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1、排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理完成一件事有几类方法， 各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤， 每一步的完成有多种不同的方法2，排列排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m n）个元素的所有排列的个数mnA公式mnA=!()!nnm规定 0！=1 3，组合组合定义从 n 个不同元素中，任取m （m n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一
2、个组合组合数从 n 个不同元素中，任取m （m n）个元素的所有组合个数mnCmnC=!()!nmnm性质mnC=n mnC11mmmnnnCCC排列组合题型总结一直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有5 个数字可供选择25A，其余2 位有四个可供选择24A，由乘法原理：25A24A=240 2特
3、殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有35A=60 ，1 不在千位时，千位有14A种选法，个位有14A种，余下的有24A，共有14A14A24A=192所以总共有192+60=252 二间 接 法当 直 接 法 求 解 类 别 比 较 大 时 ， 应 采 用 间 接 法 。 如 上 例 中 （ 2 ） 可 用 间 接 法2435462AAA=252 Eg有五张卡片， 它的正反面分别写0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析： ：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352AC个，其中 0 在百位的有22
4、42C22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352AC-2242C22A =432 Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2） 女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3） 两端不能排女生（4） 两端不能全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页二插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法
5、？分析：原有的8 个节目中含有9 个空档，插入一个节目后，空档变为10 个，故有11019AA=100中插入方法。三捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324AC）,2，某市植物园要在30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排方法有（1928129AC） （注意连续参观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是19 所学校选28 天进行排列）四阁板
6、法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种 。分析：此例的实质是12 个名额分配给8 个班，每班至少一个名额，可在12 个名额种的11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C种五 平均分推问题eg 6 本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？（1） 平均分成三堆，（2） 平均分给甲乙丙三人（3） 一堆一本，一堆两本，一对三本（4） 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）（5） 一人的一本，一人的两本，一人的三本分析： 1，分出三堆书（
7、 a1,a2）,(a3,a4)， （a5,a6）由顺序不同可以有33A =6种，而这6 种分法只算一种分堆方式，故6 本不同的书平均分成三堆方式有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页3,52,433222426ACCC=15 种2，六本不同的书，平均分成三堆有x 种，平均分给甲乙丙三人就有 x33A种222642C C C3，123653C C C5，33A123653C C C五合并单元格解决染色问题Eg 如图 1，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的
8、着色方法共有种（以数字作答） 。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5下面分情况讨论 : ()当 2、4 颜色相同且3、 5 颜色不同时，将2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素的全排列数A44（）当 2、4 颜色不同且3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得A44种着色法（）当2、4 与 3、5分别同色时，将2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格从 4 种颜色中选3 种来着色这三个单元格，计有AC3334种方法由加法原理知：不同着色方法共有2ACA333444=48+24=72（种）练习 1（天津卷（文） ）将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里，每快种植一
9、种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72 ）2某城市中心广场建造一个花圃，花圃6 分为个部分（如图3） ，现要栽种4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答） （120 ）图 3 图 4 3如图 4，用不同的5 种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540 ）1 2 3 4 5 2,4546132EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页4如图 5：四个区域坐定4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（ 84）图 5 图 6 5将一四棱锥 (图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（ 420）4321DBCEA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
