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1、7.1第7章 平面弯曲内力7.1 平面弯曲的概念与平面弯曲的概念与实实例例7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系小结小结7.27.1 7.1 平面弯曲的概念与平面弯曲的概念与实实例例 弯曲是工程弯曲是工程实践中最常践中最常见的一种根本的一种根本变形。形。 例如：火例如：火车轮轴受力后的受力后的变形；形； 工厂工厂车间里的行里的行车受力后的受力后的变形；形； 还有水泥梁、公路上的有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的梁等受力后的变形。形。 7.1.1 7.1.1 平面弯曲的概念与平面弯曲的
2、概念与实实例例 弯曲：构件在弯曲：构件在经过其其轴线的面内，遭到力偶或垂直于的面内，遭到力偶或垂直于轴线的横向外的横向外力的作用受力特点，杆的力的作用受力特点，杆的轴线由直由直线变为曲曲线变形特点。形特点。 7.3 平平面面弯弯曲曲：假假设梁梁有有一一个个或或几几个个纵向向对称称面面梁梁的的轴线应为该纵向向对称称面面内内的的一一条条平平面面直直线，且且该纵向向对称称面面与与各各横横截截面面的的交交线也也是是各各横横截截面面的的对称称轴，当当作作用用于于梁梁上上的的一一切切外外力力包包括括横横向向外外力力、力力偶偶、支支座座反反力力等等都都位位于于梁梁的的某某一一纵向向对称称面面内内时，使使得得
3、梁梁的的轴线由由直直线变为在在纵向向对称称面面内内的的一一条条平平面面曲曲线，这种种弯弯曲曲变形形就就称称为平面弯曲。平面弯曲。 梁：梁：变形形为弯曲弯曲变形或以弯曲形或以弯曲变形形为主的杆件，工程上主的杆件，工程上习惯称之称之为梁。梁。 7.1 7.1 平面弯曲的概念与平面弯曲的概念与实实例例 7.4 1. 1.简支梁支梁 梁的一端梁的一端为活活动铰支座，另一端支座，另一端为固定固定铰支座。支座。 2. 2.外伸梁外伸梁 梁的一端或两梁的一端或两端伸出支座之外的端伸出支座之外的简支梁。支梁。 3. 3.悬臂梁臂梁 梁的一端梁的一端为固固定端支座、另一端自在。定端支座、另一端自在。 根据支座根
4、据支座对梁梁约束的不同特点支座可束的不同特点支座可简化化为三种方式：活三种方式：活动铰支支座、固定座、固定铰支座、固定端支座，支座、固定端支座，简单的梁有三种的梁有三种类型：型： 一、梁的一、梁的计算算简图 简化化为不断杆并用梁的不断杆并用梁的轴线来表示。来表示。 二、梁的分二、梁的分类 7.1.2 7.1.2 梁的计算简图及分类梁的计算简图及分类 7.1 7.1 平面弯曲的概念与平面弯曲的概念与实实例例 7.5 又如：又如：为了减少了减少悬臂梁的臂梁的变形和提高其形和提高其强度，在梁的自在端增度，在梁的自在端增设一一活活动铰支座后，梁也就成了一次超静定梁。支座后，梁也就成了一次超静定梁。 例
5、如：例如：为了减少了减少简支梁的支梁的变形和提高其形和提高其强度，在梁的跨中增度，在梁的跨中增设一活一活动铰支座后，梁就成了一次超静定梁。支座后，梁就成了一次超静定梁。 这三种梁接受三种梁接受载荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故普通荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故普通将它将它们统称称为静定梁，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目静定梁，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目的梁，用静力平衡方程无法求得全部支座反力，的梁，用静力平衡方程无法求得全部支座反力，这类梁称梁称为超静定梁。超静定梁。 7.1 7.1 平面弯曲的概念与平面弯曲的概念与实实例例 7.67.2 7.2
6、平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 7.2.1 7.2.1 截面法求内力截面法求内力 问题：梁在：梁在发生平面弯曲生平面弯曲变形形时，横截面上会，横截面上会产生何种内力素？在生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出存在？如何求出这些内力素？些内力素？ 例：欲求例：欲求图示示简支梁恣意截面支梁恣意截面1-11-1上的内力。上的内力。 1. 1.截开：截开： 在在1-11-1截面截面处将梁截分将梁截分为左、右两部左、右两部分，取左半部分分，取左半部分为研研讨对象。象。 2. 2.替代：替代： 在左半段的在左半段的1-11-1截面处添画内力截面处添画
7、内力 、 ，( (由平衡解释由平衡解释) )替代右半部分对其替代右半部分对其作用。作用。 7.73.3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应应平衡。平衡。 由由 得得 由由 得得 如取右半段为研讨对象，同样可以求得截面如取右半段为研讨对象，同样可以求得截面1-11-1上的内力上的内力 和和 ，但，但左、右半段求得的左、右半段求得的 及及 数值相等，方向或转向相反。数值相等，方向或转向相反。 7.2.2 7.2.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 ：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面1-11-1相切，故称相切
8、，故称为截面为截面1-11-1的剪力。的剪力。 ：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面与截面垂直，故称为截面1-11-1的弯矩。的弯矩。 7.2 7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 7.8 由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向或由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向或转向相反，向相反，为使无使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号一符号一样，必需，必需对剪力和弯矩的正剪力和弯矩的正负符号做适当符号做适当规定。定。 剪力的正剪
9、力的正负： 使微段梁使微段梁产生左生左侧截面向上、右截面向上、右侧截面向下的剪力截面向下的剪力为正，反之正，反之为负。 弯矩的正弯矩的正负： 使微段梁使微段梁产生上凹下凸弯曲生上凹下凸弯曲变形的弯矩形的弯矩为正，反之正，反之为负。 归纳剪力和弯矩的剪力和弯矩的计算公式：算公式： 7.2 7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 7.9截面上的剪力等于截面一侧一切横向外力的代数和。截面上的剪力等于截面一侧一切横向外力的代数和。 截面上的弯矩等于截面一侧一切外力对截面形心取力截面上的弯矩等于截面一侧一切外力对截面形心取力矩的代数和。矩的代数和。 公式中外力和外力矩的正公式中外力和外力矩
10、的正负规定：定： 剪力公式中外力的正剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在右段梁上向下作用的横向外力在该截面上截面上产生的剪力生的剪力为正，反之正，反之为负。以上可以上可归纳为一个一个简单的口的口诀“左上、右下左上、右下为正。正。 7.2 7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 7.10 弯矩公式中外力矩的正弯矩公式中外力矩的正负规定：截面左段梁上的横向外力或外力定：截面左段梁上的横向外力或外力偶偶对截面形心的力矩截面形心的力矩为顺时针转向或右段梁上的横向外力或外力偶向或右段梁上的横向外力或外力偶
11、对截面形心的力矩截面形心的力矩为逆逆时针转向向时，在，在该截面上截面上产生的弯矩生的弯矩为正，反正，反之之为负。以上也可。以上也可归纳为一个一个简单的口的口诀“左左顺、右逆、右逆为正。正。 例例7.1 7.1 简支梁如下图。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。简支梁如下图。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。 解解 1 1求支反力求支反力 设设 、 方向向上。方向向上。 由由 及及 2 2求指定截面的剪力和弯矩求指定截面的剪力和弯矩 7.2 7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 可求得可求得kNFkNFBA1010=7.11由由1-11-1截面左侧计算截面左侧计算 7.2 7.2 平面
12、弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 由由1-11-1截面左侧计算截面左侧计算 1011011kNmFMA= =由由2-22-2截面左侧计算截面左侧计算 212102kNFFFAS-=-=-=由由2-22-2截面左侧计算截面左侧计算 100110012kNmFFMA=-=-=由由3-33-3截面右侧计算截面右侧计算 2102423kNFqFBS-=-=-+=由由3-33-3截面截面右侧计算右侧计算 821012442123kNmFqMMBe=+-=+-=由由4-44-4截面右侧计算截面右侧计算 2102424kNFqFBS-=-=-+=由由4-44-4截面右侧计算截面右侧计算 122101
13、242124kNmFqMB=+-=+-=7.12 从从以以上上1-11-1、2-22-2截截面面的的剪剪力力值值可可以以看看出出，在在集集中中力力 作作用用途途的的两两侧侧截截面面的的剪剪力力值值将将发发生生突突变变，突突变变值值就就等等于于该该集集中中力力 的的大大小小；而而从从3-33-3、4-44-4截截面面的的弯弯矩矩值值可可以以看看出出，在在集集中中力力偶偶 作作用用途途的的两两侧侧截截面面的的弯弯矩矩值值将将发发生生突变，突变值就等于该集中力偶矩突变，突变值就等于该集中力偶矩 的大小。的大小。7.2 7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩 7.137.3.1 7.3.
14、1 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐标标 表示横截面的位置，那么其剪力和弯矩都可以表示为表示横截面的位置，那么其剪力和弯矩都可以表示为 的函数。的函数。 即：即： 将其称为梁的剪力方程与弯矩方程。将其称为梁的剪力方程与弯矩方程。 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图 列内力方程时应根据梁上载荷的分布情况分段进展，集中力包括列内力方程时应根据梁上载荷的分布情况分段进展，集中力包括支座反力、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。支座反力、集中力偶的作用点和分布
15、载荷的起、止点均为分段点。 7.3.2 7.3.2 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 为了一目了然地表示出梁的各横截面上剪力与弯矩沿梁轴线的分布为了一目了然地表示出梁的各横截面上剪力与弯矩沿梁轴线的分布7.14情况，通常可以情况，通常可以 为横坐标，以各内力为纵坐标，绘出为横坐标，以各内力为纵坐标，绘出 和和 的函数图象，将其称为剪力图与弯矩图。的函数图象，将其称为剪力图与弯矩图。 从剪力从剪力图与弯矩与弯矩图上可以很方便地确定梁的最大剪力和最大弯矩，上可以很方便地确定梁的最大剪力和最大弯矩，从而迅速确定梁危从而迅速确定梁危险截面的位置。截面的位置。 绘制剪力制剪力图与弯矩与弯矩图的最根本方法是列
16、剪力方程与弯矩方程的最根本方法是列剪力方程与弯矩方程绘制内制内力力图。 例例7.2 7.2 如下图简支梁如下图简支梁AB AB ，受向下均布载荷，受向下均布载荷 作用。试列出梁的剪力作用。试列出梁的剪力方程与弯矩方程。并画出剪力图与弯矩图。方程与弯矩方程。并画出剪力图与弯矩图。 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图7.157.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图解：解：1 1求支反力求支反力由对称关系，由对称关系， 。 2 2列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 a b 3 3 绘绘制剪力制剪力图图与弯矩与弯矩图图 7.167.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图 由由 式
17、式a a可知剪力图为一条斜直线，斜率为可知剪力图为一条斜直线，斜率为 ，向下倾斜即左，向下倾斜即左高右低。高右低。 由式由式b b可知弯矩可知弯矩图为一条开口向下的一条开口向下的抛物抛物线。可采用三点。可采用三点绘图法法绘制其弯矩制其弯矩图。 (1) (1)起点起点 (2) (2)终点终点 根据根据 时，时， ； 时，时， 。 即可绘出剪力图。即可绘出剪力图。a b 7.173 3极值点抛物线的最高点或最低点极值点抛物线的最高点或最低点 令令 可得可得 从而确定了极值截从而确定了极值截 面的位置面的位置 将将 代入弯矩计算公式得代入弯矩计算公式得 此即抛物线顶点的纵坐标，即可绘出抛物线，也就是
18、梁的弯矩图。此即抛物线顶点的纵坐标，即可绘出抛物线，也就是梁的弯矩图。 由剪力图与弯矩图可以很方便地看出：由剪力图与弯矩图可以很方便地看出： 最大剪力发生在两端截面的内侧，其绝对值为最大剪力发生在两端截面的内侧，其绝对值为 ； 最大弯矩发生在中截面，最大弯矩发生在中截面， 。 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图7.18 例例7.3 7.3 图图7.14a7.14a所示简支梁所示简支梁ABAB，在，在C C点受集中力点受集中力F F作用，试列出梁的作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解解 1 1求支反力求支反力 由平衡方
19、程得由平衡方程得 内力，即可得内力，即可得ACAC的剪力方程和弯矩方程：的剪力方程和弯矩方程： 2 2分段列剪力方程和弯矩方程分段列剪力方程和弯矩方程 对对ACAC段，在段内取坐标为段，在段内取坐标为 的截面计算的截面计算 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图 (a)(a)(b)(b)7.19 3 3绘制剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图 同理可得同理可得CBCB段的剪力方程和弯矩方程：段的剪力方程和弯矩方程： (d)(c)7.20 式式b b表示在表示在ACAC段内的弯矩图是一条向右上方倾斜的斜直线，段内的弯矩图是一条向右上方倾斜的斜直线，
20、由由 决议。决议。 而式而式d d表示在表示在BCBC段内的弯矩图是一条向右下方倾斜的斜直线，段内的弯矩图是一条向右下方倾斜的斜直线， 由由 决议整个梁的弯矩决议整个梁的弯矩图在集中力图在集中力F F作用途构成一折角。作用途构成一折角。 由由 图和图和 图可知，当图可知，当 时，时， CB CB 段内恣意截面上的剪力值为最段内恣意截面上的剪力值为最大，大， ； 当当 时，时，AC AC 段内恣意截面上的剪力值为最大，段内恣意截面上的剪力值为最大， 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图7.21 从从 图上可以看出，在集中力图上可以看出，在集中力F F作用的作用的C C 截面处，剪力值发生
21、了突变，截面处，剪力值发生了突变，突变值就等于该集中力突变值就等于该集中力 的大小。的大小。 例例7.4 7.4 图示简支梁图示简支梁AB AB ，在，在C C 截面处受截面处受集中力偶集中力偶 作用。试列出梁的剪力方程和作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解解 1 1求支反力求支反力 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图 。梁上的最大弯矩值发生在集中力。梁上的最大弯矩值发生在集中力F F作用的作用的C C 截面上，其值截面上，其值为：为： 。7.22同理，可得同理，可得CB CB 段的剪力方程和弯矩方程：段的剪力方程和弯矩方程：
22、 7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图2 2分段列剪力方程和弯矩方程分段列剪力方程和弯矩方程 对对ACAC段，在段内取坐标为段，在段内取坐标为 的截面计算内力，即可得的截面计算内力，即可得ACAC的剪力方程和的剪力方程和弯矩方程：弯矩方程：7.23 由式由式a a和和c c， 图为一条平行于图为一条平行于 轴的程度线。由此可见，轴的程度线。由此可见， 集中力偶对集中力偶对 图无影响，梁上任一截面的剪力均为最大值图无影响，梁上任一截面的剪力均为最大值 。 由式由式b b和和d d可知，在可知，在AC AC 和和CB CB 段内，弯矩图均为斜率为段内，弯矩图均为斜率为 的斜直线，相互平行，
23、但在集中力偶的斜直线，相互平行，但在集中力偶 作用的作用的C C 截面处，图发生突变，截面处，图发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的大小。假设突变的绝对值等于集中力偶的大小。假设 ，那么在，那么在C C 点的左侧截面点的左侧截面上有上有最大弯矩最大弯矩 ；假设；假设 ，那么在，那么在C C 点的右侧截面上有最大弯点的右侧截面上有最大弯7.3 7.3 剪力剪力图图与弯矩与弯矩图图矩矩 。 7.24如何能比如何能比较简单、方便地、方便地绘制梁的剪力制梁的剪力图与弯矩与弯矩图呢？呢？ 下面我下面我们来看一下前面学来看一下前面学习过的例的例7.2 7.2 ，梁的剪力方程与弯矩方程，梁的剪力方程与弯矩方
24、程分分别为： 7.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 假设将弯矩方程和剪力方程分别对假设将弯矩方程和剪力方程分别对 求导数，求导的结果恰好是剪力求导数，求导的结果恰好是剪力方程和载荷集度设方程和载荷集度设q q以向上时为正。即：以向上时为正。即： 7.37.3 7.257.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 设图示简支梁设图示简支梁AB AB 上作用有恣意载荷，作用于上作用有恣意载荷，作用于 微段梁上的载荷集度微段梁上的载荷集度可以以为是均布的。建立直角坐标系普通以左端面的形心可以以为是均布的。建立直角坐标系普通以左端面的形心
25、A A 为坐标原为坐标原点，规定分布载荷向上时为正。点，规定分布载荷向上时为正。 在这些力作用下，由于整个梁本来在这些力作用下，由于整个梁本来是平衡的，所以是平衡的，所以 微段梁也处于平衡形微段梁也处于平衡形状。状。 取取 微段梁为研讨对象，设其左侧截微段梁为研讨对象，设其左侧截面上的剪力与弯矩分别为面上的剪力与弯矩分别为 和和 ；右侧截；右侧截面上的剪力与弯矩分别为面上的剪力与弯矩分别为 和和 。 7.26 由由 a a 由由 b b 由由a a可得：可得： 7.3a7.3a 由由b b略去二阶微量略去二阶微量 整理后可得：整理后可得： 7.3b7.3b 将将7.3b7.3b代入代入7.3a
26、7.3a可得：可得： 7.3c7.3c 综合以上三式，可写为：综合以上三式，可写为： 式式7.3a7.3a表表示示：剪剪力力图中中曲曲线上上某某点点的的斜斜率率等等于于梁梁上上对应点点处的的载荷荷集集度度；式式7.3b7.3b表表示示：弯弯矩矩图中中曲曲线上上某某点点的的斜斜率率等等于于梁梁上上对应截截面面上的剪力。上的剪力。7.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系7.277.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 式式7.3b7.3b可改写为积分方式，即可改写为积分方式，即 7.4b7.4b 式式7.4b7.4b表示：梁上表示：梁
27、上 截面上的弯矩等于截面上的弯矩等于 截面上的弯矩截面上的弯矩与对应与对应 截面之间剪力图曲线与截面之间剪力图曲线与 x x 轴所围几何图形面积的代数和。轴所围几何图形面积的代数和。 但要留意的一点是：当梁上有集中力作用但要留意的一点是：当梁上有集中力作用时，该力作用的截面力作用的截面处式式7.3a7.3a不适用；而在梁上有集中力偶作用的截面不适用；而在梁上有集中力偶作用的截面处式式7.3b7.3b和式和式 7.4b7.4b不适用。不适用。 掌握了弯矩、剪力和掌握了弯矩、剪力和载荷集度之荷集度之间的关系，有助于正确、的关系，有助于正确、简捷地捷地绘制剪力制剪力图与弯矩与弯矩图。同。同时，也可运
28、用其，也可运用其检查已已绘制好的剪力制好的剪力图与弯矩与弯矩图能否有能否有错误。 7.287.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 根据式根据式7.37.3和集中力、集中力偶作用的截面和集中力、集中力偶作用的截面处内力内力图的的变化化规律，律，可以将剪力可以将剪力图、弯矩、弯矩图和梁上和梁上载荷三者之荷三者之间的的规律小律小结见表表7.17.1。 7.297.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系利用表利用表7.17.1所所归纳的的规律，只需求律，只需求计算梁上某些特殊截面的内力算梁上某些特殊截面的内力值，就可，就可以直接以直接绘制
29、出剪力制出剪力图与弯矩与弯矩图，而不用列出弯矩方程和剪力方程，我，而不用列出弯矩方程和剪力方程，我们将将这种种绘制内力制内力图的方法的方法简称称为“控制点作控制点作图法。法。 例例7.5 7.5 利利用用 之之间间的的关关系系，画出图示梁的内力图。画出图示梁的内力图。 解解 1 1求支反力求支反力 以梁以梁AB AB 为研研讨对象象 由由 得得 7.307.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系由由 得得 2 2利用利用 之间的关系，画图示梁的内力计算各段起、止截之间的关系，画图示梁的内力计算各段起、止截面的剪力值，画内力图。面的剪力值，画内力图。 a a从各截面
30、左从各截面左边的横向外力的横向外力计算各截算各截面剪力画剪力面剪力画剪力图。 7.31 对于右端面于右端面B B 的左的左侧面剪力，从右面剪力，从右边计算算显然很然很简捷。捷。 留意：各剪力符号右上角的留意：各剪力符号右上角的 + +、- - 号表示号表示该截面的右截面或左截面。截面的右截面或左截面。 由表由表7.17.1所所归纳的作的作图规律可知：剪力律可知：剪力图在在AC AC 段段为向右下向右下倾斜的直斜的直线，在，在CDCD、DB DB 段内段内为程度程度线。根据数据作。根据数据作图。 b b 从各截面左从各截面左边边的外力的外力 包括力偶包括力偶 计计算各截面弯矩，画弯矩算各截面弯矩
31、，画弯矩图图。7.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系7.327.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 对于截面于截面D D及右端面及右端面B B剪力，从右剪力，从右边计算算显然很然很简捷。捷。 由表由表7.17.1所所归纳的作的作图规律可知：弯矩律可知：弯矩图在在AC AC 段内段内为上凸的抛物上凸的抛物线，在在CDCD、DB DB 段内段内为向右下向右下倾斜的直斜的直线。根据数据作。根据数据作图。 留意：关于留意：关于AC AC 段抛物段抛物线顶点的坐点的坐标确定：确定： 首先要确定位置坐标首先要确定位置坐标 ， 其方法有两种
32、：其方法有两种： 7.33 (2) (2)可由已绘制的剪力图中，用类似三角形的对应边成比例来求。可由已绘制的剪力图中，用类似三角形的对应边成比例来求。 7.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 求出了位置坐标求出了位置坐标 ，就可代入弯矩计算公式计算抛物线顶点的纵坐，就可代入弯矩计算公式计算抛物线顶点的纵坐标即弯矩的极值。标即弯矩的极值。 同样求得同样求得 。 由由 m34=Ex (1) (1)据式据式7.3b7.3b 可知，函数一阶导数为零时，函数有可知，函数一阶导数为零时，函数有极值，剪力为零的截面上，弯矩有极值。我们可以设此截面横坐标极值，剪力为零的截面上
33、，弯矩有极值。我们可以设此截面横坐标为为 ，由，由 求得求得 。 m34=Ex7.347.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系 此外，绘制完剪力图后，也可根据剪力与弯矩间的导数关系，以及此外，绘制完剪力图后，也可根据剪力与弯矩间的导数关系，以及集中力偶作用途弯矩图有突变的特点，绘制弯矩图。集中力偶作用途弯矩图有突变的特点，绘制弯矩图。 根据上面的数据同样可以绘制弯矩图，并可经过根据上面的数据同样可以绘制弯矩图，并可经过B B、D D 两截面的弯矩两截面的弯矩值进展校核：值进展校核： 同理可得：同理可得： 3,5,2kNmMkNmMkNmMDC+C-=67. 2)
34、34(421210kNmxFdsFMMEAEASAE=+=+=-=-+=+=BDSDBdsFMM0) 13(37.35 由剪力图和弯矩图可以很方便地看出梁的最大剪力在由剪力图和弯矩图可以很方便地看出梁的最大剪力在A A 支座稍右的支座稍右的A +A +截面上，截面上， ，最大弯矩在梁中截面，最大弯矩在梁中截面C C的稍右的的稍右的C +C +截面截面上，上， 。 7.4 7.4 弯矩、剪力和弯矩、剪力和载载荷集度荷集度间间的关系的关系7.36作业P 7.1 a c 7.2 a c f 7.3b e f 7.5 b7.37 1. 1. 梁在平面弯曲梁在平面弯曲变形形时横截面上有两种内力横截面上有
35、两种内力剪力和弯矩。其剪力和弯矩。其计算算公式公式为： 截面上的剪力等于截面一侧一切横向外力的代数和。截面上的剪力等于截面一侧一切横向外力的代数和。 截面上的弯矩等于截面一侧一切外力对截面形心取力截面上的弯矩等于截面一侧一切外力对截面形心取力矩的代数和。矩的代数和。 公式中外力和外力矩的正公式中外力和外力矩的正负规定：定： 剪力公式中外力的正剪力公式中外力的正负规定：定： “ “左上、右下左上、右下为正。正。 弯矩公式中外力矩的正弯矩公式中外力矩的正负规定：定： “ “左左顺、右逆、右逆为正。正。 第7章 平面弯曲内力 小结7.38 2. 2.剪力图和弯矩图是分析梁强度和刚度问题的重要根底，从
36、剪力图剪力图和弯矩图是分析梁强度和刚度问题的重要根底，从剪力图和弯矩图上可以很方便地找出梁的危险截面。本章的主要要求就是要可和弯矩图上可以很方便地找出梁的危险截面。本章的主要要求就是要可以熟练、正确地画好剪力图和弯矩图。以熟练、正确地画好剪力图和弯矩图。 3. 3.画剪力图和弯矩图的根本方法是列方程画图，但太烦琐，要画剪力图和弯矩图的根本方法是列方程画图，但太烦琐，要求学生重点掌握根据弯矩、剪力和载荷集度间的关系所得到的表求学生重点掌握根据弯矩、剪力和载荷集度间的关系所得到的表7.17.1所所 归纳的规律，直接绘制图形，并进展校核，以保证图形的正确性。归纳的规律，直接绘制图形，并进展校核，以保证图形的正确性。 第第7 7章章 平面弯曲内力平面弯曲内力 小结小结
