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1、名师总结优秀知识点高 一 期 末 复 习立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、 对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数
2、作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱： 定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧
3、面展开图是一个矩形。（5）圆锥： 定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体
4、上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页名师总结优秀知识点俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h
5、为斜高， l 为母线）chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShr h圆柱13VSh锥hrV231圆锥1()3VSS SS h台2211()()33VSSSS hrrRRh圆台（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R； S球面=24 R4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A. 描述性说明； B. 平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母、 表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以
6、用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。 点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的直线l上，记作：Al；点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系： 直线l在平面 内，记作l ； 直线l不在平面 内，记作l。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用： 检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,Al Bl ABl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页名师总结优秀知识点（3）公理
7、 2： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面 和相交，交线是a，记作 a。符号语言：,PABABl Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间
8、的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示：a aA a （9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b 5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线
9、面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2） 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条
10、异面直线互相垂直。线面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角 （从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页名师总结优秀知识点（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判
11、定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间直角坐标系（1）定义 ：如图，,OBCDD A B C是单位正方体 . 以 A为原点，分别以 OD,O,A,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1）O叫做坐标原点 2 ） x 轴， y 轴， z 轴叫做坐标轴. 3 ）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向， 食指指向为y 轴正向，
12、 中指指向则为z 轴正向， 这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组( , , )x y z来表示，有序实数组( , , )x y z叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y z（x 叫做点 M的横坐标，y 叫做点 M的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd典型例题1、关于直线 a、b、 l 与平面 M 、N ，下列命题中正确的是（）A若 aM ，bM ，则 ab B若 aM ，ba，则 bM C若 aM ，bM ，则 l a，l b，则 l M D若 a
13、M ，aN ，则 M N 2、若,l m n是互不相同的空间直线，,是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A若/,ln，则 /lnB若,l，则lC若,ln mn，则 /lmD若, /ll，则3. 设ab，为两条直线，为两个平面， 下列四个命题中， 正确的命题是 （）A若 ab，与所成的角相等，则/abB若/a，/b，/，则/abC若a，b，/ab，则/D若 a，b，则 ab4、和是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定的是 （）A、都垂直于平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页名师总结优秀知识点B内不共线的三
14、点到 的距离相等Cl 、m是内的直线，且 l ，m Dl 、m是两条异面直线 , 且 l ，m ，m ，l 6. 已知直线 l 平面 ，直线 m 平面，有下列四个命题：l m l m l m l m其中正确的两个命题是（）A与 B与 C与 D与5、三个互不重合的平面，能把空间分成n 个部分， n 所有可能的值是 ( ) (A)4,6,7 (B)4,5,6,8 (C)4,7,8 (D)4,6,7,8 6. 下列命题中，结论正确的个数是（）（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等（3）如果一个
15、角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补（4）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个7. 已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 . 8. 下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； 四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中真命题的编号是 _ 9. 设 A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球
16、心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）. A8 6 B64 6C24 2D72 210. 如图， 正四棱锥PABCD底面的四个顶点,A B C D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果163PABCDV，则球O的表面积是 A. 4 B. 8 C. 12 D. 1611一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示（单位：cm ） ，则该几何体的体积是 cm3. 12如图，一个空间几何体的正视图， 左视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果等腰直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（第 11 题）（第 12 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
17、- - - - -第 5 页，共 13 页名师总结优秀知识点13.已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，该圆台的母线长_ 14. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .15. 边长为 a 的正方体的内切球，外接球以及和各个棱都相切的球的体积比为16.P 是ABC所在平面外一点，且PA 平面 ABC ，若 O 、Q分别是ABC和PBC的垂心，求证：QO平面 PBC. 17. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱1AA= 8. 若11AA B B水平放置时，液面恰好过1111,AC BC ACB C的中点， 则当底面 ABC 水
18、平放置时，液面的高为多少？18 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为 8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积 V；（2）求该几何体的侧面积 S。19. 如图所示， ABCD为正方形， SA平面 ABCD ，过 A且垂直于 SC的平面分别交 SB， SC， SD于 E， F ，G 求证： AESB AGSD，SABCFEDG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页名师总结优秀知识点OA1DCBA20. 如图，已知矩形 AB
19、CD中，10AB，6BC，将矩形沿对角线 BD 把ABD折起，使 A移到1A点，且1A在平面 BCD上的射影 O恰好在 CD上（）求证：1BCA D；（）求证：平面1A BC平面1ABD；（）求三棱锥1ABCD的体积21、如图，四棱锥ABCDS的底面是正方形， SA底面 ABCD ， E 是 SC上一点（1）求证：平面 EBD平面 SAC；（2）设4SA，2AB，求点 A到平面 SBD的距离；22. 如图是一个以111CBA为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC. 已知90, 11111111CBACBBA，3,42111CCBBAA，设点 O是 AB的中点，（1）求证 : /
20、OC平面111CBA； （2）求该几何体的体积 . ABCA1B1C1O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页名师总结优秀知识点A B C M P D 23. 如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位： cm ） 。 （1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸， 求该多面体的体积；（3） 在所给直观图中连结BC ， 证明：BC面 EFG 。24、某几何体的三视图如右图所示（1）根据三视图，画出该几何体的直观图；（2）求该几何体的表面积；（
21、3）在直观图中，设G是线段 PB上的点，当 G在线段 PB上运动时，是否总有平面PBD 平面 AGC ？证明你的结论。25、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ， ABDC,PAD是等边三角形 ,28BDAD,24 5ABDC（）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD平面 PAD ；（）求四棱锥 PABCD 的体积224侧视图正视图624GEFCBDCABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页名师总结优秀知识点ECABDP26、如图:AB 为O的直径， O所在的平面为 ，PA 于 A，C
22、为O上一点求证：平面 PAC 平面 PBC 。27. 如图所示，正方形 ABCD与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直，90ADE，DEAF /，22AFDADE. ()求证： AC平面 BDE ；()求证：/AC平面 BEF ；（）求四面体 BDEF 的体积 .28. 已 知 四 棱 锥 PABCD 的 底 面 是 菱形 PBPD ， E 为 PA的中点（）求证： PC 平面 BDE ；（）求证：平面 PAC平面 BDE A B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页名师总结优秀知识点EA1DCC1B
23、1BA29. 如 图 ： 梯 形 A BC D 和 正PAB 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， 其 中/ /,A BD C12ADCDAB ，且 O 为 AB 中点. ( I ) 求证：/BC平面 POD ；( II ) 求证： ACPD. 30. 如图，在直三棱柱111ABCA B C中， ABAC ， D ，E 分别为 BC，1BB的中点，四边形11B BCC是正方形（）求证：1A B平面1AC D；（）求证： CE平面1AC D31. 在长方形11AA B B中，124ABAA，C，1C分别是 AB ，11A B的中点（如左图）. 将此长方形沿1CC对折，使平面11AA C C平面11
24、CC B B（如右图），已知 D ，E 分别是11A B，1CC的中点. （）求证：1C D平面1A BE；（）求证：平面1A BE平面11AA B B；BACDOPC1 BCAA1 B1BCADEA1 B1C1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页名师总结优秀知识点（）求三棱锥11CA BE的体积 .32、已知直三棱柱111CBAABC的所有棱长都相等，且FED,分别为11,AABBBC的中点. (I) 求证：平面/1FCB平面EAD；（II ）求证：1BC平面EAD. 33. 如图，菱形 ABCD 的边长为 6
25、，60BAD, ACBDO . 将菱形 ABCD沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 BACD , 点 M 是棱 BC 的中点，3 2DM. （）求 证 ：/OM平 面 ABD ；（）求 证 ： 平 面 ABC平 面 MDO ；（）求 三 棱 锥 MABD 的 体 积 . 34、如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SAABCD底面， M 为 SA的中点，N 为CD的中点（）证明：平面 SBD平面 SAC；（）证明：直线MNSBC平面NABCDSMD1CFEBAC1A1BA B A B C C D M O D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
26、 - - - - - -第 11 页，共 13 页名师总结优秀知识点俯视图侧视图正视图12112135如图，已知棱柱1111DCBAABCD的底面是菱形，且1AA面 ABCD ，60DAB，1AAAD=， F 为棱1AA的中点， M 为线段1BD的中点，（）求证：/MF面 ABCD ；（）试判断直线 MF 与平面11BBDD的位置关系，并证明你的结论；（）求三棱锥BDFD1的体积 . 36、如下的三个图中， 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm） 。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC ，证明：/BC面EFG。37已知四棱锥 PABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱 PC 上的动点 . ( ) 求四棱锥 PABCD 的体积；( ) 若 E 是 PC 的中点，求证 PA平面 BDE( ) 是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE ？证明你的结论A B C D P E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页名师总结优秀知识点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
