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1、第三章函数及其图象第三章函数及其图象第13讲二次函数的图象和性质 yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0) 3图象与性质4图象的平移5抛物线yax2bxc与系数a，b，c的关系抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反平移规律(1)上加下减常数项；(2)左加右减自变量二次函数与二次方程间的关系已知二次函数yax2bxc的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2
2、bxck，就是把二次函数yax2bxck的函数值看作0，求自变量x的值二次函数与二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y0，y0或y0，y0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况C 1(2015锦州锦州)在同一坐标系中，一次函数yax2与二次函数yx2a的图象可能是( )2(2015沈阳沈阳)在平面直角坐标系中，二次函数ya(xh)2(a0)的图象可能是( )D A3(2014锦州锦州)二次函数yax2bxc(a0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2bxcm有实数根的条件是( )Am2 Bm5 Cm0 Dm44(2014盘锦盘锦)如图，平面直角坐标系中，
3、点M是直线y2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线yx2bxc的顶点，则方程x2bxc1的解的个数是( )A0或2 B0或1C1或2 D0，1或2D C5(2015鞍山鞍山)已知二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的图象如图所示，下列结论正确的是( )A2ab0B4a2bc0Cm(amb)ab(m为大于1的实数)D3ac0B6(2015盘锦盘锦)如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，对称轴是直线x2.关于下列结论：ab0；b24ac0；9a3bc0；b4a0；方程ax2bx0的两个根为x10，x24，其中正确的结论有( )A BC Dy(x2)237(2014抚顺抚顺)
4、将抛物线y(x3)21先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_ 8(2014阜新阜新)如图，二次函数yax2bx3的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2bx0的根是_x10，x22待定系数法确定二次函数的解析式【例1】(2015黑龙江黑龙江)如图，抛物线yx2bxc交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是x2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【点评】根据不同条件，选择不同设法(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式yax
5、2bxc(a0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，再将另一条件代入，可求出a值【点评】(1) 对于二次函数yax2bxc(a0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右(简称：左
6、同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由决定：b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点(2) 利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线的解析式是解题关键B(2)(2013抚顺抚顺)如图，已知直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过A，B两点，与x轴交于另一点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D.求抛物线的解析式；在第三象限内，F为抛物线上一点，以A，E，F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；点P从点D出发，沿对称轴向下
7、以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t的值结合几何图形的函数综合题 【例3】(2015深圳)如图，关于x的二次函数yx2bxc经过点A(3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上(1)求抛物线的解析式；(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由【点评】本题主要涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点在(2)中注意分点P在DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况2对应训练3(2013盘锦盘锦)如图，抛物线yax2bx3与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点(不与O，B重合)，过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E，F，点D在y轴正半轴上，OD2，连接DE，OF.(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；(3)过点A的直线将(2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式(不必说明平分平行四边形面积的理由)
