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1、第三章函数及其图象第三章函数及其图象第13讲二次函数的图象和性质 yax2bxc(其中a,b,c是常数,且a0) 3图象与性质4图象的平移5抛物线yax2bxc与系数a,b,c的关系抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称,此时顶点关于x轴对称,a的符号相反;(2)两抛物线关于y轴对称,此时顶点关于y轴对称,a的符号不变;(3)开口反向(或旋转180),此时顶点坐标不变,只是a的符号相反平移规律(1)上加下减常数项;(2)左加右减自变量二次函数与二次方程间的关系已知二次函数yax2bxc的函数值为k,求自变量x的值,就是解一元二次方程ax2bxck;反过来,解一元二次方程ax2
2、bxck,就是把二次函数yax2bxck的函数值看作0,求自变量x的值二次函数与二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y0,y0或y0,y0”,从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况C 1(2015锦州锦州)在同一坐标系中,一次函数yax2与二次函数yx2a的图象可能是( )2(2015沈阳沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数ya(xh)2(a0)的图象可能是( )D A3(2014锦州锦州)二次函数yax2bxc(a0,a,b,c为常数)的图象如图,ax2bxcm有实数根的条件是( )Am2 Bm5 Cm0 Dm44(2014盘锦盘锦)如图,平面直角坐标系中,
3、点M是直线y2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线yx2bxc的顶点,则方程x2bxc1的解的个数是( )A0或2 B0或1C1或2 D0,1或2D C5(2015鞍山鞍山)已知二次函数yax2bxc(a,b,c为常数,a0)的图象如图所示,下列结论正确的是( )A2ab0B4a2bc0Cm(amb)ab(m为大于1的实数)D3ac0B6(2015盘锦盘锦)如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分,对称轴是直线x2.关于下列结论:ab0;b24ac0;9a3bc0;b4a0;方程ax2bx0的两个根为x10,x24,其中正确的结论有( )A BC Dy(x2)237(2014抚顺抚顺)
4、将抛物线y(x3)21先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为_ 8(2014阜新阜新)如图,二次函数yax2bx3的图象经过点A(1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2bx0的根是_x10,x22待定系数法确定二次函数的解析式【例1】(2015黑龙江黑龙江)如图,抛物线yx2bxc交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由【点评】根据不同条件,选择不同设法(1)若已知图象上的三个点,则设所求的二次函数为一般式yax
5、2bxc(a0),将已知条件代入,列方程组,求出a,b,c的值;(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴,函数最值,则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0),将已知条件代入,求出待定系数;(3)若已知抛物线与x轴的交点,则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0),再将另一条件代入,可求出a值【点评】(1) 对于二次函数yax2bxc(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口向下;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右(简称:左
6、同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由决定:b24ac0时,抛物线与x轴有两个交点;b24ac0时,抛物线与x轴有一个交点;b24ac0时,抛物线与x轴没有交点(2) 利用线段垂直平分线的性质,利用直线AB得出AB的垂直平分线的解析式是解题关键B(2)(2013抚顺抚顺)如图,已知直线yx3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线yx2bxc经过A,B两点,与x轴交于另一点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.求抛物线的解析式;在第三象限内,F为抛物线上一点,以A,E,F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;点P从点D出发,沿对称轴向下
7、以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P,B,C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t的值结合几何图形的函数综合题 【例3】(2015深圳)如图,关于x的二次函数yx2bxc经过点A(3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上(1)求抛物线的解析式;(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,求出点P;若不存在,请说明理由【点评】本题主要涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点在(2)中注意分点P在DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况2对应训练3(2013盘锦盘锦)如图,抛物线yax2bx3与x轴相交于点A(1,0),B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O,B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E,F,点D在y轴正半轴上,OD2,连接DE,OF.(1)求抛物线的解析式;(2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标;(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式(不必说明平分平行四边形面积的理由)