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1、第三期 2004 年 12 月韶关学院学生数学建模论文集65 轮胎生产安排计划的数学模型何荣坚(1)陈晔(2) 郑可逵(3)1韶关学院2002 级电脑系科学与技术本3班，广东韶关512005； 2韶关学院 2001 级数学系数学与应用数学(1) 班，广东韶关512005； 3韶关学院2002 级数学系信息技术教育2班，广东韶关512005 摘要 :本文是一个生产安排优化问题, 在问题中全面分析了轮胎生产问题的约束条件, 构建了基于整数规划的每一季度的生产时间与生产个数的的数学模型. 利用 Matlab 软件中的线性规划函数Linprog对每一季度的生产进行优化求解，对模型实行简化，加快对模型的
2、求解. 在求解过程中，利用连续松弛法把该问题更加简化，转换成线性规划问题. 在满足约束条件的情况下，通过对变量的取整与调整，使得解更加逼近最优解.关键词 :整数规划 ; 优化安排 ;连续松驰1 问题的提出某汽车轮胎公司能够生产尼龙和玻璃纤维两种轮胎，在前三个季度中将要交付的轮胎数量如表一：表一 : 日期尼龙轮胎玻璃纤维轮胎第一季度4000 1000 第二季度8000 5000 第三季度3000 5000 总计15000 11000 该公司有两台硫化机，其中一台惠林硫化机，一台雷格尔硫化机，还有可用来生产这两种轮胎的合适的模子。在未来的三个季度内，这两台机器可供使用的生产小时数如表二：表二 :
3、日期惠林硫化机雷格尔硫化机第一季度700 1500 第二季度300 400 第三季度1000 300 每台机器生产每种轮胎的效率以每只轮胎需要多少小时表示如下表三：表三 : 类型惠林硫化机雷格尔硫化机尼龙轮胎玻璃纤维轮胎不管用哪种机器，也不管生产哪种轮胎，轮胎生产的生产费用是每操作一小时5 美元，每只轮胎每个月的存储费用0.1 美元，每只尼龙轮胎和玻璃纤维轮胎的材料费用分别为3.10美元和 3.90 美元， 每只轮胎的装配、包装和运输费用是0.23 美元， 每只尼龙轮胎的价格是7.00 美元，每只玻璃纤维轮胎的价格是9.00 美元。该公司管理人员提出以下问题：第四季度初到达，如果支付 200
4、美元的小费， 就可以提前在第三季度到达， 这样第三季度就可增加172 小时的机器工作时间。这台硫化机到底要不要提前到达？2 模型的假设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期 2004 年 12 月66 1)假设交货都是在每一季度的最后一天完成的,当前季度生产的轮胎不用存储费. 2)假设生产货物过程中以小时为单位, 不足一个小时的按一个小时来算机器操作费. 3)假设第一季度生产的时候没有存货. 3 符号说明ijx :第i个季度第j种机器加工型轮胎的小时数. ;2, 1; 3,2,
5、1jiijy :第i个季度第j种机器加工型轮胎的小时数. ;2, 1; 3,2, 1jijp :第j型轮胎的材料费的单价. ;2, 1jn: 轮胎的装配 , 包装 , 运输轮胎的单位费用. iq: 第i型轮胎的单价. ;2, 1iijt :第种i机器生产第j种轮胎的单位时间. ;2, 1;3 ,2, 1jiijs :第i个季度j型轮胎的生产的实际数目. ;2, 1; 3, 2, 1jiiu :第i个季度的机器操作费. ;3 ,2, 1iiv :第i个季度的存储费. ;3 ,2, 1iiw :第i个季度完成交货任务后的剩余轮胎的总数. ;3 ,2, 1iQ :生产的总成本. M :生产的总收益
6、. 4模型的分析与建立尼龙轮胎称为第一种轮胎, 同样把玻璃纤维轮胎称为第二种轮胎. 目标函数与各个季度各种机器生产的各种轮胎的数量限制, 与各个季度各种机器的生产时间都为一次线性函数, 故可以用线性规划求解. 由已知条件可以得出线性规划的目标函数, 约束方程 .1) 根据题意分析可知, 机器操作费只与时间有关系, 并且得出表达式为: 21jijijiyxu;3 ,2, 1i2) 由假设3 可知 , 第一季度的存储费为0; 又第二季度两种轮胎的存货即为第一季度生产的总数减去第一季度的要求交货量后的数目, 所以第二季度的存储费为: 100040001 .022121211211211112tyty
7、txtxv同理可知 , 第三季度的总存储费为第二季度的存货加上第三季度的生产总数再减去第三季度的交货量后的存储费: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页第三期 2004 年 12 月韶关学院学生数学建模论文集67 50001000800040001.0222212212212121121221121211211113tytytytytxtxtxtxv3材料费用为： 由于材料费只与轮胎的数量有关系, 又根据题意可知, 在满足最小成本的条件下 ,生产轮胎的数量就必须等于交货的总量. 故, 材料费是一定值, 即为 : 110
8、0090.31500010. 32131jiijjsp4装配、包装、运输费用为：同理由材料费的分析可知, 装配、包装、运输费用也只与轮胎的数量有关,即为 : 312123.0ijijs故目标函数即为：总成本=机器操作总费用+材料费用 +总存储费 +装配、包装、运输费用；5) 最小总成本的模型为: min 110001500023. 01100090.31500010.3323121vvuQijijs.t. 7001111yx (1) 15001212yx (2) 3002121yx (3) 4002222yx (4) 10003131yx (5) 7003232yx (6) 400021121
9、111txtx (7) 800040002112111121221121txtxtxtx (8) 300040008000211211112122112121321131txtxtxtxtxtx (9) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期 2004 年 12 月68 100022121211tyty (10) 500010002212121122221221tytytyty (11) 500010005000221212112222122122321231tytytytyty
10、ty (12) 700011x (13) 700011y (14) 1500012x (15) 1500012y (16) 300021x (17) 300021y (18) 400022x (19) 400022y (20) 1000031x (21) 1000031y (22) 300032x (23) 300032y (24) Zyxijij,; 2, 1; 3,2, 1ji (25) (1)-(6)式表示每一季度的每一种机器生产每一种轮胎的小时数都必须小于或等于每一季度的每一种机器的最大生产时间. (7),(10)式分别表示第一季度两种轮胎生产的总数都要求大于或者等于第一季度的交货量
11、. (8),(11)式分别表示第二季度两种轮胎的生产量加上第一季度的存储量要求大于或者等于第二季度的交货量. (9),(12)式分别表示第三季度两种轮胎的生产量加上第二季度的存储量要求等于第三季度的交货量. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页第三期 2004 年 12 月韶关学院学生数学建模论文集69 根据总收益 =总收入 - 总成本 , 而由问题一的模型分析可知, 总成本是一个函数表达式, 而总收入为一定值. 又总收入为 : 1100091500072131jiijjsq总收益QsqMjiijj2131而Q又为问题
12、一的模型的目标函数, 而在要求从问题一的最优生产安排中所得到的总收益即为M的最大值 . 在问题三中 , 由于一台新的惠林硫化机预定在第四季度初到达，如果支付200 美元的小费，就可以提前在第三季度到达，这样第三季度就可增加172 小时的机器工作时间. 故建立的模型为 : 目标函数为 : min110001500023. 01100090. 31500010.33231vvuQii+200 约束条件为 : (1),(2),(3),(4),(6),(7)(20),(23),(24)同问题一的数学模型的约束条件. 11723131yx (5)1172031x (21)1172031y (22)5模型
13、的求解对于问题一的模型的求解的算法描述, 显然这个问题为整数规划问题, 解此类问题的一般步骤为: 用连续松驰把此整数规划问题转化为线性规划问题, 使得问题难度降低. 再用MATLAB 软件求得该问题的最优解, 再通过变量取整调整改良, 使得解逐渐逼近最优解. 用 MATLAB 中的内置函数Linprog来求得 (程序 1 在附录略 ): 最优解116853Q美元表一 : 11x12x21x22x31x32x11y12y21y22y31y32y280 0 400 400 420 0 300 0 600 0 再经过取整调整, 在调整的过程中必须注意到各个约束条件是否符合满足, 得出整数规划的最优解
14、为 : 表二 : 11x12x21x22x31x32x11y12y21y22y31y32y时间280 1222 0 400 400 53 420 0 300 0 600 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期 2004 年 12 月70 个数1866 7637 0 2500 2666 331 3500 0 2500 0 5000 0 则在取得最优解时候最小总成本费用为: 114556Q美元此时的生产计划安排如表二所示得: 第一季度第一种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:2
15、80 小时和 1866 个第一季度第一种机器生产第二种轮胎的时间和个数分别为:420 小时和 3500 个第一季度第二种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:1222 小时和 7637 个第一季度第二种机器生产第二种轮胎的时间和个数分别为:0 小时和 0 个第二季度第一种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:0 小时和 0 个第二季度第一种机器生产第二种轮胎的时间和个数分别为:300 小时和 2500 个第二季度第二种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:400 小时和 2500 第二季度第二种机器生产第二种轮胎的时间和个数分别为:0 小时和 0 个第三季度第一种机器生产第一种轮胎的时间和个数
16、分别为:400 小时和 2666 个第三季度第一种机器生产第二种轮胎的时间和个数分别为:600 小时和 5000 个第三季度第二种机器生产第一种轮胎的时间和个数分别为:53 小时和 331 个第三季度第二种机器生产第二种轮胎的时间和个数分别为:0 小时和 0 个对于问题二的模型的最优解是与问题一的模型的最优解相关联的, 当问题一的模型取得最优解时 ,此时对应的总收益即为所求的解. 故又由于总收入为美元2040001100091500072131jiijjsq所 以 对 于 问 题 一 的 解 答 中 给 出 的 最 优 生 产 安 排 计 划 中 可 以 得 最 小 的 成 本为:114556
17、Q美元所以总收益 =总收入 - 总成本即为: 894441145562040002131QqsMjjiij美元所以在问题一中的最优化生产安排计划中, 得到的总收益为132344 美元 . 对于问题三的求解: 在问题三中的所建立的数学模型中, 运用和解决问题一所采用的方法解此模型. 利用MATLAB 中的内置函数Linprog来求得 ( 程序 2 在附录略 ): 最优解时对应的生产小时数为: 11x12x21x22x31x32x11y12y21y22y31y32y280 0 400 450 0 420 0 300 0 600 0 经过人工取整调整后得到: 11x12x21x22x31x32x11
18、y12y21y22y31y32y时间280 1222 0 400 450 0 420 0 300 0 600 0 个数1863 7637 0 2500 3000 0 3500 0 2500 0 5000 0 所以最少成本为: 5*(280+1222+400+450+420+300+600)+3.10*15000+3.90*11000+0.23*(15000+11000)+(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页第三期 2004 年 12 月韶关学院学生数学建模论文集71 1863+7637-4000+3500-1000)
19、*0.1+200=114740 美元而在第三季度没有那台提前到达的惠林硫化机的时候, 可以到达的最优化时的成本为114556 美元比 114740 小, 则说明了当支付200 美元的小费，就可以使那台惠林硫化机提前在第三季度到达，是不必要的. 6模型的评价由于 Matlab 软件中是没有现行的函数来实现整数规划的，故在求解整数规划过程中得出的只是近似解，要通过人工调整来实现整数规划. 模型具有较好的通用性，能够适应同类问题的各种变化. 模型的算法比较优化.参考文献 : 1.姚恩瑜 , 何勇 , 陈仕平 . 数学规划与组合优化M. 杭州 . 浙江大学出版社.2001 2.王沫然 .MATLAB6
20、.0 与科学计算 M. 北京 .电子工业出版社.2001 3.陈理荣 . 数学建模导论M. 北京 . 北京邮电大学出版社.1999 附录 : 程序 1:clear clc f=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5; a=zeros(6,12); for i=1:6 a(i,i)=1;a(i,6+i)=1; end b=zeros(3,12); for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 b(i,j)=-1/0.16; else b(i,j)=-1/0
21、.15; end end end c=zeros(3,12); for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 c(i,j+6)=-1/0.14; else c(i,j+6)=-1/0.12; end end end A=a(1,:);a(2,:);a(3,:);a(4,:);a(5,:);a(6,:);b(1,:);b(2,:);c(1,:);c(2,:); bb=700;1500;300;400;1000;300;-4000;-12000;-1000;-6000; Aeq=b(3,:);c(3,:); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
22、- - - - - - -第 7 页，共 8 页No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期 2004 年 12 月72 beq=-15000;-11000; lb=zeros(12,1); x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,bb,Aeq,beq,lb); 程序 2: clear clc f=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5; a=zeros(6,12); for i=1:6 a(i,i)=1;a(i,6+i)=1; en
23、d b=zeros(3,12); for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 b(i,j)=-1/0.16; else b(i,j)=-1/0.15; end end end c=zeros(3,12); for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 c(i,j+6)=-1/0.14; else c(i,j+6)=-1/0.12; end end end A=a(1,:);a(2,:);a(3,:);a(4,:);a(5,:);a(6,:);b(1,:);b(2,:);c(1,:);c(2,:); bb=700;1500;300;400;11720;-4000;-12000;-1000;-6000; Aeq=b(3,:);c(3,:); beq=-15000;-11000; lb=zeros(12,1); x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,bb,Aeq,beq,lb); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
