（x） 2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x =-4ex-x=-
21、4e0=-4; (2)f（x） f（y）=（exe-x） （eye-y） =ex+y+e-(x+y) ex-y e-(x-y)=g（x+y ） g（xy）=4, 同理可得 g（x） g（y）=g（x+y）+g（xy）=8, 得方程组8,y)-g(xy)g(x4,y)-g(x-y)g(x解得 g（x+y ）=6,g（xy）=2. 所以)()(yxgyxg=26=3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 点评： 将已知条
22、件变形为关于所求量g（ x+y）与 g（xy）的方程组 ,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 补充练习1.(1)下列运算中 ,正确的是 ( ) A.a2 a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6(2)下列各式42)4(n,412)4(n54a,45a（各式的nN,a R）中 ,有意义的是( ) A.B.C.D.(3)24 3623 46)()(aa等于 ( ) A.a B.a2C.a3D.a4(4)把根式 232)(ba改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a-
23、b)52B.-2(a-b)25C.-2(a52-b52) D.-2(a25-b25) (5)化简（ a32b21） （-3a21b31） （31a61b65）的结果是 ( ) A.6a B.-a C.-9a D.9a 2.计算： (1)0.02731（71）-2+256433-1+（2 1）0=_. (2)设 5x=4,5y=2,则 52x-y=_. 3.已知 x+y=12,xy=9 且 xy,求21212121yxyx的值 . 答案： 1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3.解：21212121yxyx=)()(2121212121212121yx
24、yxyxyx=yxyyxx21212. 因为 x+y=12,xy=9, 所以 (x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=427. 又因为 xy,所以 x-y=-2 33=-63.所以原式36612=33. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 拓展提升1.化简111113131313132xxxxxxxx. 活动： 学生观察式子特点,考虑 x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据
25、本题的特点,注意到 : x-1=(x31)3-13=(x31-1) (x32+x31+1); x+1=(x31)3+13=(x31+1) (x32-x31+1); x-x31=x31(x31)2-1=x31(x31-1)(x31+1). 构建解题思路教师适时启发提示. 解：111113131313132xxxxxxxx=111)(11)(3131323131333131323331xxxxxxxxx=)1() 1)(1(1)1)(1(1) 1)(1(31313131313132312132313231xxxxxxxxxxxxx=x31-1+x32-x31+1-x32-x31=-x31. 点拨
26、:解这类题目 ,要注意运用以下公式, (a21-b21)(a21+b21)=a-b, (a21 b21)2=a 2a21b21+b, (a31 b31)(a32a31b31+b32)=a b. 2.已知 a21+a21=3,探究下列各式的值的求法. (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)21212323aaaa. 解： (1)将 a21+a21=3,两边平方 ,得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7; (2)将 a+a-1=7 两边平方 ,得 a2+a-2+2=49,即 a2+a-2=47; (3)由于 a23-a23=(a21)3-(a21)3, 名师资料总结 - - -精品资料欢
27、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 所以有21212323aaaa=2121212112121)(aaaaaaaa=a+a-1+1=8. 点拨 :对“ 条件求值 ” 问题 ,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取 “ 整体代换 ” 或“ 求值后代换 ”两种方法求值 . 课堂小结(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a0,m,nN*,n1),正数的负分数指数幂的意义是amn=mna1=nma1(a0,m,n N*,n1),
28、零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. (2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质: ar as=ar+s(a0,r,sQ), (ar)s=ars(a0,r,s Q), (a b)r=arbr(a0,b0,rQ). (4)说明两点 : 分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系 . 整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用 (an)nm=nmna=am来计算 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -
