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1、 为流体中一流体质点， 为 点邻域内另一任意流体质点，如果速度场已知，则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度可计算如下：1.61.6 速度分解定理速度分解定理速度梯度张量速度梯度张量式中写成分量形式1上式用矩阵表示为，一个标量的梯度是一个矢量，而一个矢量的梯度则是一个二阶张量。是一个二阶张量，称为速度梯度张量。或速度梯度张量也可表示成或2速度梯度张量分解为两个张量速度梯度张量分解为两个张量 只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对应相等，可表示为 ，是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动，称应变率张量。3 只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为
2、 ，是一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动，称旋转张量。4旋转张量旋转张量反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，这三个分量正好构成速度旋度的5以 间的位移 和旋转张量 相乘， 在刚体的定点转动中，如果角速度为 ，则距定点距离 处的旋转速度为 ， 比较知，速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2倍。6 表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相对于M 点的速度变化。速度分解定理速度分解定理上式以矢量形式可写为， 表示由于流体微团变形而产生的 点相对于M点的速度变化。7取一由流体质点组成的线段元，1.71.7应变率张量应变率张量正应变率分量正应变率分量8设某瞬时
3、与x轴重合，则应变率张量对角线分量分别是x，y，z轴线上的线段元 的相对伸长率，称正应变率分量。同理9剪切应变率分量剪切应变率分量取流体质点组成的线元 、 ，设在某一瞬时 与x轴重合，而 与y轴重合，于是，式中 是 x 轴与 y 轴之间的夹角， ， 于是，10应变率张量非角线分量分别是平行于 x 与 y 轴，z 与 x 轴，y 与z 轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值，称剪切应变率分量。同理得，11体积应变率体积应变率应变率张量对角线分量之和 是一个标量，取一流体团，体积为 ，外表面为 S，体积 的变化率等于通过封闭曲面 S 的速度通量，应变率张量三个对角线分量之和 或速度的散度表示
4、流体微元的相对体积膨胀率。121.81.8速度环量和涡量速度环量和涡量速度环量速度环量速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量，线积分沿逆时针方向进行。13涡量涡量 涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍， 涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比，而与流体微团重心围绕某一参考中心作圆周运动的角速度无关。流动是否有旋与流体质点的运动轨迹无关。一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零。 流场内处处 的流动称无旋流，或称势流。 的流动则称有旋流动。14Stokes定理定理涡通量：Stokes定理：151.91.9涡旋的运动学特性涡旋的运动学特性涡管和微元涡管涡管和微元涡管涡线，流场中的一条曲
5、线，曲线上各点的涡量矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。涡管，在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线，在某瞬时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面，称涡管。涡管横截面无限小时称涡管元。16涡旋场是无源场涡旋场是无源场矢量恒等式，涡旋场内无源无汇。17涡管的运动学特性涡管的运动学特性推论：对一个确定的涡管，它的任一横截面上的涡通量是一个常数。该常数称为涡管强度。 由 ，对图示涡管，推论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。 由Stokes定理18由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在流体内部中断。如果发生中断，则在中断处取封闭曲面，通过封闭曲面的涡通量将不为零，与无源场事实相矛盾
6、。涡线和涡管只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其头尾搭在固壁或自由面，或延伸至无穷远。涡线和涡管都不能在流体内部中断涡线和涡管都不能在流体内部中断19下标 表示面元 的法线方向。1.101.10应力张量应力张量应力矢量应力矢量，正侧流体对负侧流体的作用应力；，负侧流体对正侧流体的作用应力。20应力矢量的投影应力矢量的投影应力的双下标表示法：第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，第 2 个下标表示应力投影方向。21一点的应力状态一点的应力状态在运动的粘性流体中，表面应力的方向和大小一般来说与其作用面的方位有关（表面应力方向与法向 并不一致），因此描述一点的应力状态似乎就需要无限多个矢量。下
7、面将证明过空间一点的三个相互垂直平面（可取三个坐标平面）上的应力矢量或它们的九个分量完全描写了一点的应力状态。22取四面体流体元，应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量23惯性力，重力，表面力，应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量达朗贝尔原理：作用于四面体上的质量力（重力），表面力和惯性力及其力矩应该平衡。当 ，重力、惯性力为三阶无穷小量，表面力为二阶无穷小量，因此仅需考虑表面力作用，忽略惯性力和重力影响。24应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量25应力张量应力张量或称应力张量应力张量的对角线元素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量。用四面体上的表面力的合力矩为零可以证明应力张量是对称张量
8、，只有6个独立分量，其非对角线分量两两对应相等，应力张量 不再与 有关，而只是空间点位置和时间的函数，由九个分量（6个独立分量）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。261.111.11理想流体与静止流体的应力张量理想流体与静止流体的应力张量一点的应力状态一点的应力状态在理想流体或静止流体中切应力为零由于 是任选的，上式表明同一点各个不同方向上的法向应力是相等的。取 是强调压强与作用面的法线方向是相反的，由此可见在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压力函数 便完全地描述了一点上的应力状态。比较上 2 式得，27应力张量应力张量281.121.12本构方程本构方程应力和应变率之
9、间的关系，或者说应力张量和应变率张量之间的关系称本构方程。三点假设之一三点假设之一运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量，流体压强此时即为静力学压强，据此应力张量可表示为，应力张量热力学压强剪切应力张量或偏应力张量。 由于流体运动而引起，当运动消失时趋于零， 也趋于静力学压强。由于 ， 均是对称张量，因此偏应力张量 也是对称张量。29三点假设之二三点假设之二偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性齐次函数。这里假设应力张量是速度梯度张量的线性函数，而且只和速度梯度张量有关，满足上述关系的流体称牛顿流体，不满足此关系的流体则称非牛顿流体。比例常数 应是一个4阶张量。3
10、0三点假设之三三点假设之三流体是各向同性的，流体的物理性质，如粘性、导热率等均与方向无关，只是坐标位置的函数。从数学上讲，即要求是 各向同性张量。各向同性张量的每一分量经过坐标旋转变换后不改变其值。四阶各向同性张量可表示为 由 ，考虑到 对 i 、j 两个指标是对称的， 对指标 i 、j 也应该是对称的，于是 可进一步简化为，对 k，l 也是对称的31本构方程本构方程由于 对 k，l 对称，而旋转张量 对 k，l 反对称，因此上式从数学上证明了偏应力与旋转无关，而只和变形有关。上式中的 、 需由实验确定，其物理意义也需要进一步解释。32富立叶定律富立叶定律33动力粘性系数动力粘性系数牛顿内摩擦
11、定律不可压缩流体的剪切流动不可压缩流体与牛顿内摩擦定律比较可看出， 即动力粘性系数。1.13 1.13 粘性系数粘性系数34第二粘性系数第二粘性系数 和体积粘性系数和体积粘性系数 一点的平均正应力 式中 ，称体积粘性系数。35根据气体分子运动理论分子平动能量的度量分子总能量的度量，其中包括平动、转动、振动能量及其他能量平平动能量转换为其他形式能量的一个度量，例如穿过激波能能量从平动能量转变为振动能量，此时 不为零。36Stokes假设假设 对单原子气体只有分子平动能量 ，此时 ；对多原子气体和液体，通常情况下 也可认为近似为零；Stokes假设， ，此时只有一个粘性系数 ，而 。不可压缩流体不可压缩流体包含 的项自动消失，37
