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1、1. 椭圆是如何定义的？其标准方程怎样？椭圆是如何定义的？其标准方程怎样？ 平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的的距离的和和等于等于常数常数2a (2a (大于大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫椭圆椭圆。( (一一).).焦点在焦点在x x轴上的椭圆方程轴上的椭圆方程( (二二) )焦点在焦点在y y轴上的椭圆标准方程轴上的椭圆标准方程复习提问：复习提问：椭圆就是集合椭圆就是集合: :P=M|MFP=M|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a(ab0)|=2a(ab0) 分母大的数为分母大的数为a a2 2, ,且焦点在其分子字
2、且焦点在其分子字母所对应的坐标轴上母所对应的坐标轴上. .满足满足:a:a2 2=b=b2 2+c+c2 22. 在椭圆标准方程中在椭圆标准方程中,如何判断如何判断a及焦点及焦点的位置的位置? a、b、c的关系怎样？的关系怎样？3. 如何求椭圆的方程呢？常用哪些方法？如何求椭圆的方程呢？常用哪些方法？例例1: 1: 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2，0),0),（2 2，0 0），并且经过点（），并且经过点（5/25/2，-3/2-3/2），求其标），求其标准方程。准方程。 依题知椭圆的焦点在依题知椭圆的焦点在x x轴上，可设它的轴上，可设它的标准方程为标准
3、方程为: :由由椭圆的定义知：椭圆的定义知：又又因为因为c=2c=2，因此，椭圆的标准方程为：因此，椭圆的标准方程为：所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=10-4=6=10-4=6解法解法1：待定系数法待定系数法-（利用椭圆定义）（利用椭圆定义）解法解法2： 待定系数法待定系数法-（利用点在椭圆上）（利用点在椭圆上） 依题知椭圆的焦点在依题知椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,可设它的可设它的标准方程为标准方程为: :又又c=2 c=2 (2)(2)a a2 2=b=b2 2+c+c2 2 (3)(3)联立联立(1)(2)(3)(1)(2)(3)得得:a:a2 2=10,b=10,b
4、2 2=6=6椭圆方程为椭圆方程为: :椭圆上点椭圆上点P到两焦点到两焦点F1 (0, -4) 、F2 (0, 4) 的距离的和等于的距离的和等于10 ,求其标准方程。求其标准方程。依题意依题意, ,椭圆的焦点在椭圆的焦点在y y轴上轴上c=4c=4，a=5a=5bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=5=52 2-4-42 2=25-16=9=25-16=9定类型定类型设方程设方程求系数求系数练习：练习：解法解法1：待定系数法待定系数法-（利用椭圆定义）（利用椭圆定义）解法解法2：设椭圆上任意一点设椭圆上任意一点P(x,yP(x,y),),|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a
5、|=2a移项平方整理得移项平方整理得: :直接法直接法(1) 待定系数法待定系数法: 定类型，设方程，求系数定类型，设方程，求系数求曲线方程常用方法有求曲线方程常用方法有(2)(2)直接法：直接法：动点满足的约束条件坐标化动点满足的约束条件坐标化说明说明:(3)(3)转移法转移法( (代入法代入法) )( (后面讲的教材例后面讲的教材例2)2) 1.1.没有建立坐标系的应首先建立适当没有建立坐标系的应首先建立适当的坐标系的坐标系. . 2.2.方程的类型不明显，是否需要分两方程的类型不明显，是否需要分两种情况，如何设方程可以避免讨论？种情况，如何设方程可以避免讨论？(1).(1).两个焦点间距
6、离为两个焦点间距离为8 8，椭圆上一点，椭圆上一点P P到两到两 焦点的距离的和等于焦点的距离的和等于1010。例例2. 2. 求椭圆的方程求椭圆的方程: :(2).(2).椭圆经过两点椭圆经过两点分析分析: :椭圆的焦点可以在椭圆的焦点可以在x x轴轴, ,也可以在也可以在y y轴轴上上. .(1).(1).两个焦点间距离为两个焦点间距离为8 8，椭圆上一点，椭圆上一点P P到到 两焦点的距离的和等于两焦点的距离的和等于1010。解：解：2c=82c=8，2a=102a=10c=4c=4，a=5a=5bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=25-16=9=25-16=9说明说明: :当焦点当
7、焦点不确定不确定时时, ,可分焦点在可分焦点在x x轴或轴或y y轴进行讨论轴进行讨论. .当焦点在当焦点在x x轴轴上时上时, ,当焦点在当焦点在y y轴轴上时上时, , (2).(2).椭圆经过两点椭圆经过两点解法解法1 1: : ( (分焦点在分焦点在x x轴或轴或y y轴讨论轴讨论) )注注: :巧巧妙妙地地设设椭椭圆圆方方程程, ,可可避避免免分分情情况况讨讨论论. .其其焦焦点点位位置置由由m,nm,n的值确定的值确定. .解法解法2 2: :( (巧妙设椭圆方程巧妙设椭圆方程, ,避免讨论避免讨论) ) 1.1.确定椭圆的标准方程，需要满足确定椭圆的标准方程，需要满足两个独两个独
8、立条件立条件. .这样可以避免进行讨论。其方法也是这样可以避免进行讨论。其方法也是待定系待定系数法数法. .3.3.当椭圆过两个已知点时，可设方程为：当椭圆过两个已知点时，可设方程为：说明说明: : 2.2.当当焦点位置无法判断焦点位置无法判断时时, ,可分情况讨论可分情况讨论; ;当当焦点位置确定焦点位置确定时时, ,其方程唯一确定其方程唯一确定. . (1)(1)若若椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点的的坐坐标标分分别别是是F F1 1(-4,0)(-4,0)、F F2 2(4,0),(4,0),椭椭圆圆的的弦弦ABAB过过点点F F1 1，ABFABF2 2的的 周周 长长 为为 20,20,
9、那那 么么 椭椭 圆圆 方方 程程 为为_ _ 练习练习:x x2 2/25+y/25+y2 2/9=1/9=1F1F2A AB B a a|AF|AF1 1| |AF|AF2 2|,|, a a|BF|BF1 1| |BF|BF2 2| | ( (|AF|AF1 1| |AF|AF2 2|)|)(|BF(|BF1 1| |BF|BF2 2|)|) =2a+2a=4a=20 =2a+2a=4a=20 a=5a=5又又 c=4c=4b=3b=3 椭圆方程为椭圆方程为: :x x2 2/25+y/25+y2 2/9=1/9=1解解: (2)(2)已知已知 B B、C C 是两个定点是两个定点,|B
10、C|=6,|BC|=6,且且ABCABC的周长等于的周长等于16,16,求顶点求顶点A A的轨迹方程的轨迹方程. .0yx以以ABCABC的的BCBC边边所在的直线为所在的直线为x x轴，线段轴，线段BCBC的中垂线为的中垂线为y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系|BC|=6=2c c=3|AB|+|AC|+|BC|=16|AB|+|AC|+|BC|=16 且且|BC|=6|BC|=6|AB|+|AC|=10=2a|AB|+|AC|=10=2a a=5a=5点点A A的轨迹是以的轨迹是以B B、C C为焦点的椭圆为焦点的椭圆bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=52-32=16=52-
11、32=16但当点但当点A A、B B、C C共线时共线时, ,不能构成三角形不能构成三角形点点A A的轨迹方程为：的轨迹方程为：y0y0解解: B CA A(-3,0)(3,0) 1. 充分分析图形特点，熟悉各种曲线的充分分析图形特点，熟悉各种曲线的定义，定义，数形结合数形结合。 2. 求出动点的轨迹方程后，要注意结合求出动点的轨迹方程后，要注意结合图形，图形，去掉方程中不符合条件的点。去掉方程中不符合条件的点。说明说明: :例例3. 已知定圆已知定圆C1:x2+y2+4x=0 , 圆圆C2:x2+y2-4x-60=0 , 动圆动圆M和定圆和定圆C1外切外切, 和圆和圆C2内切内切,求动圆圆心
12、求动圆圆心M的轨迹方程。的轨迹方程。C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+4x=0+4x=0(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4=4C C2 2:x:x2 2+y+y2 2-4x-60=0-4x-60=0(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=64=64圆心圆心C C1 1(-2,0)(-2,0)，半径半径r r1 1=2=2圆心圆心C C2 2(2,0)(2,0)，半径半径r r2 2=8=8设设动圆动圆M M的半径为的半径为r r圆圆M M与圆与圆C C1 1外切外切|MC|MC1 1|=2+r |=2+r 圆圆M M与圆与圆C C2 2内切内切|MC|MC2 2|=8-r
13、|=8-r |MC |MC1 1|+|MC|+|MC2 2|=10|C|=10|C1 1C C2 2|=4|=4MM C1(-2,0) C2(2,0)解解:点点M M的轨迹方程为：的轨迹方程为：点点M M的轨迹是以的轨迹是以C C1 1(-2,0)(-2,0)，C C2 2 (2,0)(2,0)为焦点为焦点的椭圆，其方程可设为的椭圆，其方程可设为: :依题知：依题知：2a=102a=10，2c=42c=4a=5a=5，c=2c=2bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=5=52 2-2-22 2=21=21MM C1(-2,0) C2(2,0)1.用用待定系数法待定系数法求椭圆标准方程，解题步
14、骤：求椭圆标准方程，解题步骤：定类型，设方程，求系数定类型，设方程，求系数a a，b b2.2.用用直接法直接法求动点轨迹方程，归结为动点满足求动点轨迹方程，归结为动点满足约束条件坐标化约束条件坐标化. .3.3.确定确定椭圆标准方程椭圆标准方程, ,需要满足需要满足两个独立条件两个独立条件. .4.4.当当焦点位置无法判断焦点位置无法判断时时, , 可分焦点在可分焦点在x x轴或轴或y y轴上两种情况讨论轴上两种情况讨论; ;当当焦点位置确定焦点位置确定时时, ,其方程唯一确定其方程唯一确定. . 5. 求出动点的轨迹方程后，要注意结合图形，求出动点的轨迹方程后，要注意结合图形，去掉方程中不
15、符合条件的点。去掉方程中不符合条件的点。这样可以避免进行讨论。其焦点的位置由这样可以避免进行讨论。其焦点的位置由m,nm,n的值确定的值确定. .4. 当椭圆当椭圆过两个已知点过两个已知点时，可设方程为：时，可设方程为：P46习题习题2.1 A组组 5 (1) 、 6例例4. 4. 如图如图, ,在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,任取一点任取一点P,P,过过点点P P作作x x轴的垂线段轴的垂线段PD,DPD,D为垂足为垂足. .当点当点P P在圆在圆上运动时上运动时, ,线段线段PDPD的中点的中点M M的轨迹是什么的轨迹是什么? ?请问请问: :动点动点M M是随着哪个点
16、变化的是随着哪个点变化的? ?点点P即即: :点点P P的变化引起点的变化引起点M M的变化的变化. .因此因此, ,可可利用利用点点P P满足的条件来求点满足的条件来求点M M满足的条件满足的条件. . (1)(1)将点将点M M的坐标转移到点的坐标转移到点P P的坐标的坐标, , 即即用用M(x,yM(x,y) )表示表示P(xP(x0 0,y,y0 0);); (2)(2)利用利用P(xP(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上, ,求出点求出点M(x,yM(x,y) )满足的方程满足的方程. .-此方法叫此方法叫转移法转移法. .是解析几何中求点的轨
17、是解析几何中求点的轨迹的常用方法之一迹的常用方法之一. . 转移法转移法:寻求点寻求点M的坐的坐x,y与中间与中间变量变量x0,y0之间的关系之间的关系,然后消去然后消去x0,y0,得到点得到点M的轨迹方程的轨迹方程. 转移法是解析几何中求点的轨迹转移法是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法方程常用的一种方法.解解: :设点设点M(x,y),P(xM(x,y),P(x0 0,y,y0 0),),则则D(xD(x0 0,0),0)M(x,yM(x,y) )是线段是线段PDPD之中点之中点, ,x=xx=x0 0,y=y,y=y0 0/2/2又又P(x,2y)P(x,2y)在圆在圆x x2 2+
18、y+y2 2=4=4上上xx0 0=x,y=x,y0 0=2y=2y P(x,2y)P(x,2y)xx2 2+(2y)+(2y)2 2=4=4点点M M的轨迹是的轨迹是: :焦点在焦点在x x轴上轴上,a=2,b=1,a=2,b=1的的 椭圆椭圆O OD(xD(x0 0,0),0)P(xP(x0 0,y,y0 0) )M(x,yM(x,y) )练习练习:P47 B组组 1 如图如图,DP,DP丄丄x x轴轴, ,点点M M在在DPDP的延长线上的延长线上, ,且且|DM|/|DP|=3/2.|DM|/|DP|=3/2.当点当点P P在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上运上运动时动时,
19、,求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程, ,并说明轨迹的形并说明轨迹的形状状. . 与与P P3939例例2 2相比相比, ,你有何发现你有何发现? ? P PM M D DO O分析分析: 转移法转移法(1)(1)将点将点M M坐标转移到点坐标转移到点P P(2)(2)利用点利用点P P在圆上来在圆上来求点求点M M的方程的方程O O解解: : 设设M(x,y),P(xM(x,y),P(x0 0,y,y0 0),D(x),D(x0 0,0),0)=DP/PM=2/1=2=DP/PM=2/1=2即即: :x x2 2/4+y/4+y2 2/9=1/9=1P(xP(x0 0,y,y0 0) )M(
20、x,yM(x,y) )D(xD(x0 0,0),0)点点M M的轨迹是的轨迹是椭圆椭圆发现结果发现结果:(1)(1)此类题均可采用此类题均可采用“转移法转移法”(2)(2)当点当点M M在线段在线段DPDP上时上时, ,其轨迹是焦点在其轨迹是焦点在x x轴轴上的椭圆上的椭圆(P(P3939例例2);2); 当点当点M M在线段在线段DPDP的延长线上时的延长线上时, ,其轨迹其轨迹是焦点在是焦点在y y轴轴上的椭圆上的椭圆(P(P4747B B组组1)1)思考思考从以上两题中从以上两题中, ,你能发现椭圆和圆你能发现椭圆和圆之间的关系吗之间的关系吗? ?当椭圆中当椭圆中a=ba=b时时, ,椭
21、圆就变成圆椭圆就变成圆( (此时此时c=0)c=0)例例5.5.如图如图, ,设设A(-5,0),B(5,0).A(-5,0),B(5,0).直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M,M,且它们的斜率之积是且它们的斜率之积是-4/9,-4/9,求求点点M M的轨迹方程的轨迹方程. .点点M M满足条件满足条件:K:KAMAMK KBMBM= -4/9= -4/9分析分析: :化简即可化简即可解解: :( (直接法直接法) )设设M(x,yM(x,y),),则则K KAMAM=y/(x+5) (x-5),=y/(x+5) (x-5),K KBMBM=y/(x-5) (x5)=y/(x-5) (x5)由由K KAMAMK KBMBM= -4/9= -4/9知知: :OM(x,y)BA点点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆: : 除去两点除去两点A(-5,0)B(5,0)A(-5,0)B(5,0)的部分的部分. . 说明说明: :（1）解题过程中要注意）解题过程中要注意每一步成立的条件每一步成立的条件; （2）求出动点的轨迹方程后，要注意结合图）求出动点的轨迹方程后，要注意结合图形、实际，形、实际，去掉方程中不符合条件的点。去掉方程中不符合条件的点。M(x,y)OBA1. P40 练习练习 4;2. P47 习题习题2.1 A组组 7
