《2022年高一级求数列通项的八种方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高一级求数列通项的八种方法（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载高一级求数列通项的八种方法（* 为难度系数）一、 公式法 * 1. 已知数列na满足) 1(1,211naaann，求数列na的通项公式；2. 已知数列na满足211,211nnaaa，求数列na的通项公式；3. 已知数列na满足)1(3,211naaann，求数列na的通项公式；4. 已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn） ，求数列na的通项公式；二、两式相减法* 若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解。此种类型，往往先求n=1 的情况，得到基本的分数。并且利用公式211nSSnSannnn求解
2、时，要注意对n 分类讨论，观察1a是否满足通项na，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并例：已知数列na的前 n 项和322nsn，求数列na的通项公式1、 （ 珠 海 市20XX届 高 三 上 学 期 期 末 ） 已 知 正 项 数 列na的 前n项 和 为nS， 且(2)4nnnaaS*()nN. （ 1）求1a的值及数列na的通项公式；2nan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载2、 （江门市20XX 届高三上学期期末）设数列na的前n项和为nS，11a，且对任意正整数n，点),(1nnS
3、a在直线022yx上求数列na的通项公式；解：因为点),(1nnSa在直线022yx上，所以0221nnSa 1 分，当1n时，0221nnSa 2 分，两式相减得02211nnnnSSaa，即0221nnnaaa，nnaa211 3 分又当1n时，022221212aaSa，122121aa 4 分所以na是首项11a，公比21q的等比数列5 分，na的通项公式为1)21(nna 6 分三 .累 加 法 * ： 适 合)(1nfaann型 的 递 推 数 列 。 若1( )nnaaf n(2)n， 则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n将式子列出后，两边分别相加得111(
4、)nnkaaf n基础题：1、已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。2、已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。3、设数列na满足21a，12123nnnaa，求数列na的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载中档题：1(2008 江西文、理 )在数列na中，1112,ln 1nnaaan，则na（A ）A2ln nB21 lnnnC2lnnnD1lnnn四.累乘法 * ：适合1( )nnaf n a型的递推数列。若1( )nnaf na，则3
5、1212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka基础题：1、在数列na中，1111,(2)21nnnaaann，求数列na的通项公式。na1(1)n n2、 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。3、已知数列na满足321a，nnanna11，求na。4、已知31a，nnanna23131)1(n，求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载五、待定系数法适用于1( )nnaqaf n型的递推数列解题基本步骤：1
6、、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n，公比为3、列出关系式)()1(2211nfanfann4、比较系数求1，25、解得数列1( )naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项，以下再进行分类。类型一：常数型* 。可转化为特殊数列an+k 的形式求解。一般地，形如a1n=p an+q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a1n+k=p （ an+k）与原式比较系数可得pkk=q，即 k=1pq，从而构造出等比数列an+k。不用硬记公式，学会对应系数就行。1.数列 an 满足 a1=1，0731nnaa,求数列 a
7、n 的通项公式。解：由0731nnaa得37311nnaa设 a)(311kaknn，比较系数得373kk解得47k47na是以31为公比，以43471471a为首项的等比数列1)31(4347nna1)31(4347nna2.（ 2006，重庆 ,文 ,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ 3.（2006. 福建 .理 ）已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载类型二、指数型* nnnqpa
8、a1对于这种类型，方法往往是两边同时除以该指数幂，至 于 除 以 多 少 ， 则 是 根 据 下 标 同 步 的 原 则 来 决 定 。 （ 其 中p ， q 均 为 常 数 ，)0)1)(1(qppq） 。（或1nnnaparq,其中 p，q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除 以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再待 定系数法 解决。1已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na解： 将123nnnaa两边同除n3，得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3，则132
9、1nnbb令)(321tbtbnntbbnn313213t 条件可化成)3(3231nnbb， 数列3nb是以3833311ab为首项，32为公比的等比数列1)32(383nnb因nnnab3, )3)32(38(331nnnnnba2123nnna点评： 递推式为11nnnqpaa（p、q 为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann 1（p、q 为常数）型1 、 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。2、设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n求首项1a与通项na；精选学习资料 - - - -
10、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载类型三、一次函数、二次函数或者混合型* banpaann 1)001(，a、p解法：这种类 型一般利用待 定系数法构造 等比数列，即令)()1(1yxnapynxann， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出yx, 从 而 转 化 为yxnan是公比为p的等比数列。而对于更普遍的1( )nnaqaf n型的递推数列，都可以 设等比数列1( )naf n，列出关系式)()1(2211nfanfann比较系数求1，2，解得数列1( )naf n的通项公式，再解得数列na的通项公式例:设数列
11、na：)2(, 123,411nnaaann，求na. 1、已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax2. 已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy3、已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载4、已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny
12、 nzaxnynz六、连续迭代型*形如nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s， t 满足qstpts例、数列na满足23,5,21221nnaaaana=0，求数列 an的通项公式。分析：递推式02312nnnaaa中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1na的系数分解成 1 和 2，适当组合，可发现一个等比数列1nnaa。解：由02312nnnaaa得0)(2112nnnnaaaa即）nnnnaaaa112(2，且32512aa1nnaa是以 2 为公比， 3 为首项的等比数列1123nnnaa利用累加法可得
13、112111)()()(aaaaaaaannnnn=2232323021nn=2)1222(321nn=221213n=123n1231nna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载1、已知数列na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列na的通项公式。2、 （ 2006.福建 .文.22） 已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II ）求数列na的通项公式；七、幂迭代型*形如rnnpaa1)0,0(nap型的递推形式解法 ：
14、这种类型一般是等式两边取对数 后转化为qpaann 1，再利用 待定系数法 求解。1、 （东莞市20XX 届高三上学期期末）设数列nanb的各项都是正数，nS为数列na的前 n 项和，且对任意nN。都有22nnnaSa,1be,21nnbb，lnnnncab(e 是自然对数的底数，e=2.71828）(1)求数列na、nb的通项公式；解： （1）因为0na，nnnaSa22，当1n时，11212aSa，解得11a； 1 分当2n时，有11212nnnaSa，由 - 得，111212)()(2nnnnnnnnaaaaSSaa（2n）.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
15、 - - - - - - -第 8 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载而0na， 所以11nnaa（2n） ， 即数列na是等差数列， 且nan. 又因为21nnbb，且0nb，取自然对数得nnbbln2ln1，由此可知数列lnnb是以1lnln1eb为首项，以2 为公比的等比数列，所以11122lnlnnnnbb，所以12nebn.1、已知数列na中，2111, 1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na2、 （2006,山东 ,理,22）已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上， 其中 =1，2，3，。证明数列 lg(1+ an)是等比数列； （提示
16、：注意代入后，右边进行配方。）八、压轴难点之分式型递推公式类型一： * )()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数 后换元 转化为qpaann 1型求解。1：已知1,13111aaaannn，求通项。231nan2、 （ 2006，江西理） 已知数列 an满足： a132，且 ann1n13nan2nN2an1（，） 求数列 an的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载解：将条件变为：1nnan11n113a（ ），因此 1nna为一个等比数列，其首项为111
17、a13，公比13，从而 1nnan13，据此得annnn331（n 1）3.（2011 广东理） 设0,b数列na满足111= ,(2)22nnnnbaab anan,1111111211,22111112,2.222212112(),2211122,22(2)nnnnnnnnnnnnnnnbannaanababnnnnnbaaaaaannbabbabnababbbbna解:(1)方法一 : 由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而当时,则数列是以为首项为公比的等比数列112212(2)()() ,2(2)222,(2).(2)(0,2)2nnnnnnnnnnnbbabbbbbbbban
18、bbbbb综上2、练习1、已知数列 na满足2, 11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。2、已知数列满足1a=1，11nnnnaaa a，求na（答：21nan）两边同时除以式子右边的1nna a，得到等差数列）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载类型二： *hraqpaannn 1（可以用不动点法求通项）1、不动点的定义：一般的，设( )f x的定义域为D, 若存在0xD，使fxx()00成立，则称x0为f x( )的不动点，或称00(,)xx为fx( )图像的不动点。2、不动点求通
19、项解法：如果数列na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn 1（其中 p、q、r、h 均为常数，且rharqrph1, 0,） ，那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时 ,则01nax是等差数列 ;当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nnaxax是等比数列。例 1 已知数列na满足34,111nnnaaaa,求na通项公式 . 解 法 1 特征方程34xxx，得221xx.23421nnnaaa=32nnaa.两边取倒数 ,有121211nnaa.故1121211naan=32n323n. 解得2367nnan. 例 2（2012 高考全
20、国卷）已知数列nx满足234,211nnnxxxx，求nx通项公式 . 解法 1 特征方程为234ttt,解得13tt或,所以2331nnnxxx, 2)1(511nnnxxx,两式相除有13511311nnnnxxxx.而3112321311xx,所以有1513113nnnxx,解得15315911nnnx练习1、已知数列na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且, 31a求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载2、已知数列na满足：对于,Nn都有.325131nnna
21、aa类型三： * 设2( )(0)2axbf xaaxd，且xx12、是fx( )的不动点， 数列an满足递推关系af ann()1，2,3,n，则有2111122()nnnnaxaxaxax；若11120axax，则12lnnnaxax是公比为2的等比数列。证 ： xx12、是fx( )的 不 动 点 ， 211dxbax，222dxbax。21112122(2)(2)nnnnnnaxa aba ad xaxa aba ad x2211222222nnnna aba axaxba aba axaxb22211122222(2)()(2)nnnnnna aaxxaxa aaxxax，又1112
22、0axax，则120nnaxax，111122ln2lnnnnnaxaxaxax，故12lnnnaxax是公比为2的等比数列。例4 （2010 东城区二模试题）已知数列 nx满足14x，21324nnnxxx求证：3nx；求证：1nnxx；求数列nx的通项公式证： 、证略；依题21324nnnxxx，记23( )24xf xx，令( )f xx，求出不动点121,3xx；由定理3知：2213(1)112424nnnnnxxxxx，2213(3)332424nnnnnxxxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载所以2111133nnnnxxxx，又111413343xx，所以133111log2log33nnnnxxxx又1311log13xx，令31log3nnnxax，则数列na是首项为 1，公比为2的等比数列所以12nna由31log3nnnxax，得133nannxx所以11121231313131nnnnanax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
