2022年高数公式重点大全

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1、名师精编优秀资料高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，一些初等函数：两个重要极限：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsins

2、eccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页名师精编优秀资料三角函

3、数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg-ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgct

4、gctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页名师精编优秀资料倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1

5、cos122cos12cos2cos12sinctgtg正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2) 1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(l

6、imMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页名师精编优秀资料bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)

7、(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaa

8、ababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页名师精编优秀资料（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(12222222222222222222200000022200000

9、00000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),

10、()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页名师精编优秀资料),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(0000000000

11、00000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为

12、其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6

13、页，共 30 页名师精编优秀资料DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvz

14、MzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲

15、线积分（对弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页名师精编优秀资料。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0, 0(),(),(21212,)()()coscos()()

16、(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyx

17、yDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页名师精编优秀资料dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，

18、高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法：精选学习资料 - - - - - -

19、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页名师精编优秀资料散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件

20、收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1) 1() 1()2() 1()2()2()1 (232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

21、- -第 10 页，共 30 页名师精编优秀资料函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(! 5! 3sin) 11(!)1()1(! 2) 1(1)1 (121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexe

22、exxixe或三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 ,0cos)(20sin)(3 ,2, 1nsin)(20124131211641312112461

23、4121851311)3 ,2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页名师精编优秀资料周期为l2的周期函数的傅立叶级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页名师精编优秀资料llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3, 2, 1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos

24、(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdynd

25、xxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为

26、常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页名师精编优秀资料的形式，21rr(*) 式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx第一篇函数、连续、极限本章重点、

27、热点及常考题型特别注意：数一、二、三、四考查要求基本相同。属二级重点章。重点、热点求极限。求函数的极限是每年的必考题。本章的另一块内容判断函数是否连续，其实质仍是求函数极限。所以本章只要抓住了极限就基本上把握了全章的核心内容，求极限的方法很多但在考试中常用的主要有1 利用极限的四则运算法则求极限（这是求极限的最基本知识）2 利用重要极限求极限3 利用罗必达法则求极限（求关于函数的未定式的极限）4 利用无穷小替换（它往往在求极限的过程中使用能使问题简化）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页名师精编优秀资料5 利用夹逼

28、定理6 利用单调有界准则（主要求通项由递推公式给出的极限）7 利用定积分定义（主要求通项是n项和的数列的极限）8 利用导数定义求极限（主要用于已知条件中给出函数在一点可导求关于该函数的某个极限）9 利用连续函数的性质（这一条不会单独命题，但它常用在求极限的过程中，是求极限的基础知识）10利用极限与无穷小的关系（主要用于已知极限，求另一形式的极限）典型题型典型题型一 ：求未定式的极限典型的未定式共有七种：000,0,0 ,1 0。读者在遇到这七种未定式时，建议采用罗必达法则试一试。（使用罗毕达法则时应注意：（1）使用罗毕达法则时，要先判定是否为00或； （2）在使用法则前应先化简，（3）当0()

29、( )lim( )xxxfxg x不存在 （或非） 时，不能推出0()( )lim( )xxxf xg x不存在（4） 当x时，若式子中含有cos ,sinxx（或0x时，式子中含有11cos,sinxx）则不宜使用罗毕达法则。典型题型二 ： 求非未定式的极限这类题通常要利用函数的连续性、极限的四则运算法则、定积分定义、夹逼定理、无穷小性质来完成。在近几年的考试中，求函数的极限还是绝大部分以求未定式函数的极限为主。典型题型三 ：无穷小的比较无穷小的比较在近年来的考试中经常出现，解这类题的根本方法还是求极限，同样可用罗必达法则、泰劳展开式等求极限的方法考查。下面给出一些常用的等价无穷小；当0x时

30、，sin,arcsin,tan,arctanxxxxxxxx，ln(1) ,1xxxex，211cos2xx，(1)1xx典型题型四 ：判断函数的连续性与间断点的类型此类题的实质是求函数的极限。这种题一般与函数的可导性连在一起，并且考到的知识点还包括变上限积分函数的求导等。典型题型五 ：讨论函数在给定区间上的零点或方程在给定区间上有无实根解这类题的关键是利用函数的性质，设( )f x在闭区间 , a b上连续，那么1( )f x在 , a b上有界；2( )f x在 , a b上有最大、最小值；3 若是介于( ),( )( )( )f af bf af b间的任何一个数， 则至少存在一点( ,

31、 )a b， 使( )f；4若( )( )0f a f b，则至少存在一点( , )a b，使得( )0f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页名师精编优秀资料典型题型六 ：求分段函数的复合函数分段函数的复合要注意定义域，适用方法分析法。典型题型七 ：已知数列的前几项数值及通项表达式，求数列的极限此类题利用单调有界准则求，求解程序：（1）判断极限的存在性（单调性、有界性，方法可用数学归纳法或不等式的放缩法）。 （ 2）先令limnnxl，然后在通项的两边取极限得出l的方程，求出l的值，从而求得极限limnnx 典型题

32、型八 ：分段函数中参数的确定此类题的基本思路是：根据分段函数在分段点处的性质来确定所含常数的值。（注意函数在一点存在极限、在一点连续的充分必要条件）第二篇一元函数微分学本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容数一、二、三、四都考，主要内容大同小异，请注意大纲的细微差别。属于一级重点章。重点、热点1 导数和微分的定义，掌握用导数定义讨论分段函数在分段点的可导性。注意可导与可微，可导与连续的关系。2 基本初等函数的求导公式、微分公式（要熟记），及反函数、隐函数、参数方程确定的函数求导数。3 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰劳中值定理的应用（泰劳中值定理只有数一、数二考）。4 用导数研

33、究函数的形态（单调、极值、凹凸、拐点、渐近线）以及最值应用。典型题型典型题型一 ：求函数导数或微分（包括高阶导数）。高阶导数是常考问题，另外应注意隐函数、参数方程确定的函数，反函数的求导。典型题型二 ：利用中值定理证明有关等式1 证明至少存在一点( , )a b，使( )( )0nf；一般思路：（1）找 , a b的一个子区间12,x x，使(1)(1)12()()nnfxfx（2）对(1)( )nfx在区间12,x x上使用罗尔定理2 证明至少存在一点( , )a b，使( )f为的函数；一般思路：（1）利用倒推法（或常数变易法）构造辅助函数( )F x（2）找 , a b的一个子区间12,

34、x x，使12()()F xF x（3）对( )F x在区间12,x x上使用罗尔定理，可得到所证结论3 证明至少存在两点,( , )a b，满足某等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页名师精编优秀资料一般思路：（1）将欲证结论化为一端只含，另一端只含的形状。（2）根据含一端的形状， 选择在区间 , a b上使用拉格朗日或柯西中值定理得到关于的一个关系式（ * ）（3）根据含一端的形状， 选择在区间 , a b上使用拉格朗日或柯西中值定理得到关于的一个关系式（ * ）（4）结合（ *） ， （* ）式可得欲证结论

35、。4 证明至少存在一点( , )a b，使()( )(0)nfk k一般思路：（1）构造辅助函数( )F x（2）验证( )F x满足罗尔定理条件，（3）由罗尔定理得出所证结论常用辅助函数的一般构造方法：（1）将欲证结论中的换成x（2）通过恒等变形将式子化为易于消去导数符号的形式（3）通过观察法或积分法求出原函数（即不含导数符号的式子）（4）移项使等式一端为零，另一端为所求辅助函数( )F x5 如已知条件中出现了高阶导数，且知道最高阶导数连续这种等式的证明一般用泰劳公式完成一般思路：（1）根据已知条件或欲证明的结论选取展开的点0x。 （如已知条件中给出了某点的导数值，或在区间内部某点取到最大

36、或最小值，一般选此点为0x）（2）将函数在点0x展开为n阶泰劳公式(n一般取为比已知条件中的最高阶导数的阶数减一的数值）（3）利用展开式凑出结论。典型题三 ：证明不等式1证明代数不等式（一般用微分中值定理完成）2证明函数不等式（一般用单调性完成）3，证明函数与数之间的不等式（一般用最大、最小值完成）5 如已知条件中出现了高阶导数，且给出了最高阶导数的取值范围，此类不等式的证明一般用泰劳公式完成。典型题四 ：关于方程的根的讨论1证明方程在( , )a b内至少有一个实根解这种题一般思路有两种：思路一 利用零点定理完成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

37、- - -第 17 页，共 30 页名师精编优秀资料（1）构造辅助函数( )F x（将方程移项，一端为零，另一端全部为( )F x） ；（2）找 , a b的一个子区间12,x x，使12()()0F x F x（3）将( )F x在区间12,x x使用零点定理即可。思路二 利用罗尔定理完成（1）构造辅助函数( )F x（将方程移项，一端为零，则另一端的原函数为( )F x） ；（2）找 , a b的一个子区间12,x x，使12()()F xF x（3） 对( )F x在区间12,x x上使用罗尔定理，可得到所证结论说明：对此类题应先尝试思路一 如不能解决问题再用思路二 2证明方程在( ,

38、)a b内有唯一实根一般思路：（1）先证明方程至少有一个实根（2）证明方程至多有一个实根（一般用单调性或用反证法）说明：对此类题一般是用零点定理证明至少有一个，用单调性证明至多有一个。3讨论方程有几个实根。一般思路 ; （1）构造辅助函数( )F x（将方程移项，一端为零，则另一端为( )F x） ；（2）求出函数( )F x的定义域（3）在定义域内求出( )0Fx和( )Fx不存在的点（4）这些点将定义域分成许多小区间，在每一个小区间上利用零点定理判定方程是否有根（如有则只有一个） 。4已知方程实根个数确定方程中参数的取值范围一般思路（同上）典型题型五 ：利用导数研究函数的性态和描述函数的图

39、形(应特别注意渐近线的求法) 典型题型六 ：应用题（在几何、物理、经济等方面的应用）第三篇一元函数积分学本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容对数一、二、三、四考查要求基本相同，属于一级重点章。重点、热点1定积分的概念；2定积分与不定积分的换元积分法积分部积分法；3积分等式与积分不等式的证明，在此应注意中值定理的理解和应用。4运用定积分求弧长、求面积、求旋转体的体积，求变力沿直线做功、求静液侧压力、求引力。对于用定积分求面积、弧长、体积等的公式，读者当然要在理解的基础上熟记。（请读者特别注意此部精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

40、8 页，共 30 页名师精编优秀资料分知识与切线，最大最小值结合的综合性的题）典型题型典型题型一：计算不定积分、定积分及广义积分。做这类题最常用的方法是分部积分与换元积分法。应注意下面几点（1）关于换元积分法常见的几种情况及对策如 被 积 函 数 中 含 有222222,axaxxa， 分 别 应 作 变 量 代 换 ：sinxat，tanxat，secxat将根式去掉变成三角函数的积分；如被积函数是由xa所构成的代数式时，一般用指数代换xta来求解；如被积函数分子、 分母的最高次数分别为,m n且1nm，此时一般可考虑用倒代换1xt来解决（2）关于分部积分法常见的几种情况（下列式中( )P

41、x为多项式）如被积函数为( )bxP x e，令( ),bxuP xdve dx；如被积函数为( )ln()P xaxb，令ln(),( )uaxbP x dxdv；如被积函数为( )arctan()P xaxb，令arctan(),( )uaxbP x dxdv；如被积函数为( )sin()P xaxb，令( ),sin()uP xaxb dxdv；如被积函数为cos()axecxb，两种函数都可作u；如被积函数中含抽象函数的导函数，一般用分部积分，抽象函数导函数与dx凑出dv；如被积函数中含变上限的定积分，一般用分部积分，变上限的定积分作u。另外值得注意：如果在考研的试题中见到被积函数中含

42、有反三角函数或对数函数这种类型的积分一般都是用分部积分来做的，其中反三角函数或对数函数应作U。典型题型二 ：关于变上限定积分的题目，比如求导数、求极限等。变上限的积分求导数、求极限，都是利用变上限积分的求导公式，故应记住下列公式（1）设( )f x在 , a b上连续，( )( )xaF xf t dt，则 , xa b，都有( )( )Fxf x（2）一般()()( )( )( ) ( )( )m xn xdf t dtf m x m xf n x n xdx典型题型三 ：关于积分等式的证明（1）仅知被积函数连续的积分等式的证明此类题一般用换元积分法完成。注意：作何变量代换，主要是考察等式两

43、边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为( )f x，另一端为( )fu，则令( )xu。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页名师精编优秀资料若一端为( )f x，另一端为( )f u，则所作的变换通过分析等式两端的积分限去确定。（若一端为(sin)fx，另一端为(sin)fu。由于(sin)sin()fufu，于是，令xu，而不是由积分限来确定）（2）积分限上含的积分等式的证明此类题看成“证明方程至少有一个实根”这类题型，利用相应的方法来解决。（3）被积函数中含抽象函数的导函数，或

44、变上限的定积分的积分等式的证明此类题一般采用分部积分法完成。（4）已知条件中出现高阶导数，并求给出了最高阶导数连续的的积分等式的证明此类题一般用泰劳公式完成。注意：做这类题时，需对变上限的定积分进行泰劳展开，展开成泰劳公式的的阶数为已知条件中给出的最高阶导数的阶数，而变上限的定积分为把所证等式中的定积分的上限换成变量x。典型题型四 ：关于积分不等式的证明（1）已知被积函数连续且单调的积分不等式的证明此类题一般用“单调性”来完成。做题思路为：(a) 构造辅助函数( )F x构造辅助函数的一般方法为：将所证积分不等式中的积分上限换成变量x，不等式中相应字母也变成x，然后移项，使其一端为零，另一端即

45、为( )F x。(b) 判定( )F x的单调性(c ) 计算( )F x在某点的函数值，得到所证不等式。注意：对仅知道被积函数连续的积分不等式的证明一般也采用此方法完成。（2）如果所证明积分不等式的一端为积分的平方（即形如2( )baf t dt）或平方的积分（即形如2( )bafx dx）此类题一般用“柯西不等式来完成”。柯西不等式为： “222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx其中ab”（3）如果已知被积函数可导，且被积函数在积分区间的某个端点上函数值为零的积分不等式的证明此类题一般用拉格朗日中值定理来完成。（4）已知条件中给出了高阶导数，且给

46、出了最高阶导数的取值范围的积分不等式的证明此类题一般用泰劳公式来完成。（需对被积函数进行泰劳展开）典型题型五 ：关于积分中值定理的证明题关于这种类型的证明题，主要是对积分中值定理运用的考查，这类题一般容易解决。典型题六 ：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量这一类题应注意“微元法”的思想，记住一些常用公式。第四篇空间解析几何精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页名师精编优秀资料本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容只适用于数学一的考生。属于非重点章。本章的重点是向量的运算、平面的各种方程、直线的各种方程

47、、以及直线与直线、平面与平面、直线与平面之间的关系。本章需记住下面两个常用的公式1 点000(,)xy z到平面0AxByCzD的距离000222AxByCzDdABC2 点000(,)xy z到直线111xxyyzzlmn的距离101010222ijkxxyyzzlmndlmn典型题型典型题型一 ：求直线或平面的方程典型题型二 ：确定直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系此类题多出现在选择题中。典型题三 ：求旋转曲面、柱面的方程典型题四 ：与多元函数微分学在几何上的应用相结合的综合性的题第五篇多元函数微分学本章重点、热点及常考题型特别注意：本章内容数一、二、三、四都考。属于一级重点章重

48、点、热点1 多元函数偏导数和全微分的概念；2 偏导数和全微分的计算，特别是求复合函数的二阶偏导数及隐函数的偏导数；3 方向导数与梯度（只对数学一要求）；4 多元函数微分在几何上的应用（只对数学一要求）；5 多元函数极值和条件极值；典型题型典型题型一 ：求函数的偏导数与全微分求函数的偏导数（一般为一阶、二阶）主要是在二元、三元领域里，在对一个变量求偏导时，把其余变量当作常数处理。典型题型二 ：求复合函数及隐函数的偏导数（1）复合函数求偏导数是近几年的典型考试题，解此类题需把握两点(a) 借助函数的复合关系图，弄清变量之间的复合关系；(b) 在对其中一个自变量求偏导后，所得到的偏导函数仍然是复合函

49、数，复合关系图与原函数的复合关系图一致。（2）隐函数求偏导数有两种情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页名师精编优秀资料(a) 一个方程确定的隐函数：设( , )zz x y由方程( , , )0F x y z确定，则,yxzzFFzzxFyF（其中0zF）(b) 方程组确定的隐函数：设( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v确定隐函数( ,),( ,)uu x yvv x y，则00xyuvxyuvF dxF dyF duF dvG dxG dyG duG dv可求得( )(

50、 )dum dxn dydva dxb dy，从而, uumnxy，() ,()vvabxy。典型题型三 ：求方向导数与梯度若函数( , )zf x y在点000(,)P xy处可微，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且000PPzgradfll注意：梯度是一个向量，方向导数是一个数。方向导数fl就是梯度gradf在向量l上的投影，而梯度的模gradf就是( ,)fx y在点( , )x y的最大的方向导数。典型题型四 ：求空间曲线的切线与法平面方程，求空间曲面的切平面和法线方程对此类题一般为多元函数微分学与上一篇向量代数与空间解析几何的综合题，除应记住空间曲线在其上一点处的切向量，空

51、间曲面在其上一点处的法向量n的计算公式外应与前一篇结合在一起复习。（1） 曲线( ):( )( )xx tyy tzz t在0tt处的切向量000( ),( ),( )x ty tz t；（2） 。曲线( , , )0:( , , )0F x y zG x y z上点0000(,)Mxy z处的切向量为000,yzxyzxyzxyzxMMMFFFFFFGGGGGG（3） 。曲面( , , )0F x y z上点0000(,)Mxyz处的法向量为000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzFxyz典型题型五 ：多元函数极值在几何、物理、经济领域中的应用题。（常考综合性的题）极

52、值应用题多要用到其它领域的知识，特别在经济学上的应用涉及到经济学的一些概念和规律，考生在复习是应引起特别的注意。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页名师精编优秀资料（1）极值存在的必要条件设函数( , )zf x y在点00(,)xy处有极值，且偏导数存在，那么0000(,)0,(,)0xyfxyfxy（2）极值存在的充分条件设函数( , )zf x y在点00(,)xy的某个邻域内连续，且有一阶、二阶连续偏导数，点00(,)xy是函数( ,)zf x y的驻点，令000000(,),(,),(,)xxxyyyfx

53、yA fxyB fxyC， 则(, )f xy在点00(,)xy是否取得极值的条件如下：(a)20ACB时有极值；且0A是有极大值；0A时有极小值。(b)20ACB时没有极值(c)20ACB时需进一步讨论（3）条件极值的拉格朗日乘数法在约束条件( , , )0g x y z之下求目标函数( , , )uf x y z的极值(a) 构造拉格朗日函数(,)(,)(,L x y zfx y zg x y z（b）求驻点解方程组( , )( , , )0( , , )( , , )0( , , )( , , )0( , , )0xxxyyyzzzLfx y zgx y zLfx y zgx y zLf

54、x y zgx y zLg x y z从中求出, ,x y z(c )判断是否为极值点。注意：如有几个条件的约束，可设拉格朗日乘数为12,。第六篇多元函数积分学本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容数一全考，数二、三、四考查要求较少，请注意大纲对该部分的具体考查要求。是一级重点章重点、热点1 重积分的计算。2 格林公式以及平面上曲线积分与路径无关的条件，并会利用它们计算曲线积分3 曲面积分的计算4 高斯公式与斯托克斯公式的应用5 散度与旋度的计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页名师精编优秀资料6 重积分与曲

55、线、曲面积分在几何、物理中的应用。典型题型典型题型一 ：二次积分交换积分次序解题思路（1）写出二重积分积分域D的不等式（2）画出域D的图形（3）写出另一种次序下的二次积分典型题型二 ：计算二重积分解题思路（1）画出域D的图形（2）根据图形判定能否利用对称性将二重积分简化（3）选择适当的坐标系；（4）如果选择直角坐标系还应适当选择积分的先后次序（原则是“先积的积分比较容易积出”）（5）转化为二次积分计算注：二重积分的对称性*如果积分域D关于x轴对称，则10,( ,)( , )( , )2( , ),( ,)( , )DDf xyf x yf x y dxdyf x y dxdyf xyf x y

56、其中1D是D被x轴分出来的其中一部分。* 如果积分域D关于y轴对称，则10,(,)( , )( , )2( , ),(, )( , )DDfx yf x yf x y dxdyf x y dxdyfx yf x y其中1D是D被y轴分出来的其中一部分。* 如果积分域D关于yx轴对称，则10,( , )( , )( , )2( , ),( , )( , )DDf y xf x yf x y dxdyf x y dxdyf y xf x y其中1D是D被直线yx分出来的其中一部分。典型题型三 ：计算三重积分典型题型四 ：重积分在几何、物理中的应用读者在这类题中不要化太多的精力，只要记住公式即可。典

57、型题型五 ：对弧长和对坐标的曲线积分的计算及格林公式的应用（1）对弧长的曲线积分的计算方法有两种（积分曲线为平面曲线）。第一种：利用对称性来完成（对称性类似二重积分的对称性）第二种：利用定积分计算（第一类曲线积分转化为定积分计算时，注意定积分的上限一定大于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页名师精编优秀资料下限）说明：计算第一类曲线积分时，应首先分析能否利用对称性来化简。（2）对坐标的曲线积分的计算方法有两种（积分曲线为平面曲线）。第一种：利用定积分计算（第二类曲线积分转化为定积分计算时，注意定积分的下限一定对应曲

58、线的起点，上限一定对应曲线的终点）第二种：利用二重积分计算（借助格林公式完成）。（3）两类曲线积分的关系( , )( , )( , )cos( , )cosLLP x y dxQ x y dyP x yQ x yds其中,是L上点( ,)x y处与L方向一致的切向量的方向角典型题型六 ：对面积和对坐标的曲面积分的计算及高斯公式的应用。（1）对面积的曲面积分的计算方法有三种第一种：利用对称性计算（对称性的类似三重积分的对称性）第二种：利用二重积分计算（这是最基本的一种方法）第三种：利用三重积分计算（先将第一类曲面积分转化为第二类曲面积分，然后利用高斯公式转化为三重积分。此方法适应于积分曲面的方程

59、没有给出具体表达式的第一类曲面积分）说明：计算第一类曲面积分时，应首先分析能否利用对称性来化简（2）对坐标的曲面积分的计算方法有三种第一种：利用二重积分计算。（这是最基本的一种方法）第二种：利用三重积分计算。（借助于高斯公式完成）第三种：转化为第一类曲面积分计算。（此方法一般适应于积分曲面是平面的第二类曲面积分）典型题型七 ：空间曲线上的第二类曲线积分的计算此类题用斯托可斯公式或定积分来计算。典型题八 ：散度、旋度的计算设向量( , , )( , , )( , , )( , , )A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k，其中,P Q R具有一阶连续偏导数，则散度P

60、QRdivAxyz旋度()()()RQPRQProtAijkyzzxxy典型题型九 ：曲线、曲面积分在几何、物理上的应用此类题只要记住公式即可。第七篇无穷级数本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容数一、三考，数二、四不考。数一属于一级重点章，数三为二级重点章。重点、热点1 判断数项级数的敛散性2 证明数项级数收敛或发散3 求幂级数的收敛域4 将函数展开为幂级数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页名师精编优秀资料5 求幂级数的和函数或求数项级数的和6 将函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的收敛定理典型题型典型题型一

61、 ：判断数项级数的敛散性首先判别级数1nna的类型若是正项级数，则（1）求limnna，若0，则级数发散；若=0，进一步判别。（2）根据级数一般项的特点选择判别法(a)一般项中含!n或是几个因式乘积的形式，一般用比值法。(b)一般项中含n因子的一般用比较判别法，比较判别法的实质是比无穷小量的阶，比较的主要对象是p级数，等比级数。（3）某些级数可以利用已知敛散的一些级数结合级数的性质判别其收敛性（4）最后利用定义。若是任意项级数，则（1）求limnna，若0，则级数发散；若=0，进一步判别。（2）判别级数1nna，若收敛，级数绝对收敛；若发散，则看是否为交错级数。若是交错级数，则用莱布尼兹判别法

62、判别（若满足莱布尼兹判别法），若收敛则为条件收敛；若是交错级数但不能用莱布尼兹判别法判别或不是交错级数的任意项级数，则用定义判别。典型题型二 ：数项级数敛散的证明题证明通项没有给出具体表达式的数项级数收敛或发散请注意下列几点（1）已知某级数收敛， 欲证另一级数收敛，一般不用比值判别法和根值判别法，而用比较判别法。已知收敛的级数用作比较的级数。（2）已知某数列有某种性质（有界性、单调性、有极限）欲证某级数收敛，通常是利用这些性质对无穷级数的通项作某种估计，再利用比较判别法或级数敛散的定义（3）若欲证级数的通项与已知敛散的级数的通项有某种四则运算关系，一般用级数敛散的定义完成。典型题型三 ：求函数

63、项级数或求幂级数的收敛域解题思路（ 1）求1( )( )lim( )nnnaxxax（ 2）解不等式( )1x，得到级数的收敛区间( , )a b（ 3）考察,xaxb时对应的级数1( )nnaa与1( )nnab的敛散性（ 4）写出级数的收敛域。注意：收敛区间和收敛域是两个不同的概念，收敛区间总是开区间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页名师精编优秀资料典型题型四 ：将函数展开成幂级数将函数在某点展开成幂级数有两种方法：直接展开法和间接展开法，一般用间接展开法（即利用下面的七个展开式，通过适当的变量代换、四则运

64、算、复合运算以及“逐项积分”、 “逐项求导”将一个函数展开成要求形式的幂级数）常用的七个展开式（1）101,(,)!(1)!nnxnnxxexnn（2）2121101sin( 1)( 1),(,)(21)!(21)!nnnnnnxxxxnn（3）222101cos( 1)( 1),(,)(2 )!(22)!nnnnnnxxxxnn（4）1101ln(1)( 1)( 1),( 1,11nnnnnnxxxxnn（5）20(1)(2)(1)(1)(1)1,( 1,1)!2!nnnnnxxxxxn（6）11011( 1)( 1),( 1,1)1nnnnnnxxxx（7）1011,( 1,1)1nnnn

65、xxxx注意：反三角函数展开成幂级数，首先对其导函数展开，然后利用逐项积分得到反三角函数的展开式；对数函数展开成幂级数，或者利用上面的公式（4）展开，或者先对其导函数展开，然后利用逐项积分得到对数函数的展开式。典型题型五 ：幂级数求和函数解题思路（1）求出幂级数的收敛域；（2）通过逐项积分或逐项微分把给定的幂级数的系数中的一部分因子去掉，化为七个展开是中的一种形式，从而得出新级数的和函数（3）对于得到的和函数作相反的分析运算，便得到原幂级数的和函数注意：对于无论怎样都无法借助七个展开式求出和函数的幂级数，一般是通过建立关于该幂级数和函数的微分方程来完成。典型题型六 ：数项级数求和解此类题常用方

66、法有两种：第一种：“定义法”设有数项级数1nna，将1nna的通项拆成1nnnabb，此时级数的部分和为11nnsbb，其中1limnnb存在，则1nna11limnnbb。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页名师精编优秀资料第二种：“构造幂级数法”（此法比较重要）设 有 数 项 级 数1nna， 构 造 一 个 相 应 的 幂 级 数1nnna x， 求 出 该 幂 级 数 的 和 函 数( )S x， 则1nna1lim()xS x。典型题型七 ：傅里叶级数只需记住傅里叶级数的收敛定理并会使用、记住求傅里叶系数

67、的公式便可。第八篇微分方程本章重点、热点及常考题型特别注意：该章内容全部考生都考，但考查要求有差别。数一、二、三为一级重点章，数四为非重点章。重点、热点1 求一阶微分方程的解2 求常系数二阶线性非齐次方程的解3 列方程典型题型典型题型一 ：一阶微分方程求解解题思路（1）确定类型因为不同类型的方程有不同的解法，同一个方程，可能属于多种不同的类型，则应选择较易求解的类型。对于一阶方程通常可按可分离变量的方程、一阶线性微分方程、全微分方程、齐次方程、贝努利方程的顺序进行，特别是一阶线性微分方程和贝努利方程还应注意到有时可以以x为因变量，y为自变量得到。（2）根据不同的类型，采用相应的解题方案（3）若

68、解题过程中作过变量代换，最后一定要将变量“还原”典型题型二 ：可降阶的高级微分方程求解（1）( )( )nyf x型，只需积分n次就可以得到通解；（2）( ,)yf x y型，其特征是不显含未知函数y解法：作变量代换( )yp x，可以将方程降低一阶，于是方程化为( ,)pfx p可作一阶的方程求解；（3）( ,)yf y y型，其特征是不显含自变量x解法：作变量代换( )yp y，可以将方程降低一阶，于是方程化为( ,)dppfy pdy可作一阶的方程求解；典型题型三 ：高阶常系数线性微分方程求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2

69、8 页，共 30 页名师精编优秀资料（1）二阶常系数线性齐次微分方程0(,yp yqp q为常数）解法：设12,为其特征方程20pq的两个特征根，则(a)12，12,为实数，方程通解为1212xxyC eC e(b) 12，12,为实数，方程通解为212()xyCC x e(c) 12,为一对共轭复数，即1,2abi，方程通解为12(cossin)axyeCbxCbx（2）二阶常系数线性非齐次方程( )( ,ypyqf xp q为常数）解题步骤： 求出对应齐次方程的通解( )y x； 求出方程的特解*( )yx； 则方程通解为*( )( )yy xy x。关键是求*( )y x。(a) 当(

70、)( ),( )xnnf xP x eP x为n次多项式，为实数），设其特解形式为*( )( )kxnyxx Qx e其中( )nQx是和( )nP x同次的待定多项式；当是方程0ypyqy的一个特征根时，1k；当是方程0ypyqy的重特征根时，2k；当不是方程0ypyqy的特征根时，0k。(b) 当( )( )cos( )sinxnmf xeP xxQxx， 其中( ),( )nmP x Qx分别为n次、m次多项式，,都是实数，且0，设其特解形式为*( )( )cos( )sinkxllyxx eNxxMxx其中max,ln m；当i是方程0ypyqy的特征根时，1k；当i不是方程0ypyq

71、y的特征根时，0k。典型题型四 ：微分方程在力学和几何上的应用（1）微分方程在几何中的应用解题步骤：根据题设画出草图；利用图形特点及相关的一些概念及公式列方程；解方程。（2）微分方程在力学中的应用解题步骤：建立坐标系，对所研究物体进行受力分析；根据牛顿第二定律：Fma，列方程；解方程。典型题型五：微分方程的综合题如果要求某一个未知函数( )f x，但题中没有直接给出( )f x满足的微分方程，而是指出( )f x应满足其他条件，如满足某一积分方程、使某一曲线积分与路径无关或满足某一偏微分方程，等等。解这类题先要利用其它章节的知识，如变限积分求导定理、导数的定义、积分与路径无关的条件等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页名师精编优秀资料等，导出函数( )f x满足的微分方程，再根据微分方程所属的类型，求解可得( )f x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页