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1、2.2 用样本估计总体用样本估计总体.2.2用样本的数字特征估计总体用样本的数字特征估计总体的的数字特征数字特征 第一课时第一课时 主讲人：宋锦平一一 、理解、理解 众数、中位数、平均数的概念众数、中位数、平均数的概念一一组数据：数据：3,2,5,7,5,4,3,5的众数是的众数是_,中位数是中位数是 ， 平均数是平均数是 。规律规律一般地，若取一般地，若取值为x1，x2，xn的的频率分率分别为p1，p2，pn，则其平均数其平均数像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数54.54.25频率分布直方图如下频率分布直方图如下：月均用水量月均用水量/t频率频率
2、组距组距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5月均月均用用 水水 量量/t频率频率组距组距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.250.080.150.220.040.140.060.040.02最高矩形下端中点的横坐标最高矩形下端中点的横坐标众数众数: 即即2.25 二、知识探究：二、知识探究：如何从频率分布直方图中估计如何从频率分布直方图中估计众数、众数、中位数和平均数中位数和平均数 直方图面积平分线直方图面积平分线与横轴交点的横坐标与横轴交点的横坐标.中位数：中位数：0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01
3、0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，设小矩形的宽为，则：，设小矩形的宽为，则：0.50.50.010.01，得，得0.020.02，所以中位数是，所以中位数是+0.02+0.022.02.2.02. 每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和标的乘积之和. 平均数：平均数：0.250.250.040.04+ +0.750.750.080.08+ +1.251.250.150.15+ +1.751.750.220.22+ +2.252.250.250.25+ +2.752.750.140.14+ +3.253.250.060.0
4、6+ +3.753.750.040.04+ +4.254.250.020.02=2.02=2.02（t t）. . 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 思考思考5：从居民月均用水量样本数据可知，该样本从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是的众数是2.3，中位数是，中位数是2.0，平均数是，平均数是1.973，这与，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？能解释一下原因吗？ 频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的频率分布直方图损失了一些样本数据
5、，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注注:在在只有只有样本频率分布直方图的情况下，我们可样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征此估计总体特征.三、三、三种数字特征的三种数字特征的优优缺点缺点特征数特征数优优 点点缺缺 点点众数众数中位数中位数平均数平均数生活决策中的应用生活决策中的应用生活决策中的应用生活决策中的应用: : : :体育体育体育体育 文艺比赛中文艺比赛中文艺比赛中文艺比赛中, , , ,使用的是平均分使用的是平均分使用的是平均分使用的是平
6、均分. . . .同时去掉一个最高分和最低分同时去掉一个最高分和最低分同时去掉一个最高分和最低分同时去掉一个最高分和最低分, , , ,从而降低从而降低从而降低从而降低误差误差误差误差, , , ,保证公平保证公平保证公平保证公平体现了样本数据体现了样本数据的最大集中点的最大集中点无法客观反映总无法客观反映总体特征体特征不受少数极端值的影响不受少数极端值的影响不受少数极端值的不受少数极端值的影响有时也是缺点影响有时也是缺点与每一个数据有关，与每一个数据有关，更能反映全体的信息更能反映全体的信息.受少数极端值的受少数极端值的影响较大，使其影响较大，使其在估计总体时在估计总体时的可靠性降低的可靠性
7、降低. 平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值许多较大（或较小）的极端值. . 样本数据的样本数据的平均数大于（或小平均数大于（或小于）中位数于）中位数说明什么问题？说明什么问题？思考思考6 6：一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有响，在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点时也会成为缺点, ,你能理解下例中你能理解下例中“我们单位的收入水平比我们单位的收入水平比别的单位高别的单位高”这句话的含义？
8、这句话的含义？ 这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数心点，它可以是众数、中位数或平均数. 0.00050.00100.00150.00250.0035100 200 300 400 500 600练习练习1：对某电子元件进行寿命追踪调查，最：对某电子元件进行寿命追踪调查，最终绘制下图，试求电子元件使用寿命的众数，终绘制下图，试求电子元件使用寿命的众数，中位数，平均数？中位数，平均数？众数：众数：150中位数：中位数：220平均数：平均数：500.1+1500.35+2500.25+
9、3500.15+4500.1+5500.05=245频率频率组距组距寿命（小时）四四 、 众数、中位数、平均数的简单应用众数、中位数、平均数的简单应用练习练习2 某工厂人员及工资构成如下：某工厂人员及工资构成如下：人员人员经理经理管理人员管理人员 高级技工高级技工工人工人学徒学徒合计合计周工资周工资2200250220200100人数人数16510123合计合计22001500110020001006900（1）指出这个问题中周工资的众数、中）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客观）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么
10、？地反映该厂的工资水平吗？为什么？200220300练习练习3：下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率：下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：分布表（单位：h），试估计该校学生的日平均），试估计该校学生的日平均睡眠时间。睡眠时间。五五、小结小结 如何根据样本频率分布直方图，分别估计总如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？体的众数、中位数和平均数？（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标）众数：最高矩形下端中点的横坐标.（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标坐标.（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中）平均数：每
11、个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和点的横坐标的乘积之和. 六、作业六、作业”八八.一一”前夕前夕,某中学举行国防知识竞赛某中学举行国防知识竞赛:满分为满分为100分分,80分以上为优秀分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的成绩进行现将高一的两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05 求：求：（1）成绩的众数、）成绩的众数、 中位数；中位数； （
12、2）平均成绩）平均成绩50 60 70809010000.0050.0100.0150.030.04(1)65,65(2)67二、知识探究：二、知识探究：如何从频率分布直方图中估计如何从频率分布直方图中估计众数、众数、中位数和平均数中位数和平均数 思考思考1：在城市居民月均用水量样本数据的频率分在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？估计总体的众数是什么？ 月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.50.40.30.20.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O取最高
13、矩形下端中取最高矩形下端中点的横坐标点的横坐标2.25作作为众数为众数. 思考思考3 3：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.040.04，0.080.08，0.150.15，0.220.22，0.250.25，0.140.14，0.060.06，0.040.04，0.02.0.02.由此估计由此估计总体的中位数是什么？总体的中位数是什么？ 月月均均用用水水量量/t频率频率组距组距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5
14、3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.010.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，设小矩形的宽为，则：，设小矩形的宽为，则：0.50.50.010.01，得，得0.020.02，所以中位数是，所以中位数是+0.02+0.022.02. 2.02. 思考思考2 2: :在频率分布直方图中在频率分布直方图中, ,每个小矩形的面积表示什么每个小矩形的面积表示什么? ?中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？思考思考4 4：在下面的频率分布直
15、方图中，各个小矩形的在下面的频率分布直方图中，各个小矩形的频率频率在哪里？从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为在哪里？从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？多少？估计总体在样本容量内的平均数是多少？估计总体在样本容量内的平均数是多少？0.250.25, ,0.750.75, ,1.251.25, ,1.751.75, ,2.252.25, ,2.752.75, ,3.253.25, ,3.753.75, ,4.25.4.25. 月均月均用用 水水 量量/t频率频率组距组距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
16、4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O O样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩每个小矩形的面积与形的面积与小矩形底边中点的横坐标小矩形底边中点的横坐标之积相加之积相加. . 由此估计由此估计总体的平均数就是总体的平均数就是0.250.250.040.04+ +0.750.750.080.08+ +1.251.250.150.15+ +1.751.750.220.22+ +2.252.250.250.25+ +2.752.750.140.14+ +3.253.250.060.06+ +3.753.750.040.04+ +4.254.250.020.02=2.02=2.02（t t）. . 平均数与中位数相等，是必然还是巧合？平均数与中位数相等，是必然还是巧合？0.250.080.150.220.040.140.060.040.02练习（课本第练习（课本第7474页）页） 答：应该采用平均数来表示每一个国家项目答：应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反映所有项目的信息。但的平均金额，因为它能反映所有项目的信息。但平均数会受到极端数据平均数会受到极端数据22002200万元的影响，所以大万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大。多数项目投资金额都和平均数相差比较大。
