2022年数列知识点总结例题

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1、学习必备欢迎下载数列递推公式总结类型（一）第 1 类：递推公式为1nnaad及1( ,0)nnaqad qq为常数，例 1. 已知na满足12nnaa，且11a，则na=_. 已知na满足112nnaa，且12a，则na=_. 第 2 类：1( )nnaaf n逐差求和例 2. 已知na中，112a，12141nnaan，求na。练习题：已知11a，121nnaan(,2)nN n，求na的通项公式。类型 3. 第 3 类1( )nnaaf n ()nN逐商求积例 3 在数列na中，12a，11nnnaan，求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

2、 - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载练习：已知112a，12nnnaan，求na。类型第 4 类1nnapaq构造等比数列例 4 na，11a，()nN且1n，有11a。求na。练习：数列na，11a，121nnaa()nN。求na。满足na中，11a，111(2)2nnaan，求na=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 5 类：1nnnapaq思路：1nnnapaq两边同除1nq111nnnnaapqq qq令nnnabq11nnpbbqq回归到第4类。例 5. na中，1

3、56a，1111( )32nnnaa，求na。练习：na中，13a，113(3)nnnaa，求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载第 6 类：因式分解及倒数法例 6 . na是首项为 1 的正项数列。2211(1)0nnnnnanaaa，则na=_. . na首项11a，131nnnaaa，求na=_. 练习：已知11a，11nnnaaa，则na=_. na满足132a，且113(2)2(n1)nnnnaana，求na。 （难）第二大类：已知nS，求na。类型 1. 已知( )nSf n，求na

4、。例 7. 101nnS，求na=_. 已知21nSn，求na=_. 注意：利用1nnnSSa，推导na时，(2)nn=1 时，适合na则统一n=1 不适合na分开写，1112nnnSnaSSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载类型 2. ()nnSf a，求na。技巧：nS与na一次关系，换nS。nS与na二次关系，换1nnnaSS。例 8.在数列na中，已知32nnSa，求na。在数列na中，已知11a，22(2)21nnSanS，求na。类型 3. 周期型，函数型。例 9 na中，10a，13

5、31nnnaaa，求20a=_. 4( )42xxf x，求和122009()().()201020102010Sfff_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载习题： 1. 已知数列na满足132nnaan，且12a，求na=_. 2. 已知11a，12nnnaan，求na=_. 3. 已知13a，123nnaa，求na=_. 4. 首项为 3，公差为d=2 的等差数列，kS为前 k 项之和。求12111.nTSSS。5.1( )22xf x，求( 5)( 4)( 3).(0).(5)(6)ffff

6、ff。121xx，12112( )22222xxf x（此处不知是题还是答案，有疑问）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载专题：数列的求和一、公式常见数列的求和公式1. 等差数列的前n 项和公式：11()(1)22nnaann nSnad2. 等差数列的前n 项和公式：当1q时，1nSna；当1q时，11(1)11nnnaa qaqSqq3. 正整数列前n 项和公式：(1)123.2n nn。4. 正奇数列前n 项和公式：2135.21nn。5. 2n的前 n 项和公式：22221123.(1)(21

7、)6nn nn。6. 3n的前 n 项和公式：2233332(1)(1)123.42nnn nn。二、一般数列求和常用方法（一）分组求和法例 1. 数列na的通项2nann，求前 n 项和nS。练习一 1. 求和22111()().()(1,1)nnxxxxyyyy。2.求和11111111(1)(1).(1.)224242nnS。3.求数列 1，1+2， 1+2+3， .， 1+2+3+ +n 前 n 项和。（二）裂项求和法例 2. 已知na：1111,.,.1 12 123123.n它的前 n 项和。练习二 1.已知1(21)(21)nann，求nS。2.求21111.52145443nS

8、nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载（三）错项相减法例 3. 求和21123.()nnSxxnxxD练习三 求和13521.2482nnnS。（四）倒序相加（乘）法例 4. 设4( )42xxf x，求和121998()().()199919991999fff的值。例 5. 已知 a , b为不相等的两个正数， 若在 a , b之间插入 n 个正数，使它们构成以a 为首项，b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积nP。（五）并项求和法例 6. 求2222221001234.99100S的值。

9、练习：求-1， 4，-7，10， ，( 1) (32)nn 的前 n 项和nS。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载等差、等比数列一、等差数列1. 定义：若*1(2,d)nnaad nnN为常数，则na是等差数列；若*1(,d)nnaad nN为常数，则na是等差数列；2. 通项公式：1(1)naand，*() (,)mnaamn d m nN，1nnadad从函数角度来看，na是关于 n 的一次函数（0d）或常数函数（0d） ，它的图像是一条射线上的一群间距相等的点，其中 d 是该射线所在的直线的斜

10、率，故()mnaadmnmn3. 等差中项。（ 1） 如果 a, A, b成等差数列， 那么 A叫做 a 与 b 的等差中项，即2abA或2Aab；（ 2 ） 等 差 中 项 描 述 了 等 差 数 列 中 相 邻 三 项 之 间 的 数 量 关 系 ：112nnnaaa*(2,)nnN；还可推广为：若*2(, ,)nmp m n pN，则2nmpaaa。4. 等差数列的前n 项和公式：11()(1)22nnaann nSnad，21()22nddSnan当0d时，1nSna；其中若10a，则0nS；若10a，则nS是 n 的一次函数；当0d时，nS是关于 n 的不含常数项的二次函数，可表示为

11、2(0)nSAnBn A由二次函数性质知，当0d时，nS有最小值；当0d时，nS有最大值。若10a，0d，则数列的前面若干项0na，所以将这些项相加即得nS的最小值；若10a，0d，则数列的前面若干项0na，所以将这些项相加即得nS的最大值；特别地，若10a，0d，则1a是nS的最小值；若10a，0d，则1a是nS的最大值；5. 性质（1）0d时，数列为常数列；0d时，数列为递增数列；0d时，数列为递减数列。（2）*1(, ,1)1nmkaaaadm n kNmknnmk且。（3）若*(, ,)mnpq m n p qN，则mnpqaaaa；特别地，当2mnp时；2mnpaaa。精选学习资料

12、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载（4）序号成等差数列的项仍成等差数列；（5）有穷等差数列中，与首末两项距离的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2 倍。即12132.nnnaaaaaa；若项数为奇数时，12naaa中。（6）若数列na与nb均成等差数列，则nnmakb仍成等差数列，其中m，n 为常数。（ 7 ）na是 等 差 数 列 ，12.nnSaaa，2122.nnnnnSSaaa，3221223.nnnnnSSaaa，则nS，2nnSS，32nnSS是公差为2n d的等差

13、数列，有3222()nnnnnSSSSS（8）若项数为2n，则2462n13521(.)(.)nSSaaaaaaaa奇偶=.dddnd2121().()nnnnSSSn aan aa奇偶1211122()22=2()2nnnnnnnaaSaanSaaaa奇偶若项数为 2n-1，则242222211.()2(1)22nnnnnnSaaaaaana偶1321121.()222nnnnnnSaaaaaana奇=nSSaa奇中偶；21+=(21)nnSSSnaa奇中偶项数=(1)1nnSnanSnan奇偶（9）如果等差数列na与nb的前 n 项和分别为nS和nT，则1211212112112121(

14、21) ()22( 21) ()22nnnnnnnnnnnaaaaaaSnbbbbbbT6. 判定等差数列的几种方法：定义法：*1()mnnaadanN常数是等差数列 ()；等差中项法：*122nnnnaaanNa()是等差数列；通项公式法：( ,)nnapnq p qa为常数是等差数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载前 n 项和公式法：2( ,)nnSAnBn A Ba为常数是等差数列。注：两种方法在选择题或填空题中可直接用。二、等比数列1. 定义：若*1(2,0)nnaq nnNqqa为常

15、数 ,，则na是等比数列；若*1(,0)nnaq nNqqa为常数 ,，则na是等比数列；注：常数列一定是等差数列，但不一定是等比数列。如：各项均为0 的数列，非零常数列既是等差数列又是等比数列。2. 通项公式：11nnaa qm nmnaa q1nnnaaqcqq，由此可知等比数列图像是函数xyc q的图像上一群孤立的点。3. 等比中项如果三个数x, G, y 组成等比数列，则G 叫做 x 和 y 的等比中项，如果G 是 x 和 y 的等比中项，那么GyxG，即2Gxy故Gxy；因此0xy，且 x 和 y 的等比中项是两个。4. 等比数列的前n 项和111(1)(1)11(1)nnnaa q

16、aqSqqqnaq当等比数列的公比是字母参数时，一定要分类讨论求和。5. 性质：等比数列na的首项为1a，公比为q（1）当1q，10a或01q，10a时，数列为递增数列；当1q，10a或01q，10a时，数列为递减数列；当1q时，数列为非零常数列；当0q时，数列为摆动数列。（2）11nnaqam nmnaqa（*,m nN，且mn）（3）若*(, ,)mnpq m n p qN，则mnpqaaaa特别地，当2mnp时，2mnpaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载（4）序号成等差数列的项组成新数

17、列仍成等比数列；（5）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方；即12132.nnna aaaaa；21na aa中。（6）若,nnab为等比数列，公比分别为Q(0)qqQ与则|na也成等比数列，公比为|q；则2na也成等比数列，公比为2q；则nnab也成等比数列，公比为qQ；则nnab也成等比数列，公比为qQ；特别地，1na也成等比数列，公比为1q；nka(0)k也成等比数列，公比为q。若等比数列na中*0,nanN；则logana成等比数列，反之也对，即若logana成等差数列，则na成等比数列，且0na。（7）设nS是等

18、比数列na的前 n 项和，则nS，2nnSS，32nnSS满足关系式2232()()nnnnnSSSSS；但不能说nS，2nnSS，32nnSS成等比数列。 如当( 1)nna时，100S，20100SS，30200SS不成等比数列。若数列na的项数为2n，则SqS偶奇；（8）等比数列na的前 n 项积112111(1)1 2 .1*211.().()()nnnn nnnnVa aaa a qa qa qa qnN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载数列练习（一）1. 已知数列na中，11a，*13

19、4(2)nnaanNn且，则数列na通项公式na为（）A. 13nB. 138nC. 32nD. 3n2. 已知等差数列na的前 n 项和为nS，若4518aa，则8S=（）A. 18 B.36 C.54 D.72 3. 已知公差不为0 的等差数列na满足134,a aa成等比数列，nS为na的前 n 项和，则3253SSSS的值为（）A. 2 B. 3 C. 15D. 4 4. 数列na是公差不为0的等差数列， 且137,a a a为等差数列nb的连续三项， 则数列nb的公比为（）A. 2B. 4 C. 2 D. 1 5. 已知数列na的通项公式为2245nann，则na的最大项是（）A.1

20、aB. 2aC. 3aD.4a6. 等比数列na中，372,8aa，则5a=（）A. 4B. 4 C. 6 D. -4 7. 已知等差数列na的公差为 -2，且245,aa a成等比数列，则2a等于（）A. -4 B.-6 C.-8 D.8 8. 已知数列na的前 n 项和12nnSn，则3a=（）A. 120B. 124C. 128D.1329. 已知等差数列na的前 n 项和为nS，且2510,55SS，则过点( ,)nP n a和*2(2,)()nQ nanN的直线的斜率是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a

21、a a， 则1 11 21 3aaa（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页学习必备欢迎下载A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 11. 已知等差数列na的前 n 项和为nS，若1200OBa OAaOC，且 A、B、C 三点共项（该直线不过原点O） ，则200S=（）A. 100 B. 101 C. 200 D. 201 12. 已知等差数列na的前 n 项和为nS，且13140,0SS，若10tta a，则 t=_. 13. 已知na为等差数列，且3636aa，47=18aa。（1）若12na，求

22、 n； （2）设数列na的前 n 项和为nS，求8S。14. 已知数列na的公比为(1)d d的等比数列，且132,a aa成等差数列。（I）求 d 的值；（II）设数列nb是以 2 为首项， d 为公差的等差数列，其前n 项和为nS，试比较nS与nb的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页学习必备欢迎下载15. 已知数列na是公比大于1 的等比数列，nS为数列na的前 n 项和，37S，且1233,3,4aaa成等差数列。（1）求数列na的通项；（2）令nnbna，求数列nb的前 n 项和nT。16.设数列n

23、a的前 n 项和为nS，*11,=2(1),()nnSaannNn. （ 1）求数列na的通项公式na; （ 2）是否存在正整数n 使得212.(1)2015?12nsssnn若存在， 求出 n 值；若不存在，说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页学习必备欢迎下载数列练习（二）1. 在等差数列na中，35102=4aaa，则此数列的前13 项的和等于（）A. 13 B. 26 C. 8 D. 16 2. 在等比数列中na，已知13118a a a，那么28a a（）A. 3 B. 4 C. 12 D. 16

24、 3. 若一个等差数列na的前 n 项和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A. 13 项B. 12 项C. 11 项D.10 项4. 已知等差数列na的前 n 项和为nS，且3711315aaa，则13S=（）A. 104 B. 78 C. 52 D. 39 5. 如果数列na()naR对任意*,m nN满足m nmnaaa， 且38a， 那么10a等于 （）A. 256 B. 510 C. 512 D. 1024 6. 已知数列na满足133a，12nnaan，则nan的最小值为（）A. 10 B.10.5 C. 9 D. 8 7. 等差数列na满足

25、：296aaa，则9S=（）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 8. 在数列na中，*111,()nnaaan nN，则100a的值是（）A. 55050 B. 5051 C. 4950 D. 4951 9. 在等差数列na中，1815+3120aaa，则642aa的值为（）A. 24 B. 22 C.20 D. -8 10. 若na为等差数列，且25839aaa，则129.aaa的值为（）A. 117 B. 114 C. 111 D. 108 11. 已知 a, b, c, d 成等比数列，且曲线223yxx的顶点是( , )b c，则ad等于（）A. 3 B. 2 C. 1 D.-2

26、 12. 数列na满足112(0)2121(1)2nnnnnaaaaa。若167a，则8a=（）A. 67B. 57C. 37D. 1713. 已知等比数列na各项均为正数，前n 项和为nS，若21 52,16.aa a则5S=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页学习必备欢迎下载14. 已知na是公差不为零的等差数列，11a，且139,a a a成等比数列。（1）求数列na的通项；（2）记2nanbn，求数列nb的前 n 项和为nS。15. 已知数列na满足10a，且*112(1),()2nnSSn nnN（

27、1）求23,aa，并证明：*12,()nnaannN；（2）设*1()nnnbaanN，求证：121nnbb；（3）求数列na*()nN的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习必备欢迎下载16. 在数列na中，113a,并且对任意*,2nNn都有11nnnna aaa成立，令*1()nnbnNa（I）求数列nb的通项公式；（II）求数列nan的前n项和nT。17. 已知数列na，nb中，na为公比0q的等比数列，且48120,340,1SSb，*1()nnbqTnN，其中,nnS T分别为数列na，nb

28、的前n项和。（I）求数列na的通项公式；（II）求数列nb的通项公式；（III）求数列nnb的前n项和nH。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习必备欢迎下载数列中的数学思想一、函数与方程思想例 1. 已知函数2( )(1) ,( )4(1)f xxg xx，数列na满足12a，1()()()0nnnnaag af a。（1）用na表示1na；（2）求证：1na是等比数列。例 2. 等差数列na中，125a，179SS，问数列前多少项之和最大，并求此最大值。变式：已知na是一个等差数列，且21a，55a。（1）求

29、na的通项na；（2）求na的前n项和nS的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载二、等价转化思想例 3 已知na是一个公差大于0 的等差数列，且满足3655a a，2716aa。（1）求数列na的通项公式；（2）若数列na和数列nb满足等式：*3124234()22222nnnbbbbbanN求数列nb的前n项和nS。三、分类讨论思想例 4. 数列na中，148,2aa，且满足*2120()nnnaaanN。（1）求数列的通项公式；（2）122nnnaaa。例 5. 设等差数列na的前n项和为nS，且2*1()2nnaSnN，又( 1)nnnbS；求数列nb的前n项和nT。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载易错探究已知等差数列na的首项11a，公差0d，且第二项，第五项，第十四项分别为等比数列nb的第二项，第三项，第四项。（1）求数列na与nb的通项公式；（2）设数列nc对任意正整数n都有12112nnncccabbb成立， 求122009ccc的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页