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1、1/16 23.1 一元二次方程类型 1、一元二次方程的概念解题要点：（ 1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。（2）有些方程需要先整理，再判断。（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。题型 1、一元二次方程的判别例 1下列是一元二次方程的是（）A322xxB2152xxC2)2)(1(xxxD)1(2)1(2ttt例 2下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。（ 1）012x（2）21112xx；（3）012yx；（4）0123xx（ 5）46)53(22xxx（6）5)3)(2
2、(xx题型 2、利用一元二次方程的概念求字母的值。例 3方程013)2(|mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则（）A2mB2mC2mD2m例 4关于 x 的方程2322mxxxmx是一元二次方程的条件是什么？题型 3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集例 5若0352xax是一元二次方程，且a满足不等式063a，则 a 的取值范围是（）A2aB2aC2a且0aD21a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2/16 类型 2、一元二次方程的一般形式解题要点：（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂
3、排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。（2）先化为一般形式：02cbxax，后确定各项系数和常数项，一般形式中0a，b、c 可以等于0。（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。题型 1、化方程为一元二次方程的一般形式例 6把方程2)23)(12(2yyy化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、常数项。题型 2、利用一元二次方程的隐含条件解题例 7、 a为何值时，关于x 的方程04)3()3(1|xaxaa，(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？例 8、方程08)4(2|axxaa是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数
4、项。例 9、若一元二次方程0)32()8(22kxkx的二次项系数、 一次项系数及常数项之和为5，求k的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3/16 类型 3、一元二次方程的根（解）解题要点：（1）根必须满足两个条件：未知数的值；必须使方程左右两边相等。（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。题型 1、判断一元二次方程的根例 10下列哪些数是一元二次方程342xx的根？3，2，1， 0，1，2，3，4 题型 2、由一元二次方程的根求未知数的值。例 11、关于 x 的一元
5、二次方程01)1(22axxa的一个根是0，求 a的值。例 12、已知2x，6x是关于 x 的一元二次方程02baxx的根，求 a和b的值。题型 3、由一元二次方程的根求代数式的值。例 13、已知1x是一元二次方程0402bxax的一个根，且ba，求baba2222的值。例 14、已知 a 是方程0120102xx的一个根，试求12010200922aaa的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4/16 题型 4、已知两方程有公共根，求代数式的值。例 15、已知关于x 的方程02qpxx与)(02qppqxx有一个
6、公共根，求2009)(qp的值。类型 4、列一元二次方程解题要点：一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：（1）设一个未知数x，由其他未知量与这个未知数的关系，用x 表示其他量。（ 2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。例 16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm3，高为6cm，底面的长比宽多5cm，若设这个粉笔盒的底面的宽为 x cm，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。例 17用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板
7、的钉子的长度后一次与前一次的比值为k(10k)， 已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的74，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（）A17474742kkB17474kC174742kkD17874k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5/16 23.2 一元二次方程的解法类型 5、直接开平方法解题要点：（1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。（2）对于形如)0(2ppx的一元二次方程，常用直接开平方法求解，
8、方程的根是px，当0p时，021xx。（ 3）对于形如)0, 0()(2pmpnmx的一元二次方程，也可以用直接开平方法求解，方程的根为mpnx，当0p时，mnxx21。（4）解题时，一定要注意方程有两个根。题型 1、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件例 18、用直接开平方法解方程bcxa2)(，方程有根的条件是（）A0aB0bC0, 0 baD a 、b同号或0a，题型 2、用直接开平方法解一元二次方程例 19、求一元二次方程0)3(2x的根。例 20、求一元二次方程22)3()12(xx的根。类型 6、因式分解法解题要点：（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左
9、边分解，分别为零，求解”。（2）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）、提公因式法等，需注意一般方程的左边是因式的积，右边等于0。（3）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。题型 1、用因式分解法解形如)0(02abxax的一元二次方程。例 21、用因式分解法解下列方程：（1）5552xx（2）)2(2)2(32xx题型 2、用因式分解法解形如0)(2abxbax（ a 、b为常数）的一元二次方程。例 22、用因式分解法解下列方程。（1）01662xx；（2）06)32(2xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
10、 页，共 16 页6/16 题型 3、用因式分解法解形如)0(02acbxax的一元二次方程。例 23、用因式分解法解下列方程：（1）01562xx；（2）061362xx；题型 4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用例 24、当 x 为何值时，代数式222222xxx的值等于0。例 25、已知 ABC 的两边长分别为2 和 3，第三边的长是方程01072xx的根，求 ABC 的周长。类型 7、配方法解题要点：（ 1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式222)(2bababa和直接开平方法解一元二次为依据。（ 2）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式
11、，右边是一个非负数。（3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”。题型 1、用配方法解形如)04(022cbcbxx的一元二次方程例 26、用配方法解下列方程（1）0142xx（2）0752xx题型 2、用配方法解形如)04,0(022cbacbxax的一元二次方程例 27、用配方法解下列方程：（1）08432xx； （2）04722xx； （3）07542xx类型 8、公式法解题要点：（1）一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。（ 2 ） 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 的 推 导 过 程 ， 就 是 用 配 方 法 解
12、 一 般 形 式 的 一 元 二 次 方 程)0(02acbxax的过程。（3）由求根公式知，一元二次方程的根是由系数a、b、 c 决定的，只要确定了a 、b、 c 的值就可以代精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7/16 入求根公式求出一元二次方程的根。题型 1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。例 28、方程242xx的正根为（）A63B62C63D62例 29、用公式法解方程：xxx8101442题型 2、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程例 30、用公式法解下列方程：（1）3132212xx；（2）0
13、1.03.02.02xx；题型 3、用公式法解一元二次方程的综合应用例 31、已知关于x 的方程0122kxx的一个根与方程4112xx的根相同。（1）求k的值；（2）求方程0122kxx的另一个根。类型 9、根的判别式解题要点（ 1）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为)0(02acbxax的形式，再确定根的判别式与0 的大小关系。（ 2）当042acb时，方程有两个不相等的实数根aacbbx2421，aacbbx2422，当042acb时，方程有两个相等的实数根abxx221；当042acb时，方程没有实数根。（3）通过计算根的判别式的值，可以在
14、不解方程的情况下判断方程的根的情况。（4）由方程的根情况可以得知根的判别式的情况，进而得出方程中未知字母的取值情况。题型 1、由根的判别式来确定根的情况例 32、不解方程，判断下列关于x的一元二次方程的根的情况。（1）xx54542；（2）0)1(422mmxx；（3）832xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8/16 题型 2、由根的情况来确定方程中的待定系数。例 33、已知方程0)12(22kxkx有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是（）A2B1C0 D1 例 34当 m 取何值时，一元二次方程012)1
15、4(222mxmx（1）有两个不相等的实数根；（ 2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根。题型 3、根的判别式与三角形的综合应用例 35、已知 a 、b、 c 分别是三角形的三边，则方程0)(2)(2bacxxba的根的情况是（）A没有实根B可能有且仅有一个实根C有两个相等的实根D有两个不相等的实根例 36已知 a 、b、 c 是 ABC 的三边，且方程0)()()(axcxcxbxbxax有两个相等的实根，试判断ABC 的形状。类型 10、选择合适的方法解一元二次方程解题要点：（1）解一元二次方程的基本思路；将二次方程通过“降次”化为一次方程。（2）解一元二次方程的方法口诀：方程没有一次项
16、，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b、 c 相等都为零，等根是零不要忘；b、 c 同时不为零，因题而异择良方。（ 3）在用多种方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时，首先考虑的方法是直接开平方法和因式分解法，其次再考虑配方法和求根公式法。例 37用适当的方法解下列方程：（1）25)16(2x；（2）)7(8)7(xxx；（3）xx12142；（4） ；81222xx例 38、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法，请选择你认为适当的方法解下列方程：（1）0132xx； （2）3)1(2x； （3）052xx； （4）422xx类型
17、11、一元二次方程的实际应用例 39、 金鑫商店1 月份的利润是2500 元， 3 月份的利润为3000 元，这两个月的利润平均月增长率是多少？（精确到0.1%）例 40、明月兔业养殖厂在兔舍外面开辟了一个面积为20m2的长方形活动场地，准备一边靠墙，其余三边利用长 14m 的旧围栏，已知墙面长6m，问：围成长方形的长和宽各是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9/16 23.3 实践与探索类型 12、一元二次方程与生活实践解题要点：（1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”。
18、（ 2）在解决实际问题时有几个重要环节：完整、准确地审清题意；提取问题中的等量关系；正确地求解方程并检验解的合理性。题型 1、平均增长率（降低率）问题例 41、义乌市是一个“车轮上的城市”，截止 2007 年底全市汽车拥有量为114508辆，已知 2005 年底全市汽车拥有量为72983 辆，请解答如下问题：（1）2005 年底至 2007 年底义乌市汽车拥有量的年平均增长率是多少？（结果精确到0.1%）（2）为保护城市环境，要求义乌市到2009 年底汽车拥有量不超过158000 辆，据估计从2007 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4% ，那么每年新增汽车数量最多不超过多少
19、辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）。题型 2、商品经营策略问题例 42、某商店如果将货价为8 元的商品按每件10 元售出，每天可销售200 件，现采用提高售价，尽可能减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5 元，其销售量就会减少10 件，那么，将售价定为多少元时，才能使所赚利润为640 元？题型 3、利率问题例 43、李先生将10000 元存入银行一年，到期后取出2000 元购买彩电， 剩余 8000 元和利息又按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8410 元，试求不计利息税时这种存款的年利率。 （精确到0.01%）. 精选学习资料 - - - -
20、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10/16 题型 4、面积问题例 44、用 12m 长的一根铁丝围成长方形，（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m2呢？（ 2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？类型 13、根与系数的关系解题要点：在根与系数的关系中包含的两个条件和两个结论：（1）两个条件：方程是一元二次方程，即二次项系数0a；方程有实数根，即042acb；（2）两个结论：若1x 、2x 是一元二次方程)0(02acbxax的两个根，则abxx21；acxx
21、21。题型 1、不解方程，求根与系数的关系。例 45、不解方程，检验以下方程的解是否正确。（1）)252,252(0184212xxxx； （2）)7,1(076212xxxx例 46、不解方程，求出方程的两根之和与两根积；（1）021092xx；（2）201020092xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11/16 题型 2、不解方程，求含有方程两根的代数式的值。例 47、设方程01322xx的两根分别为1x 、2x ，不解方程求下列各代数式的值。（1）2221xx（2）2111xx（3）)3)(3(21xx
22、题型 3、利用根与系数的关系求字母的值。例 48、若一元二次方程032pxx的一个根为3，则p= 。例 49、设1x 、2x 是关于 x 的方程)0(0)1(2mmxmx的两个根， 且满足321121xx，求 m 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12/16 题型 4、根据要求构造一元二次方程解题例 50、已知321x，322x，试求作一个一元二次方程，使此方程的两根分别为1x 、2x 。例 51、已知两个数的和为7，积为 12，求这两个数。题型 5、根与系数关系的综合问题例 52、已知关于x 的一元二次方
23、程0)1(4)53(22axax的两个实数根分别是一个直角三角形的两条直角边，该直角三角形的周长是30，求此三角形的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13/16 全章总结类型 14、数学思想方法解题要点：（ 1）转化思想是把复杂的问题变为简单的问题，把难的问题变为容易的问题，把未知的知识变为已知的知识来解决，本章把高次方程降次为一元二次方程或一元一次方程来求解，这就是转化思想在解方程中的应用。（ 2）数学建模思想是指在解决实际问题时，通过对已知条件和未知条件的分析，提炼出实际问题与数学知识的联系，将其转化为
24、相应的数学问题，从数学角度解决问题，它可以化难为易，化抽象为具体地解决实际问题。（ 3）分类讨论思想是一种常见的数学思想方法，具体地说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的，即“化整为零， 各个击破”。题型 1、转化思想例 53、解方程：06524xx例 54、数学建模思想例 54、在某市实施棚户区改造过程中，某工程队承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备不足， 第一天少拆迁了20%，从第二天开始， 该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440 m2。（1）求该工程队第一天拆迁的面积。（2）若该工程队第二天
25、、第三天每天拆迁的面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。题型 3、分类讨论思想例 55已知 ABC 的两边 AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程0)1()12(2kkxkx的两个实数根，第三边BC 的长为 5。（1）k为何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？（2）k为何值时， ABC 是等腰三角形？并求ABC 的周长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14/16 类型 15、一题多解例 56、分别用三种方法解一元二次方程01662xx类型 16、判断说理题例 57、若0132babaxx是
26、关于 x 的一元二次方程，求a 、b的值，下面是两位同学的解法。甲：根据题意，得122baba，解得01ba乙：根据题意，得122baba，或212baba，解方程组得01ba或11ba，你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法。类型 17、定义新运算题例 58、若规定两实数a 、b通过运算 * 得ab4，即abba4*，例如486246*2（1）求 3*5 的值。（2）若04*2*2*xxx中的 x值。（3）若无论x取何值时，总有xxa*，求 a 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共
27、16 页15/16 类型 18、学科间综合题例 59、已知竖直上抛的物体离地面的高度)(mh和抛出时间)(st的关系是2021gttvh，0v 是竖直上抛时的瞬间速度，常数g取 10m/s2，设300vm/s，问：（1）隔多长时间物体的高度是25m？（2）多长时间以后物体回到原处？（3）隔多长时间物体达到最大高度，最大高度是多少？类型 19、阅读理解题例 60、按下列范例提供的方法解方程0716492xx一 元 二 次 方 程)0(02acbxax的 根 为aacbbx242， 方 程02acbyy的 根 为242acbby， 显然有ayx， 因为要求)0(02acbxax的根，只要求出02a
28、cbyy的根，再除以 a 就可以了。范例：解方程0618722xx解：解方程0617282yy，解得21y，62y方程0618722xx的两根为3617221x，1217262x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16/16 类型 20、规律探究题例 61、已知下列n （ n为正整数）个关于x的一元二次方程：012x022xx0322xx0)1(2nxnxn（1）请解上述一元二次方程n；（2）请你指出这n个方程的根有什么共同特点，写出一条即可。类型 21、图形拼割题例 62、如图，在长为10cm，宽为 8cm 的矩形四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长。类型 22、方案设计题：例 63、在一块长16 米，宽 12 米的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
