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1、函数性质与反函数知识要点：1.函数的单调性、奇偶性综合函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，对于函数y=f(x) ，如果在区间 (a,b)上是单调的， 则在区间 (-b，-a)上也单调。如果奇函数y=f(x) 在区间 (a,b)上是单调增，则在(-b，-a)上也是单调增；若y=f(x) 为偶函数，当其在区间 (a，b)上是单调增时，在对称区间(-b，-a)上则是单调减。可以简单的概括为一句话：奇函数在两个对称区间内的单调性相同，偶函数则相反。注意： 对于函数y=f(x) ，只能说分别在这两个区间内单调性相同，而不能说在整个区间里单调，更不能说在定义域内单调，在应用时一定要多加留意。一个很简单的
2、例子就是：奇函数在(0，+)上单调减，在(-，0)上单调减，但不能说在(-，0)(0，+) 上单调减。2.反函数2.1 反函数的概念设函数 y=f(x)(x A)的值域为C，如果反解得到的确定了一个从集合C 到集合A 的映射，则由这个映射所确定的函数就称为函数y=f(x)(x A) 的反函数。记为y=f-1(x)(x C) 显然， y=f(x)(x A) 与 y=f-1(x)(x C)互为反函数。2.2 反函数的存在性不是每个函数都有反函数，只有当构成函数的映射是1-1 映射时，这个函数才有反函数。这可以借助于逆映射的概念来理解。结论：如果函数y=f(x) 在区间 (a，b)上单调，则在(a，
3、b)上存在反函数。注意：(1)函数单调是函数存在反函数的充分不必要条件，也就是说，一个函数不单调，也有可能存在反函数，比如说反比例函数上并不单调，但是在定义域(- ，0)(0，+) 内存在反函数。(2)奇函数如果存在反函数，则反函数仍然是奇函数；定义域不是0 的偶函数都不存在反函数。2.3 互为反函数间的关系由反函数的概念可知：(1)原函数与反函数的定义域值域互换；(2)对应法则互逆；(3)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称；(4)f(f-1(x)=x(x C)，f-1(f(x)=x(x A) 。注： 函数 y=f(x) 与函数 x=f-1(y)在同一个坐标系中的图象相同。2.4 反
4、函数的求解反函数求解一般可以按照下面几个步骤进行：(1)求原函数的定义域、值域，以确定反函数的定义域；(2)反解 x，即用含y 的代数式表示x；(3)互换 x、y，并注明反函数的定义域。注意： 步骤 (3)是因为我们已经习惯于用x 表示自变量， 用 y 表示因变量。 关键在于理解反函数的对应法则。典型例题：例 1 设 f(x) 为定义在R 上的偶函数，且f(x) 在(- ，0)上单调增，当f(3a2-2a+2)f(2a2+a+2) 时，判断函数y=8+2a-a2的单调性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
5、理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 分析与解：由函数f(x) 在(-，0)上单调增，且为偶函数可知，f(x) 在区间 (0，+) 上单调减函数。注意到3a2-2a+20 与 2a2+a+20 均恒成立，于是由函数在(0，+) 单调减可以得到3a2-2a+20 与 2a2+a+20 成立于是由 f(3a2-2a+2)f(2a2+a+2) 得 3a2-2a+22a2+a+2 解之得 0a3 由函数 y=8+2a-a2=-(a-1)2+9(0af(2) 时，判断函数y=8+2a-a2的单调性。由于 a2-2a-2 的符号不能确定，因此不能利用例
6、1 中的方法直接由函数值的大小得出自变量的大小，这时有两种方法。方法一： 若 f(a2-2a-2)f(2) ，则方法二： f(a2-2a-2)f(2)|a2-2a-2|2 发展 2：把题中条件 “f(x) 为定义在R 上的偶函数 ” 改为 “f(x) 为定义在R 上的奇函数 ” 又得到一种新的问题。这种问题照样可以借助于图象来解决。例 2 下列函数中哪些存在反函数，哪些不存在？存在的求出其反函数，不存在的说明理由。(1)f(x)=3x-5(1x3)(2)f(x)=(x-1)2(x0) (3)f(x)=(x-1)2(xR)(4)分析： (1)、(2) 、(4)在所给区间上都是单调函数，自然存在反
7、函数；(3)不存在反函数。解：(1)y=f(x)=3x-5(1x3)，则 -2y4 ，由 y=3x-5 得到所以 f(x)=3x-5(1x3)的反函数为(2)y=(x-1)2(x1 ， 由y=(x-1)2(x0) 得， 所 以 函 数 f(x)=x(x-1)2(x0) 的 反 函数 为(3)y=(x-1)2(xR)的值域为，若 y=1 ，则有 x1=0，x2=2 与之对应，不符合映射的条件，所以f(x)=(x-1)2(xR)不存在反函数。(4)，则 y3 ，由得 x=(y-3)2，所以函数的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 反函数为f-1(x)=(x-3)2(x 3)注： 说明一个函数是否存在反函数时，可以通过反解x，如果对于所给函数值域内的任意y 都有唯一的x，则存在反函数，否则就不存在。例 3 已知分析： 这种类型的问题有两种方法；先求出 f-1(x)的解析式， 再代入计算； 利用原函数与反函数的关系计算。解：方法一： 函数的反函数为方 法 二 ： 设， 则 反函 数 图 象 经 过 点经 过 点，解之得m=-2，m=2(舍) 典型练习1.函数的反函数是 () A.y=x2-2x+2(x1)B.y=
9、x2-2x+2(x 1)C.y=x2-2x(x0 的 x 的取值集合。8.已知：函数是定义在R 上的奇函数。(1)求： a、b 的值；(2)判断函数y=f(x) 在区间上单调性，并用定义加以证明。参考答案1.B 2. (1)存在反函数，反函数：(2)不存在；(3)存在反函数，反函数为：(4)存在反函数，反函数为：(5)存在反函数，反函数为：3.(1)a=-3b=7(2)-2 4.(-1,-4) 5.1 6.在上为增函数。7.(1，0)(1，+)8.(1)a=b=0(2) 单调减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
