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1、排列组合、二项式定理总结复习1,分类计数原理完成一件事有几类方法, 各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理完成一件事,需要分几个步骤, 每一步的完成有多种不同的方法2,排列排列定义:从n 个不同元素中,任取m (m n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数定义;从n 个不同元素中,任取m (m n)个元素的所有排列的个数mnA公式mnA=!()!nnm规定 0!=1 3,组合组合定义从 n 个不同元素中,任取m (m n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一
2、个组合组合数从 n 个不同元素中,任取m (m n)个元素的所有组合个数mnCmnC=!()!nmnm性质mnC=n mnC11mmmnnnCCC排列组合题型总结一直接法1 .特殊元素法例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页(1)数字 1 不排在个位和千位(2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。分析:(1)个位和千位有5 个数字可供选择25A,其余2 位有四个可供选择24A,由乘法原理:25A24A=240 2特
3、殊位置法(2)当 1 在千位时余下三位有35A=60 ,1 不在千位时,千位有14A种选法,个位有14A种,余下的有24A,共有14A14A24A=192所以总共有192+60=252 二间 接 法当 直 接 法 求 解 类 别 比 较 大 时 , 应 采 用 间 接 法 。 如 上 例 中 ( 2 ) 可 用 间 接 法2435462AAA=252 Eg有五张卡片, 它的正反面分别写0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?分析: :任取三张卡片可以组成不同的三位数333352AC个,其中 0 在百位的有22
4、42C22A 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352AC-2242C22A =432 Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法)(2) 女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻)(3) 两端不能排女生(4) 两端不能全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页二插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。例 3 在一个含有8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法
5、?分析:原有的8 个节目中含有9 个空档,插入一个节目后,空档变为10 个,故有11019AA=100中插入方法。三捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有种(3324AC),2,某市植物园要在30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2 天,其余只参观一天,则植物园30 天内不同的安排方法有(1928129AC) (注意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是19 所学校选28 天进行排列)四阁板
6、法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队,这12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种 。分析:此例的实质是12 个名额分配给8 个班,每班至少一个名额,可在12 个名额种的11 个空当中插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有711C种五 平均分推问题eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发?(1) 平均分成三堆,(2) 平均分给甲乙丙三人(3) 一堆一本,一堆两本,一对三本(4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本分析: 1,分出三堆书(
7、 a1,a2),(a3,a4), (a5,a6)由顺序不同可以有33A =6种,而这6 种分法只算一种分堆方式,故6 本不同的书平均分成三堆方式有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页3,52,433222426ACCC=15 种2,六本不同的书,平均分成三堆有x 种,平均分给甲乙丙三人就有 x33A种222642C C C3,123653C C C5,33A123653C C C五合并单元格解决染色问题Eg 如图 1,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的
8、着色方法共有种(以数字作答) 。分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5下面分情况讨论 : ()当 2、4 颜色相同且3、 5 颜色不同时,将2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素的全排列数A44()当 2、4 颜色不同且3、5 颜色相同时,与情形()类似同理可得A44种着色法()当2、4 与 3、5分别同色时,将2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格从 4 种颜色中选3 种来着色这三个单元格,计有AC3334种方法由加法原理知:不同着色方法共有2ACA333444=48+24=72(种)练习 1(天津卷(文) )将 3 种作物种植在如图的 5 块试验田里,每快种植一
9、种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共种(以数字作答)(72 )2某城市中心广场建造一个花圃,花圃6 分为个部分(如图3) ,现要栽种4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种(以数字作答) (120 )图 3 图 4 3如图 4,用不同的5 种颜色分别为ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数(540 )1 2 3 4 5 2,4546132EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页4如图 5:四个区域坐定4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是种( 84)图 5 图 6 5将一四棱锥 (图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共种( 420)4321DBCEA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页