《2022年2022年函数性质与反函》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年2022年函数性质与反函(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、函数性质与反函数知识要点:1.函数的单调性、奇偶性综合函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质,对于函数y=f(x) ,如果在区间 (a,b)上是单调的, 则在区间 (-b,-a)上也单调。如果奇函数y=f(x) 在区间 (a,b)上是单调增,则在(-b,-a)上也是单调增;若y=f(x) 为偶函数,当其在区间 (a,b)上是单调增时,在对称区间(-b,-a)上则是单调减。可以简单的概括为一句话:奇函数在两个对称区间内的单调性相同,偶函数则相反。注意: 对于函数y=f(x) ,只能说分别在这两个区间内单调性相同,而不能说在整个区间里单调,更不能说在定义域内单调,在应用时一定要多加留意。一个很简单的
2、例子就是:奇函数在(0,+)上单调减,在(-,0)上单调减,但不能说在(-,0)(0,+) 上单调减。2.反函数2.1 反函数的概念设函数 y=f(x)(x A)的值域为C,如果反解得到的确定了一个从集合C 到集合A 的映射,则由这个映射所确定的函数就称为函数y=f(x)(x A) 的反函数。记为y=f-1(x)(x C) 显然, y=f(x)(x A) 与 y=f-1(x)(x C)互为反函数。2.2 反函数的存在性不是每个函数都有反函数,只有当构成函数的映射是1-1 映射时,这个函数才有反函数。这可以借助于逆映射的概念来理解。结论:如果函数y=f(x) 在区间 (a,b)上单调,则在(a,
3、b)上存在反函数。注意:(1)函数单调是函数存在反函数的充分不必要条件,也就是说,一个函数不单调,也有可能存在反函数,比如说反比例函数上并不单调,但是在定义域(- ,0)(0,+) 内存在反函数。(2)奇函数如果存在反函数,则反函数仍然是奇函数;定义域不是0 的偶函数都不存在反函数。2.3 互为反函数间的关系由反函数的概念可知:(1)原函数与反函数的定义域值域互换;(2)对应法则互逆;(3)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称;(4)f(f-1(x)=x(x C),f-1(f(x)=x(x A) 。注: 函数 y=f(x) 与函数 x=f-1(y)在同一个坐标系中的图象相同。2.4 反
4、函数的求解反函数求解一般可以按照下面几个步骤进行:(1)求原函数的定义域、值域,以确定反函数的定义域;(2)反解 x,即用含y 的代数式表示x;(3)互换 x、y,并注明反函数的定义域。注意: 步骤 (3)是因为我们已经习惯于用x 表示自变量, 用 y 表示因变量。 关键在于理解反函数的对应法则。典型例题:例 1 设 f(x) 为定义在R 上的偶函数,且f(x) 在(- ,0)上单调增,当f(3a2-2a+2)f(2a2+a+2) 时,判断函数y=8+2a-a2的单调性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
5、理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 分析与解:由函数f(x) 在(-,0)上单调增,且为偶函数可知,f(x) 在区间 (0,+) 上单调减函数。注意到3a2-2a+20 与 2a2+a+20 均恒成立,于是由函数在(0,+) 单调减可以得到3a2-2a+20 与 2a2+a+20 成立于是由 f(3a2-2a+2)f(2a2+a+2) 得 3a2-2a+22a2+a+2 解之得 0a3 由函数 y=8+2a-a2=-(a-1)2+9(0af(2) 时,判断函数y=8+2a-a2的单调性。由于 a2-2a-2 的符号不能确定,因此不能利用例
6、1 中的方法直接由函数值的大小得出自变量的大小,这时有两种方法。方法一: 若 f(a2-2a-2)f(2) ,则方法二: f(a2-2a-2)f(2)|a2-2a-2|2 发展 2:把题中条件 “f(x) 为定义在R 上的偶函数 ” 改为 “f(x) 为定义在R 上的奇函数 ” 又得到一种新的问题。这种问题照样可以借助于图象来解决。例 2 下列函数中哪些存在反函数,哪些不存在?存在的求出其反函数,不存在的说明理由。(1)f(x)=3x-5(1x3)(2)f(x)=(x-1)2(x0) (3)f(x)=(x-1)2(xR)(4)分析: (1)、(2) 、(4)在所给区间上都是单调函数,自然存在反
7、函数;(3)不存在反函数。解:(1)y=f(x)=3x-5(1x3),则 -2y4 ,由 y=3x-5 得到所以 f(x)=3x-5(1x3)的反函数为(2)y=(x-1)2(x1 , 由y=(x-1)2(x0) 得, 所 以 函 数 f(x)=x(x-1)2(x0) 的 反 函数 为(3)y=(x-1)2(xR)的值域为,若 y=1 ,则有 x1=0,x2=2 与之对应,不符合映射的条件,所以f(x)=(x-1)2(xR)不存在反函数。(4),则 y3 ,由得 x=(y-3)2,所以函数的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 反函数为f-1(x)=(x-3)2(x 3)注: 说明一个函数是否存在反函数时,可以通过反解x,如果对于所给函数值域内的任意y 都有唯一的x,则存在反函数,否则就不存在。例 3 已知分析: 这种类型的问题有两种方法;先求出 f-1(x)的解析式, 再代入计算; 利用原函数与反函数的关系计算。解:方法一: 函数的反函数为方 法 二 : 设, 则 反函 数 图 象 经 过 点经 过 点,解之得m=-2,m=2(舍) 典型练习1.函数的反函数是 () A.y=x2-2x+2(x1)B.y=
9、x2-2x+2(x 1)C.y=x2-2x(x0 的 x 的取值集合。8.已知:函数是定义在R 上的奇函数。(1)求: a、b 的值;(2)判断函数y=f(x) 在区间上单调性,并用定义加以证明。参考答案1.B 2. (1)存在反函数,反函数:(2)不存在;(3)存在反函数,反函数为:(4)存在反函数,反函数为:(5)存在反函数,反函数为:3.(1)a=-3b=7(2)-2 4.(-1,-4) 5.1 6.在上为增函数。7.(1,0)(1,+)8.(1)a=b=0(2) 单调减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -