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1、23秒32年振动学基础(Vibration)第4章振动学基础1振动学基础振动振动具有时间周期性的运动。（狭义）具有时间周期性的运动。（狭义）任任何何复复杂杂的的非非周周期期运运动动，都都可可以以分分解解为为频频率率连连续续分分布布的的无无限多简谐振动的叠加。（广义）限多简谐振动的叠加。（广义） 例如例如: 机械振动机械振动 微观振动微观振动 电磁振动电磁振动 振动分类振动分类受迫振动：受迫振动： 在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动自由振动自由振动: : 阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由无
2、阻尼自由谐振动谐振动上页上页下页下页退出退出返回返回2振动学基础4.1 4.1 简谐振动简谐振动 ( (S Simple imple H Harmonic armonic M Motion)otion) 机械振动：物体在一定位置所做来回往复运动。机械振动：物体在一定位置所做来回往复运动。一一. . 简谐振动的定义简谐振动的定义物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，称为按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，称为简谐振动，简称谐振动。简谐振动，简称谐振动。最简单、最基本的振动，一切复杂的振动都可以由
3、若干个简谐振动合成。弹簧振子小幅无阻振动；单摆忽略阻力小角振动弹簧振子小幅无阻振动；单摆忽略阻力小角振动3振动学基础上页上页下页下页退出退出返回返回4振动学基础txo振动曲线振动学基础（一）动力学部分：（一）动力学部分：1. 受力特点受力特点: : 线性恢复力线性恢复力 (F= -kx)2. 动力学方程动力学方程 (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)xmox上页上页下页下页退出退出返回返回6振动学基础（二）运动学部分：（二）运动学部分：解上式微分方程，解上式微分方程，x应为正弦或余弦函数。应为正弦或余弦函数。 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T
4、)上页上页下页下页退出退出返回返回7振动学基础二二. 描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A(amplitude)：最大位移的绝对值最大位移的绝对值。 2. 周期周期(period) T：振动一次所需时间：振动一次所需时间 频率频率(frequency) v：单位时间内的振动次数：单位时间内的振动次数 = 1/T (Hz)圆圆频频率率(角角频频率率) ： 2 时时间间内内物物体体所所做做的的完全振动次数。完全振动次数。(单位：单位：rad/s 或或1/s)2 T = 2 =上页上页下页下页退出退出返回返回8振动学基础固有频率决定于系统内在性质固有频率决定于系统内在性质单单
5、 摆摆 : 固有固有( (圆圆) )频率频率弹簧振子弹簧振子: 固有周期固有周期单单 摆摆 :弹簧振子弹簧振子:上页上页下页下页退出退出返回返回9振动学基础3. 相位相位(phase) (1) ( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位- 初相初相(initial phase)(3)相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)同频率：同频率：初相差初相差相位变化的速率，描述谐振动状态变化快慢10振动学基础当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相 。x2TxoA1-A1A2-
6、A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相上页上页下页下页退出退出返回返回 同相和反相同相和反相当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相11振动学基础上页上页下页下页退出退出返回返回x2xoA1-A1- A2x1tA2T 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。12振动学基础三三. .简谐振动简谐振动的速度、加速度的速度、加速度1.1.速度速度 速度也是简谐振动速度也是简谐振动 比比x领先领先 /213振动学基
7、础oTtx、 、ax 2A 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A- A- 2A a2. 加速度加速度也是简谐振动也是简谐振动14振动学基础3. 振幅和初相与初始条件的关系振幅和初相与初始条件的关系所以：15振动学基础单单 摆摆 :弹簧振子弹簧振子: 是是 t 时刻的时刻的相位相位 是是t =0时刻的相位时刻的相位- 初相初相16振动学基础上页上页下页下页退出退出返回返回x2xoA1-A1- A2x1tA2T 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。17振动
8、学基础( (1) )振振动函数函数（复数形式复数形式） 只只要要给定定振振幅幅A、角角频率率 和和初初位位相相 ，就就等等于于给定了一个定了一个简谐振振动。 四四. 简谐振动简谐振动的描述方法的描述方法18振动学基础习题1. 某质点按余弦规律振动，其x-t曲线如图所示，则该质点振动初相位为（） T=2(A)0;(B)/2;(C)/2;(D).19振动学基础（2）振振动曲曲线xot 0 = /2 T=2A-A = 0omx0 = AxA(伸长量伸长量)om0 x0 AxAomx0 = 0xA20振动学基础振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的
9、运动的运动规律规律： 的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角XOM P x振幅振幅A振动圆频率振动圆频率（3）旋转矢量）旋转矢量21振动学基础（3）旋转矢量）旋转矢量 确确定定 和研究振动合成很方便和研究振动合成很方便xv0 00x0A/2例如，已知例如，已知x 参考圆参考圆(circle of reference) AA t+ ox tt = 0 x = A cos( t + ) 则由左图给出则由左图给出22振动学基础 3x = 4cos( t + ) cmt= 1s t = 0xA时矢量位置时矢量位置 方方法法一一：由由图图， = /
10、3，解：由题意，解：由题意，T = 2 s例例1：已知：已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s时时x =-2cm且向且向x正向运动，写出振动表达式。正向运动，写出振动表达式。方法二：由方法二：由 = /3 = /3上页上页下页下页退出退出返回返回23振动学基础 例例4-3 4-3 一一物物体体沿沿X 轴轴作作简简谐谐振振动动，振振幅幅A=0.12m, ,周周期期T=2s。当当t=0t=0时时, ,物物体体的的位位移移x= =0.06m, ,且且向向 X 轴轴正正向向运运动动。求求:(1):(1)简简谐谐振振动动表表达达式式;(2) ;(2) t = =T/4时时物物体体的
11、的位位置置、速速度度和和加加速速度度;(3);(3)物物体体从从x =-0.06=-0.06m向向 X 轴轴负负方方向向运运动动，第第一一次次回回到到平平衡衡位位置所需时间。置所需时间。解：（1）（2）（3）24振动学基础四四. .简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点(1) 动能动能上页上页下页下页退出退出返回返回25振动学基础(2) 势能势能情况同动能。情况同动能。上页上页下页下页退出退出返回返回(3) 机械能机械能简谐振动系统机械能守恒，与简谐振动系统机械能守恒，与振幅平方成正比。振幅平方成正比。26振动学基础xt
12、TEEpo(1/2)kA2Ek27振动学基础习题9一个质量为0.20kg的质点做简谐振动，振动方程为求振动动能和势能相等时，质点的位置。解：28振动学基础解：解：例例2： 质量为质量为10克的小球与轻弹簧组成系统，按克的小球与轻弹簧组成系统，按 的规律振动，式中的规律振动，式中t 以秒计，以秒计，x 以米计。求：以米计。求：（1）振动的能量、平均动能和平均势能；）振动的能量、平均动能和平均势能；（2）振动势能和振动动能相等时小球所处的位置；）振动势能和振动动能相等时小球所处的位置；（3）小球在正向最大位移一半处、且向）小球在正向最大位移一半处、且向x 轴正向运轴正向运动时，它所受的力、加速度、
13、速度。动时，它所受的力、加速度、速度。上页上页下页下页退出退出返回返回29振动学基础要求要求 (2)上页上页下页下页退出退出返回返回30振动学基础(3)当当时，由旋转矢量法可知：时，由旋转矢量法可知： t = 0xA上页上页下页下页退出退出返回返回31振动学基础上页上页下页下页退出退出返回返回32振动学基础4.2 简谐振动的合成简谐振动的合成一一. 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动 :x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2) 2.合振动合振动 : x = x1+ x2 x =A cos( t+ )合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其
14、频率仍为其频率仍为 上页上页下页下页退出退出返回返回33振动学基础合振动是简谐振动合振动是简谐振动, 其频率仍为其频率仍为 上页上页下页下页退出退出返回返回M1M34振动学基础3.两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 2 1= 2k (k=0,1,2,) (2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)如如 A1=A2 , 则则 A=0则则A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱上页上页下页下页退出退出返回返回35振动学基础习题10一轻弹簧倔强系数为k，下端悬有质量为m
15、的盘子，现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中，并和盘子粘到一起，于是盘子开始振动。求:(1)此时振动周期与空盘时振动周期有何不同？（2）此时振动振幅；（3）以平衡位置为原点，位移向下为正，以弹簧开始振动为计时起点，求初相位，并写出振动方程解：（1）36振动学基础（2）弹簧的平衡位置为静止时的位置，距离弹簧自然长度处物体下落速度为：物体下落速度为：(3)37振动学基础习题11 已知两个谐振子的v-t曲线如图所示，它们是同方向同频率的谐振动。求（1）求两个谐振动的振动方程；（2）它们的合振动方程。1vo2t2-20238振动学基础习题12 两个同方向的简谐振动为（1）求合振动的振幅和初位相；（2）另有一同方向的的简谐振动39振动学基础
