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1、精品资料欢迎下载第 16 炼 含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中,所给函数往往是一个含参数的函数,且导函数含有参数,在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧,便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。一、基础知识:1、导数解单调区间的步骤:利用导数求函数单调区间的方法,大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。 即确定定义域求出导函数令0fx解不等式得到递增区间后取定义域的补集(减区间)单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质解含参不等式,而定义域对x的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域,并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理
2、掉,以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定(1)分类时机:并不是所有含参问题均需要分类讨论,例如解不等式:0xa,其解集为,a,中间并没有进行分类讨论。思考:为什么?因为无论参数a为何值,均是将a移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论,再例如解不等式20xa,第一步移项得:2xa(同样无论a为何值,均是这样变形),但是第二步不等式两边开方时发现a的不同取值会导致不同结果,显然a是负数时,不等式恒成立,而a是正数时,需要开方进一步求解集, 分类讨论由此开始。体会:什么时候开始分类讨论?简而言之,当参数的不同取值对下一步的影响不相同时,就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分
3、类讨论不是一开始就决定的,而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果,就自然的进行分类讨论。(2)分界点的确定:分类讨论一定是按参数的符号分类么?不一定。要想找好分界点,首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式2xa,a所扮演的角色是被开方数,故能否开方是进行下一步的关键,那自然想到按a的符号进行分类讨论。(3)当参数取值为一个特定值时,可将其代入条件进行求解(4)当参数a扮演多个角色时,则以其中一个为目标进行分类,在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
4、11 页精品资料欢迎下载例如:解不等式:110axx,可得:1210 ,1xaxa此时a扮演两个角色, 一个是x的系数, 将决定解集是小大根之外还是小大根之间,另一个角色是决定1x的大小,进而要和2x来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标,例如以x系数的正负,进行分类。当0a时,此时不等式的解集为小大根之间,而由于0a, 以此为前提1201xx,故小大根不存在问题,解集为1,1a当0a时,不等式变为10,1xx当0a时,不等式解集为小大根之外,而1210,1xxa,12,xx的大小由a的取值决定,所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。(重视的对比)1201xxa时,不等式解集为
5、1,1,a121xxa时,不等式化为2101xx121xxa时,不等式解集为1,1,a希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界,若能领悟, 其分类讨论不再是一个难点,而是有线索可循了。二、典型例题:例 1:已知函数1lnxfxxax,求fx的单调区间解:定义域0,x111lnfxxax22111axfxaxxax令0fx,所解不等式为10axa当0a时,即解不等式110axxafx的单调区间为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精品资料欢迎下载x10,a1,afx+fx当0a时,10,0axa0fx恒成立fx为增函
6、数 : 例 2:已知函数32331fxaxxa(1)若fx的图像在1x处的切线与直线113yx垂直,求实数a的值(2)求函数fx的单调区间解: (1)由切线与113yx垂直可得:13f236fxaxx13631faa(2)思路:导函数236fxaxx,令0fx解单调增区间,得到含参不等式。分类讨论时注意a扮演两个角色:一个是影响最高次项的符号,一个是影响方程的根解:236fxaxx令0fx即2360axx320x a x0a1220,xxa21xx(将a的范围分类后,要善于把每一类的范围作为已知条使用件,在本题中使用0a的条件使得12,x x大小能够确定下来,避免了进一步的分类)fx的单调区间
7、为:x,020,a2,afx+fx0a21xxfx的单调区间为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精品资料欢迎下载x2,a2,0a0,fx+fx例 3:已知函数22lnfxxax,求fx的单调区间解:定义域:0,x22222axfxaxxx,令0fx,可得:2220ax即21ax当0a时,210,axxaafx的单调区间为:x0,aa,aafxfx当0a时,2lnfxx为增函数当0a时,222220axfxaxxx恒成立fx为增函数例 4:讨论函数21 ln1fxaxax的单调区间解:21212aaxafxaxxx
8、令0fx即2221021axaaxa(注意定义域为0,+,所以导函数分母恒正,去掉后简化所解不等式)0a时212axa(求解x需要除以2a后开方,进而两个地方均需要分类讨论,先从2a的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精品资料欢迎下载符号入手)1002aaa0fx恒成立,fx在0,单调递增0a函数ln1fxx为增函数0a时212axa(下一步为开方出解集,按12aa的符号进行再分类)当102aa即1a时,0fx恒成立,fx在0,单调递减当102aa即10a时,解得:102axafx的单调区间为:x10,2aa1,2
9、aafx+fx小炼有话说:本题定义域为0,,故对单调区间既有促进作用又有制约作用:促进作用体现在对所解不等式的简化,请大家养成一个良好习惯,当已知变量范围时,一边关注范围一边解不等式。 制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集,所以在10a时,表格中自变量的区间是从0x处开始分析的例 5:已知函数22lnfxxaxx,讨论fx的单调性解:定义域为0,222221axaxfxxxx令0fx即220xax考虑28a(左边无法直接因式分解,考虑二次函数是否与x轴有交点)02 22 2a时220xax恒成立,故fx在0,单调递增2 2a时220xax的解221288,22aaaaxx12,0x x精选
10、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精品资料欢迎下载220xax的解集为22880,22aaaafx的单调区间为:x280,2aa2288,22aaaa28,2aafx+fx2 2a时12,0xx0,x0fxfx在0,单调递增小炼有话说:本题亮点在于的讨论,判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除了解出根来判断符号之外,本题还可以利用韦达定理进行判断。122xx,说明两根同号,而12xxa,说明a的符号决定12,x x的正负,从而在0的情况下进行再次分类讨论例 6:已知函数1axafxeax,其中1a.(1)当1a时
11、,求曲线yfx在点1,1f处的切线方程;( 2) 求fx的 单 调 区 间 解: (1)12xfxex2112xfxexx13 ,12fe fe切线方程为:321yee x,即2yexe(2)2111,0axxaxfxaexx,令0fx,即解不等式:1110a xax 当1a时,解得:1x,故fx的单调区间为:x, 11,00,fx+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精品资料欢迎下载fx 当10a时1211,01xxa,所以解得:111xa故fx的单调区间为:x, 11,010,1a1,1afx+fx0a,则1fx
12、,常值函数不具备单调性0a时,解得:1x或11xa故fx的单调区间为:x, 11,010,1a1,1afx+fx例 7:已知函数21ln12fxxaxaxaR. 求函数fx的单调区间 .解:211111xaxx xaafxxaxxx令0fx,即10x xa,120,1xxa(参数a角色:12,xx的大小,2x是否在定义域内,以为目标分类)2110xxa即1a(此时1a一定在定义域中,故不再分类)不等式的解集为10x或1xafx的单调区间为:x1,00,1a1 ,afxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精品资料欢
13、迎下载211xxa20fxxfx在1,单调递增2101xxa,要根据2x是否在1,0进行进一步分类当10a时,20,1x不等式的解集为0x或11xafx的单调区间为:当0a时,则10xa,不等式的解集为0x,fx的单调区间为:小炼有话说:(1)在求单调区间时面临一个0fx的根是否在定义域中的问题,由此也可体会到定义域对单调区间 “双刃剑”的作用,一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简,另一方面也圈住了单调区间,极值点所在的范围。(2)体会参数起到多重作用时,是如何进行分类讨论的,以及在某个大前提下,参数讨论也可进行些简化。例 8:已知函数2ln2fxxaxax,求fx的单调区间解:定义域
14、|0x x2221211122axaxxaxfxaxaxxxx令0fx,即解不等式2110xaxx1,1a1 ,0a0,fxfxx1,00,+fxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精品资料欢迎下载(1)当0a时,可得10ax,则不等式的解为12xfx的单调区间为:x10,21,2fx+fx(2)当0a时,1211,2xxa12xx时,即1122aa,解得12x或10xafx的单调区间为:x10,a1 1,2a1,2fxfx122xxa,代入到2210xfxx恒成立fx为增函数1220xxa,解得:1xa或102
15、xfx的单调区间为:x10,211,2a1,afxfx例 9:设函数321212,03fxaxaxa x a,求fx的单调区间;解:2412fxaxaxa,令0fx即24120axaxa2216412244461aaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精品资料欢迎下载(1)1006a则0fx恒成立fx在R上单调递增(2)00a或16a224244622aaaaaxaa 当0a时,解得226622aaaaxaa,fx单调区间为:x26, 2aaa22662, 2aaaaaa262,aaafxfx 当16a时,
16、解得:262aaxa或262aaxafx单调区间为:x26, 2aaa22662, 2aaaaaa262,aaafxfx例 10:已知函数,nfxnxxxR,其中,2nNn,试讨论fx的单调性思路:111nnfxnnxnx, 可令0fx, 则需解不等式11nx, 由于1n的奇偶不同会导致解集不同,所以可对n分奇偶讨论解:111nnfxnnxnx令0fx解得11nx当n为奇数时,1n为偶数,可解得:11xfx的单调区间为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精品资料欢迎下载x, 11,11,fxfx当n为偶数时,1n为奇数,可解得:1xfx的单调区间为:x,11,fxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页