第三章数与数系的发展

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1、3.1 数的起源数的起源 “数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。” 对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。3.1.1 数感数感 数感，即感知事物多少的心理能力。原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感3.1.2 一一对应计数法与进位制一一对应计数法与进位制 一一对应的计数方法一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数例如，是用手指计数物体的个数u荷马（约公元前荷马（约公元前9898世纪）的诗史中，世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子

2、计数羊只独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只u澳洲土著人用身体的各部分来对应自澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数然数 一一对应的计数方法很容易形成自一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念然数的概念, , 它是数概念发展的重要途它是数概念发展的重要途径。径。进位制当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。如，五进制：一五，一十，十五，二十， 十进制，这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称，而从11开始，就用10的进位表示了。在英语中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，；twenty意指“两个10 ”，而hu

3、ndred则指“10个10”。古代巴比伦人的六十进位制玛雅数系中的二十进位制计算机技术中的二进位制进位制的转化例如，四进制数（3021）4转化为十进制数的方法为：（3021）4=343+042+14+2=1983.1.3 度量的数度量的数 使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念， 在古代中国的“黄钟起度”的传说 图3.1是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图；中间大的圆柱为斛量，中间底部圆柱形为斗，左右两边各有一耳，都呈圆柱

4、形，左耳为升量，右耳上为合量、下为龠量。3.1.4抽象的数抽象的数 数与被计算的东西分离开来了，出现了1，2，3，这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生， 怀特海（18611947）：“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。p 教育的启示 学会1、2、3，的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。3.1.5 神秘的数神秘的数神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来

5、预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。 如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，筹有九畴”的治国方针。夏王朝将天分为 “九天”；地为“九州”，并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期，用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出，神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。3.2数的表示方法数的表示方法3.2.1 3

6、.2.1 结绳与书契结绳与书契u结绳记数成为人类早期表示记数的方法结绳记数成为人类早期表示记数的方法图图3.23.2台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲中国古籍上记有伏羲“结绳而治结绳而治”。 结绳记数成为人类早期表示记数的方法结绳记数成为人类早期表示记数的方法图3.3日本琉球群岛的结绳 “书契”，就是刻划。“书”是划痕，“契”是刻痕 如，在青海，1974年至1978年出土一批带刻口的骨片，是新石器时代末期用于记事、记数的实物。 3.2.2文字记数文字记数 新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。 如，在西安半坡人的

7、遗址（距今约50006000年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号：“ ”（五）、“ ”（六）、“ + ”（七）、“ ”（八）、“ ”（十）、“ ”（二十） 商代的甲骨文商代的甲骨文 “ “金文金文”（“钟鼎文钟鼎文”或或“彝铭彝铭”）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名字符号表示法的基础上，又创造了百、

8、千、万等数字名称。称。 表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确切些）才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才采用现代写法。3.2.3 位值制记数法位值制记数法 十进制的位值记数法，它不仅采用十进制，而且在不同位置上的数码，表示这个数码与10的某个幂次的乘积。即用位置来表示数。中国古代的筹算中的位值制记数法。筹式的数码有纵、横两种形式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式 横式 筹式数字摆放的方法规定：个位、百位、万位以上的数用纵式，十位、千位、十万位上的数用横式，纵横相间，以免发生误会

9、；又规定用空位来表示零。 例如197和1907的筹式分别表示为 和 不完全的定位制“累加制”，它是同一单位用同一符号累加，达到较高单位时才换一个新符号。 如罗马数字采用五进累加制，它用大写拉丁字母表示数的单位：I（1）,V（5）, X（10）, L（50）, C（100）, D（500）, M（1000）。在表示其它数时，大单位在左，小单位在右，表示累加，如V(7); 若大单位在右、小单位在左，表示减法，如IV(4)。 巴比伦人发展了应用定位不完全的60进位制的数系 一方面，60以上的数目依定位原则写出；另一方面，60以内的数则按照以十进制的简单分群数系写出，如524,551=2603+256

10、02+4260+31= 其中分别代表1和10 。 埃及象形文字数系是以10进位制为基础的。用来表示1和10的头几次方的称号是： 任何数现在都可以用这些符号相加的方法任何数现在都可以用这些符号相加的方法给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。于是，于是，13015=1104+3103+110+5=13015=1104+3103+110+5=另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们写这个数，还是从左往右。写这个数，还是从左往右。 古代玛雅人的数系是16世纪在墨西哥发现的。研究认为，法定的玛雅年是360天，因此其数系

11、本质上是二十进制。但从第二次数群的幂次不是202，而是1820，对于更高次的数群亦采用1820n的形式。如： 43，480=618202+01820+1420。当然，古代玛雅人没有计算符号，其数字是由表示6、0、14的符号自上而下排列的。3.2.4干支记数法干支记数法 干支记数法是一种特有的60进制的记数方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥六十甲子干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌

12、己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥图3.4 甲骨文中的干支表拓片如图3.4。这些干支表尽管都有些残损，但从排列上看，全是由上到下竖行排列，而且都是甲起头，10对一行，排列整齐，说明商代人已有了序数的概念。 甲骨文中的干支表 中国早在商代就使用干支纪日法。中国早在商代就使用干支纪日法。干支纪年，始于东汉初年干支纪年，始于东汉初年 如，殷商的帝王们也大多用其出生的那一天的干支名来命名。 据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三年（公元前720年）二月己巳日（这天发生一次全日食）起，就开始连续使用干支纪日，直至清末，2600年从未间断，这是

13、世界上使用时间最长的纪日法。 干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上，近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。3.3 数系在计算中发展数系在计算中发展3.3.13.3.1负数负数 在中国传统数学中，较早形成负数和相关运算法则。 九章算术方程章中提出了负数的概念以及它们的运算法则：“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。在古代演算使用算筹进行的。为了区分正负数，刘徽在注文中说“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。”如 表示+6， 表示6。西方数学家更多地是研究负数存在的合理性西方数学家更多地是研究负数存在的合理性 如，1

14、6、17世纪的帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说 帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数，他说如果(1)：1 = 1：(1)，那么较小数与较大数的比怎么等于较大数与较小数的比呢？ 英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大（1655）。他对此解释道：因为 时， 。而负数 故 。 英国著名代数学家德摩根在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），开解得x = 2。他称此解是荒唐的。 当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上

15、的合理性才真正确立。3.3.2无理数无理数公元前5世纪， 图3.5 黄金比的几何作图法(一)毕德哥拉斯学派发现了一些直角三角形的三边不能用整数或整数之比来表示的事实图3.6黄金比的几何作图法(二)在古希腊几何学家试图作正五边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了作正五边形，只要能作出360的角即可，因为这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且BAC与AOB相似。 取OA=1，设AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1x）=1/x，即 x2+x1=0。由此得

16、到x=（1）/2。运用古希腊尺规作图的方法，不难作出这样的x：如图3.6所示，其中OA=1， MO=1/2，因而AM= /2，以及AB=AN=AMMN=（1）/2=x。这里的无理数x被称为“黄金比”（有的资料上把它的倒数（+1）/21.618称为“黄金比”），它在自然界中，以及在科学和艺术中，处处都会出现。它是早期被发现的无理数之一。 第一次数学危机与古希腊数学家欧道克索斯的“量”理论 无理数最早出现在中国九章算术中时，丝毫没有引起人们的异议。九章算术的开方术中说：“若开不尽者，为不可开，当以面命之。” 有理数和无理数的小数表达式有理数和无理数的小数表达式任何有理数都具有一个有限的或循环的小数

17、表达式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表示一个无理数。重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都存在一个有理数。事实上，如果a和b（oab）表示两个无理数，且它们的小数表达式为a=a0.a1a2 和 b=b0。b1b2，设i是使得anbn（n=0，1，2，）的第一个n值。于是，c= b0。b1b2bi就是a和b之间的一个有理数。3.3.3复数复数 虚数是负数开平方的产物，它是在代数方程求解过程中逐步为人们所发现的 公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的

18、。 十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根，因为负数不可能是平方数” 卡当（1545）解方程得到 根和 。这使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、“超诡辩的力量”。 17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个我们称之为虚的1的平方根，是圣灵在分析奇观中的超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想世界的瑞兆。”用几何的直观来认识复数 英国数学家瓦里士（1685）用几何直观表示实数系二次方程复根的方法：画一条数轴，将根的实部在数轴上表示为一点，在此点处做一线段垂直于数轴，其长度等于 的系数，即表示根的虚部。 丹麦数学家韦塞尔（

19、1788年）做了改进：在已有数轴上，做与之垂直的虚轴，并以 为单位，这样就建立了复平面，对于每个复数a+bi，都对应着一个由坐标原点出发的向量。韦塞尔用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算，这些定义在现今的教材中也仍保留着。 高斯在（1811年）提出a+bi可用点（a, b）表示，并于1831年阐述了复数的几何加法与乘法。同时他指出，在这个几何表示中人们可以看到复数的直观意义已完全建立起来。复数的几何表示促使人们改变了对虚数的神秘印象，成为直观上可以接受的数学对象。复数的公理化定义 1837年英国数学家哈密顿指出，复数a+bi实数的有序偶（a, b），i在复平面上可表示为（0，1），用有序偶

20、给出四则运算的定义，在这种定义下，通常的结合律、交换律及分配律，都能用实数的有序偶推导出来3.3.4四元数四元数 利用“域扩张”的方法，寻找新的数域超复数域。 哈密顿的尝试从三元数到四元数 “模法则”：两个数(a +bi + cj)、（x + yi + zj）相乘得到一个新数，它所对应的（三维空间）向量的长，恰好是原先两数所对应的向量的长的积。即对于 (a2 + b2 + c2)与(x2 + y2 + z2)，是否可以找到(u, v, w),使得(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = u2 +v2 +w2。 此前，勒让德就举例说明模法则在三元数域中不可能成立：3 = 1

21、+ 1 + 1 及21 = 16 + 4 + 1都可以表示为三个平方数的和，可是321 = 63却不能表示为三个平方数的和。理由是：凡是形如8n + 7的整数都不能表示为三个平方数的和。布尔罕桥上的顿悟i2=j2=k2=ijk=1。 哈密顿经历了十五年锲而不舍的努力，终于使一个新的超复数域诞生了。这种四元数也像实数和复数那样可以施行加、减、乘、除的运算，但是却不能满足乘法交换律。正如我们已经看到的，ij ji。超复数域的发展 “八元数”，这是一种包含四元数的新数，不能满足乘法结合律。 利用公理化方法构造数系 “2n元数”，并且证明了： n = 4且满足“模法则”的数是不存在的（1848年） 能

22、保持普通代数所有基本性质不变，而比复数域更大的数系是不具备这些基本性质的。（维尔斯特拉斯，1861年） 能满足除乘法交换律之外的一切代数基本性质的超复数域，只有四元数一种（弗罗宾纽斯，1878年） 能施行加、减、乘、除的数系只有四种，他们分别是一维的实数域、二维的复数域、四维的四元数域及八维的八元数域（1958年）3.4 数系的公理化数系的公理化 复数、微积分、几何学的理论的逻辑基础都建立在实数系上。 人们用公理化方法建立实数的逻辑基础，即实数系自身的严密化 “分析的算术化”过程。在三个方面取得了进展：（1）运用公理化的方法，使实数建立在自然数系的基础之上；（2）康托的基数序数理论，将自然数建

23、立在集合论的基础之上；（3）逻辑学家力图从逻辑命题演算的基础上导出集合论，将数学建立在纯逻辑的基础之上。这种方法尚未取得完美的结果。3.4.1戴德金分割戴德金分割 无理数的逻辑定义（戴德金1872年）：将有理数集合划分成两个非空集合A和 ，使得A中的任意的数都小于中的任一数。A和 的分割记为 。这样的分割可能产生三种情况，（1）在A中没有最大的数，而中有最小的数r；（2）在A中有最大的数r，而在 中没有最小的数；（3）在A中没有最大的数，在 中也没有最小的数。在前面两种情况中，分割产生有理数，或者说分割界定了有理数。在第三种情况中，界数不存在，分割不能界定任何有理数。这时规定：任何属于第三种情

24、况的分割就界定了一个无理数。3.4.2自然数公理自然数公理 “皮亚诺公理”：（1）1是一个自然数。（2）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数 ，而 也是一个自然数。（3）1不是任何自然数的后继数，即1 。（4）一个数只能是某一个数的后继数，或者根本不是后继数，即由 = = ，一定能推得a = b。（5）任何一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a，也一定包含a的后继数 ，那么这个集合就包含所有的自然数。 上帝创造自然数；其余一切都是人为的。（克罗内克）3.5 3.5 超限基数超限基数 无限是整个数学的基础。 无限是许多怪事和悖论栖身之处 如，芝诺悖论，表述第五公设的表述，无穷小量（第

25、二次数学危机） 希尔伯特说：“自古以来，没有别的问题象无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法象它这样富有成效地焕发过人的精神。同时，没有别的概念象它这样迫切需要澄清。”3.5.1一一对应方法与可列集一一对应方法与可列集 定义：如果能根据某一法则使集合M与集合N中的元素建立一一对应，那么M与N等价（按现代数学家的语言：称M与N“等势”或具有“相同基数”）。 例如，偶数集E与自然数集N、整数集Z与自然数集N的一一对应可以定义为：当nN，有E中元2 n与之对应； 当nN，有Z中与之对应。定义：能与自然数集 N 构成一一对应关系的集合，就称为可列集或可数集。记为 。如， 。证明有理数集证明有理数集

26、Q也是可列集（采用对角线的对应方法）也是可列集（采用对角线的对应方法） 定理：如果有可数个可列集定理：如果有可数个可列集A A1,1,A A2,A3,2,A3,，则它，则它们的并集们的并集 仍旧是可列集。仍旧是可列集。事实上，不妨假定对于任何i、j，Ai和Aj没有共同元素。我们现在对A1,A2,A3,的元素编号如下：A1：a11，a12，a13，a14，A2：a21，a22，a23A3：a31，a32A4：a41，对于固定k,Ak的元素形如：ak1,a k2,a k3, 。我们定义一一对应F：1，2，3， 其中F (1) = a 11, F (2) = a 12 ,F (3) = a21 ,

27、F (4) = a 13, F (5) = a 22, F (6) = a 31,F (7) = a 14, , 从上图可以直观看出这个映射是一一对应。因此， 仍旧是可数集。 由以上的性质可以知道Q一定是可数集。 定义：有限集合不能通过一一对应映射到自己的真子集合上，而无穷集合却可以通过一一对应映射到自己的真子集合上。例如上面讲到的，整数集合可以映入偶数集合。而偶数集合显然是整数集合的真子集合。3.5.23.5.2实数集实数集R R是不可列的是不可列的 证明（0，1）是不可列的。将（0，1）上的实数用小数表示，若它们是可列的， a1 = 0. a11 a12 a13，a2 = 0. a21 a

28、22 a23， ak= 0.ak1 ak2k2。选实数Z = 0.b1 b2，定义bk = 由于至少对于第k位，bkakk，则Zak (kN)。所以(0,1)是不可列的。 于是，康托把（0，1）区间作为一个新的、更大超限基数的标准，其基数用C（英文“连续统”一词第一个字母）表示。 R与（0，1）的一一对应关系可表示为y x(0,1) 所以R与（0，1）的基数均为C， 证明，无理数集合也是不可列集。事实上，R是由实数集与无理数集的并集构成的。如果无理数集是可列集，那么由上节康托定理可得，R是可列的。这显然矛盾。 3.5.33.5.3超限基数比大小超限基数比大小 定义 若集合A与B的某一子集间存在

29、一一对应关系，则。设 ，若A与B间无一一对应关系，则定理：若 且 则 。奇异的命题如，二维平面上点的个数与一维直线上点的个数一样多平面上全部点，以及三维立方体中的点，都只有基数C3.6 发展数感发展数感 “发展数感”的课程目标。在标准中对数感的学习的目标规定为： “理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体情景中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果；并对结果的合理性做出解释。” 印度近代数学家拉马努金（18871920）具有对数字敏锐的洞察能力 1729是能用两种方法表示成两个整数立方和的最小整数。它等于13+123和93+103。 把数感与数量关系的理解与运用结合起来，培养符号感和初步的数学建模的能力，逐步使学生形成抽象的数及数量关系的认识。