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1、学习必备欢迎下载数列递推公式总结类型(一)第 1 类:递推公式为1nnaad及1( ,0)nnaqad qq为常数,例 1. 已知na满足12nnaa,且11a,则na=_. 已知na满足112nnaa,且12a,则na=_. 第 2 类:1( )nnaaf n逐差求和例 2. 已知na中,112a,12141nnaan,求na。练习题:已知11a,121nnaan(,2)nN n,求na的通项公式。类型 3. 第 3 类1( )nnaaf n ()nN逐商求积例 3 在数列na中,12a,11nnnaan,求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
2、 - - -第 1 页,共 21 页学习必备欢迎下载练习:已知112a,12nnnaan,求na。类型第 4 类1nnapaq构造等比数列例 4 na,11a,()nN且1n,有11a。求na。练习:数列na,11a,121nnaa()nN。求na。满足na中,11a,111(2)2nnaan,求na=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页学习必备欢迎下载第 5 类:1nnnapaq思路:1nnnapaq两边同除1nq111nnnnaapqq qq令nnnabq11nnpbbqq回归到第4类。例 5. na中,1
3、56a,1111( )32nnnaa,求na。练习:na中,13a,113(3)nnnaa,求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页学习必备欢迎下载第 6 类:因式分解及倒数法例 6 . na是首项为 1 的正项数列。2211(1)0nnnnnanaaa,则na=_. . na首项11a,131nnnaaa,求na=_. 练习:已知11a,11nnnaaa,则na=_. na满足132a,且113(2)2(n1)nnnnaana,求na。 (难)第二大类:已知nS,求na。类型 1. 已知( )nSf n,求na
4、。例 7. 101nnS,求na=_. 已知21nSn,求na=_. 注意:利用1nnnSSa,推导na时,(2)nn=1 时,适合na则统一n=1 不适合na分开写,1112nnnSnaSSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页学习必备欢迎下载类型 2. ()nnSf a,求na。技巧:nS与na一次关系,换nS。nS与na二次关系,换1nnnaSS。例 8.在数列na中,已知32nnSa,求na。在数列na中,已知11a,22(2)21nnSanS,求na。类型 3. 周期型,函数型。例 9 na中,10a,13
5、31nnnaaa,求20a=_. 4( )42xxf x,求和122009()().()201020102010Sfff_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页学习必备欢迎下载习题: 1. 已知数列na满足132nnaan,且12a,求na=_. 2. 已知11a,12nnnaan,求na=_. 3. 已知13a,123nnaa,求na=_. 4. 首项为 3,公差为d=2 的等差数列,kS为前 k 项之和。求12111.nTSSS。5.1( )22xf x,求( 5)( 4)( 3).(0).(5)(6)ffff
6、ff。121xx,12112( )22222xxf x(此处不知是题还是答案,有疑问)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页学习必备欢迎下载专题:数列的求和一、公式常见数列的求和公式1. 等差数列的前n 项和公式:11()(1)22nnaann nSnad2. 等差数列的前n 项和公式:当1q时,1nSna;当1q时,11(1)11nnnaa qaqSqq3. 正整数列前n 项和公式:(1)123.2n nn。4. 正奇数列前n 项和公式:2135.21nn。5. 2n的前 n 项和公式:22221123.(1)(21
7、)6nn nn。6. 3n的前 n 项和公式:2233332(1)(1)123.42nnn nn。二、一般数列求和常用方法(一)分组求和法例 1. 数列na的通项2nann,求前 n 项和nS。练习一 1. 求和22111()().()(1,1)nnxxxxyyyy。2.求和11111111(1)(1).(1.)224242nnS。3.求数列 1,1+2, 1+2+3, ., 1+2+3+ +n 前 n 项和。(二)裂项求和法例 2. 已知na:1111,.,.1 12 123123.n它的前 n 项和。练习二 1.已知1(21)(21)nann,求nS。2.求21111.52145443nS
8、nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页学习必备欢迎下载(三)错项相减法例 3. 求和21123.()nnSxxnxxD练习三 求和13521.2482nnnS。(四)倒序相加(乘)法例 4. 设4( )42xxf x,求和121998()().()199919991999fff的值。例 5. 已知 a , b为不相等的两个正数, 若在 a , b之间插入 n 个正数,使它们构成以a 为首项,b 为末项的等比数列,求插入的这n 个正数的积nP。(五)并项求和法例 6. 求2222221001234.99100S的值。
9、练习:求-1, 4,-7,10, ,( 1) (32)nn 的前 n 项和nS。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页学习必备欢迎下载等差、等比数列一、等差数列1. 定义:若*1(2,d)nnaad nnN为常数,则na是等差数列;若*1(,d)nnaad nN为常数,则na是等差数列;2. 通项公式:1(1)naand,*() (,)mnaamn d m nN,1nnadad从函数角度来看,na是关于 n 的一次函数(0d)或常数函数(0d) ,它的图像是一条射线上的一群间距相等的点,其中 d 是该射线所在的直线的斜
10、率,故()mnaadmnmn3. 等差中项。( 1) 如果 a, A, b成等差数列, 那么 A叫做 a 与 b 的等差中项,即2abA或2Aab;( 2 ) 等 差 中 项 描 述 了 等 差 数 列 中 相 邻 三 项 之 间 的 数 量 关 系 :112nnnaaa*(2,)nnN;还可推广为:若*2(, ,)nmp m n pN,则2nmpaaa。4. 等差数列的前n 项和公式:11()(1)22nnaann nSnad,21()22nddSnan当0d时,1nSna;其中若10a,则0nS;若10a,则nS是 n 的一次函数;当0d时,nS是关于 n 的不含常数项的二次函数,可表示为
11、2(0)nSAnBn A由二次函数性质知,当0d时,nS有最小值;当0d时,nS有最大值。若10a,0d,则数列的前面若干项0na,所以将这些项相加即得nS的最小值;若10a,0d,则数列的前面若干项0na,所以将这些项相加即得nS的最大值;特别地,若10a,0d,则1a是nS的最小值;若10a,0d,则1a是nS的最大值;5. 性质(1)0d时,数列为常数列;0d时,数列为递增数列;0d时,数列为递减数列。(2)*1(, ,1)1nmkaaaadm n kNmknnmk且。(3)若*(, ,)mnpq m n p qN,则mnpqaaaa;特别地,当2mnp时;2mnpaaa。精选学习资料
12、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页学习必备欢迎下载(4)序号成等差数列的项仍成等差数列;(5)有穷等差数列中,与首末两项距离的两项和相等,并且等于首末两项之和;特别地,若项数为奇数,还等于中间项的2 倍。即12132.nnnaaaaaa;若项数为奇数时,12naaa中。(6)若数列na与nb均成等差数列,则nnmakb仍成等差数列,其中m,n 为常数。( 7 )na是 等 差 数 列 ,12.nnSaaa,2122.nnnnnSSaaa,3221223.nnnnnSSaaa,则nS,2nnSS,32nnSS是公差为2n d的等差
13、数列,有3222()nnnnnSSSSS(8)若项数为2n,则2462n13521(.)(.)nSSaaaaaaaa奇偶=.dddnd2121().()nnnnSSSn aan aa奇偶1211122()22=2()2nnnnnnnaaSaanSaaaa奇偶若项数为 2n-1,则242222211.()2(1)22nnnnnnSaaaaaana偶1321121.()222nnnnnnSaaaaaana奇=nSSaa奇中偶;21+=(21)nnSSSnaa奇中偶项数=(1)1nnSnanSnan奇偶(9)如果等差数列na与nb的前 n 项和分别为nS和nT,则1211212112112121(
14、21) ()22( 21) ()22nnnnnnnnnnnaaaaaaSnbbbbbbT6. 判定等差数列的几种方法:定义法:*1()mnnaadanN常数是等差数列 ();等差中项法:*122nnnnaaanNa()是等差数列;通项公式法:( ,)nnapnq p qa为常数是等差数列;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页学习必备欢迎下载前 n 项和公式法:2( ,)nnSAnBn A Ba为常数是等差数列。注:两种方法在选择题或填空题中可直接用。二、等比数列1. 定义:若*1(2,0)nnaq nnNqqa为常
15、数 ,,则na是等比数列;若*1(,0)nnaq nNqqa为常数 ,,则na是等比数列;注:常数列一定是等差数列,但不一定是等比数列。如:各项均为0 的数列,非零常数列既是等差数列又是等比数列。2. 通项公式:11nnaa qm nmnaa q1nnnaaqcqq,由此可知等比数列图像是函数xyc q的图像上一群孤立的点。3. 等比中项如果三个数x, G, y 组成等比数列,则G 叫做 x 和 y 的等比中项,如果G 是 x 和 y 的等比中项,那么GyxG,即2Gxy故Gxy;因此0xy,且 x 和 y 的等比中项是两个。4. 等比数列的前n 项和111(1)(1)11(1)nnnaa q
16、aqSqqqnaq当等比数列的公比是字母参数时,一定要分类讨论求和。5. 性质:等比数列na的首项为1a,公比为q(1)当1q,10a或01q,10a时,数列为递增数列;当1q,10a或01q,10a时,数列为递减数列;当1q时,数列为非零常数列;当0q时,数列为摆动数列。(2)11nnaqam nmnaqa(*,m nN,且mn)(3)若*(, ,)mnpq m n p qN,则mnpqaaaa特别地,当2mnp时,2mnpaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页学习必备欢迎下载(4)序号成等差数列的项组成新数
17、列仍成等比数列;(5)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,并且等于首末两项之积;特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方;即12132.nnna aaaaa;21na aa中。(6)若,nnab为等比数列,公比分别为Q(0)qqQ与则|na也成等比数列,公比为|q;则2na也成等比数列,公比为2q;则nnab也成等比数列,公比为qQ;则nnab也成等比数列,公比为qQ;特别地,1na也成等比数列,公比为1q;nka(0)k也成等比数列,公比为q。若等比数列na中*0,nanN;则logana成等比数列,反之也对,即若logana成等差数列,则na成等比数列,且0na。(7)设nS是等
18、比数列na的前 n 项和,则nS,2nnSS,32nnSS满足关系式2232()()nnnnnSSSSS;但不能说nS,2nnSS,32nnSS成等比数列。 如当( 1)nna时,100S,20100SS,30200SS不成等比数列。若数列na的项数为2n,则SqS偶奇;(8)等比数列na的前 n 项积112111(1)1 2 .1*211.().()()nnnn nnnnVa aaa a qa qa qa qnN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页学习必备欢迎下载数列练习(一)1. 已知数列na中,11a,*13
19、4(2)nnaanNn且,则数列na通项公式na为()A. 13nB. 138nC. 32nD. 3n2. 已知等差数列na的前 n 项和为nS,若4518aa,则8S=()A. 18 B.36 C.54 D.72 3. 已知公差不为0 的等差数列na满足134,a aa成等比数列,nS为na的前 n 项和,则3253SSSS的值为()A. 2 B. 3 C. 15D. 4 4. 数列na是公差不为0的等差数列, 且137,a a a为等差数列nb的连续三项, 则数列nb的公比为()A. 2B. 4 C. 2 D. 1 5. 已知数列na的通项公式为2245nann,则na的最大项是()A.1
20、aB. 2aC. 3aD.4a6. 等比数列na中,372,8aa,则5a=()A. 4B. 4 C. 6 D. -4 7. 已知等差数列na的公差为 -2,且245,aa a成等比数列,则2a等于()A. -4 B.-6 C.-8 D.8 8. 已知数列na的前 n 项和12nnSn,则3a=()A. 120B. 124C. 128D.1329. 已知等差数列na的前 n 项和为nS,且2510,55SS,则过点( ,)nP n a和*2(2,)()nQ nanN的直线的斜率是()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 设na是公差为正数的等差数列,若12315aaa,12380a
21、a a, 则1 11 21 3aaa()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页学习必备欢迎下载A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 11. 已知等差数列na的前 n 项和为nS,若1200OBa OAaOC,且 A、B、C 三点共项(该直线不过原点O) ,则200S=()A. 100 B. 101 C. 200 D. 201 12. 已知等差数列na的前 n 项和为nS,且13140,0SS,若10tta a,则 t=_. 13. 已知na为等差数列,且3636aa,47=18aa。(1)若12na,求
22、 n; (2)设数列na的前 n 项和为nS,求8S。14. 已知数列na的公比为(1)d d的等比数列,且132,a aa成等差数列。(I)求 d 的值;(II)设数列nb是以 2 为首项, d 为公差的等差数列,其前n 项和为nS,试比较nS与nb的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页学习必备欢迎下载15. 已知数列na是公比大于1 的等比数列,nS为数列na的前 n 项和,37S,且1233,3,4aaa成等差数列。(1)求数列na的通项;(2)令nnbna,求数列nb的前 n 项和nT。16.设数列n
23、a的前 n 项和为nS,*11,=2(1),()nnSaannNn. ( 1)求数列na的通项公式na; ( 2)是否存在正整数n 使得212.(1)2015?12nsssnn若存在, 求出 n 值;若不存在,说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页学习必备欢迎下载数列练习(二)1. 在等差数列na中,35102=4aaa,则此数列的前13 项的和等于()A. 13 B. 26 C. 8 D. 16 2. 在等比数列中na,已知13118a a a,那么28a a()A. 3 B. 4 C. 12 D. 16
24、 3. 若一个等差数列na的前 n 项和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为390,则这个数列有()A. 13 项B. 12 项C. 11 项D.10 项4. 已知等差数列na的前 n 项和为nS,且3711315aaa,则13S=()A. 104 B. 78 C. 52 D. 39 5. 如果数列na()naR对任意*,m nN满足m nmnaaa, 且38a, 那么10a等于 ()A. 256 B. 510 C. 512 D. 1024 6. 已知数列na满足133a,12nnaan,则nan的最小值为()A. 10 B.10.5 C. 9 D. 8 7. 等差数列na满足
25、:296aaa,则9S=()A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 8. 在数列na中,*111,()nnaaan nN,则100a的值是()A. 55050 B. 5051 C. 4950 D. 4951 9. 在等差数列na中,1815+3120aaa,则642aa的值为()A. 24 B. 22 C.20 D. -8 10. 若na为等差数列,且25839aaa,则129.aaa的值为()A. 117 B. 114 C. 111 D. 108 11. 已知 a, b, c, d 成等比数列,且曲线223yxx的顶点是( , )b c,则ad等于()A. 3 B. 2 C. 1 D.-2
26、 12. 数列na满足112(0)2121(1)2nnnnnaaaaa。若167a,则8a=()A. 67B. 57C. 37D. 1713. 已知等比数列na各项均为正数,前n 项和为nS,若21 52,16.aa a则5S=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页学习必备欢迎下载14. 已知na是公差不为零的等差数列,11a,且139,a a a成等比数列。(1)求数列na的通项;(2)记2nanbn,求数列nb的前 n 项和为nS。15. 已知数列na满足10a,且*112(1),()2nnSSn nnN(
27、1)求23,aa,并证明:*12,()nnaannN;(2)设*1()nnnbaanN,求证:121nnbb;(3)求数列na*()nN的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页学习必备欢迎下载16. 在数列na中,113a,并且对任意*,2nNn都有11nnnna aaa成立,令*1()nnbnNa(I)求数列nb的通项公式;(II)求数列nan的前n项和nT。17. 已知数列na,nb中,na为公比0q的等比数列,且48120,340,1SSb,*1()nnbqTnN,其中,nnS T分别为数列na,nb
28、的前n项和。(I)求数列na的通项公式;(II)求数列nb的通项公式;(III)求数列nnb的前n项和nH。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页学习必备欢迎下载数列中的数学思想一、函数与方程思想例 1. 已知函数2( )(1) ,( )4(1)f xxg xx,数列na满足12a,1()()()0nnnnaag af a。(1)用na表示1na;(2)求证:1na是等比数列。例 2. 等差数列na中,125a,179SS,问数列前多少项之和最大,并求此最大值。变式:已知na是一个等差数列,且21a,55a。(1)求
29、na的通项na;(2)求na的前n项和nS的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页学习必备欢迎下载二、等价转化思想例 3 已知na是一个公差大于0 的等差数列,且满足3655a a,2716aa。(1)求数列na的通项公式;(2)若数列na和数列nb满足等式:*3124234()22222nnnbbbbbanN求数列nb的前n项和nS。三、分类讨论思想例 4. 数列na中,148,2aa,且满足*2120()nnnaaanN。(1)求数列的通项公式;(2)122nnnaaa。例 5. 设等差数列na的前n项和为nS,且2*1()2nnaSnN,又( 1)nnnbS;求数列nb的前n项和nT。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页学习必备欢迎下载易错探究已知等差数列na的首项11a,公差0d,且第二项,第五项,第十四项分别为等比数列nb的第二项,第三项,第四项。(1)求数列na与nb的通项公式;(2)设数列nc对任意正整数n都有12112nnncccabbb成立, 求122009ccc的值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页