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1、优秀学习资料欢迎下载高一级求数列通项的八种方法(* 为难度系数)一、 公式法 * 1. 已知数列na满足) 1(1,211naaann,求数列na的通项公式;2. 已知数列na满足211,211nnaaa,求数列na的通项公式;3. 已知数列na满足)1(3,211naaann,求数列na的通项公式;4. 已知数列na满足2122142nnnaaaaa且,(Nn) ,求数列na的通项公式;二、两式相减法* 若已知数列的前n项和nS与na的关系,求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解。此种类型,往往先求n=1 的情况,得到基本的分数。并且利用公式211nSSnSannnn求解
2、时,要注意对n 分类讨论,观察1a是否满足通项na,不满足就分开写,但若能合写时一定要合并例:已知数列na的前 n 项和322nsn,求数列na的通项公式1、 ( 珠 海 市20XX届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 正 项 数 列na的 前n项 和 为nS, 且(2)4nnnaaS*()nN. ( 1)求1a的值及数列na的通项公式;2nan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载2、 (江门市20XX 届高三上学期期末)设数列na的前n项和为nS,11a,且对任意正整数n,点),(1nnS
3、a在直线022yx上求数列na的通项公式;解:因为点),(1nnSa在直线022yx上,所以0221nnSa 1 分,当1n时,0221nnSa 2 分,两式相减得02211nnnnSSaa,即0221nnnaaa,nnaa211 3 分又当1n时,022221212aaSa,122121aa 4 分所以na是首项11a,公比21q的等比数列5 分,na的通项公式为1)21(nna 6 分三 .累 加 法 * : 适 合)(1nfaann型 的 递 推 数 列 。 若1( )nnaaf n(2)n, 则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n将式子列出后,两边分别相加得111(
4、)nnkaaf n基础题:1、已知数列na满足11211nnaana,求数列na的通项公式。2、已知数列na满足112313nnnaaa,求数列na的通项公式。3、设数列na满足21a,12123nnnaa,求数列na的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载中档题:1(2008 江西文、理 )在数列na中,1112,ln 1nnaaan,则na(A )A2ln nB21 lnnnC2lnnnD1lnnn四.累乘法 * :适合1( )nnaf n a型的递推数列。若1( )nnaf na,则3
5、1212(1)(2)( )nnaaafff naaa,两边分别相乘得,1111( )nnkaaf ka基础题:1、在数列na中,1111,(2)21nnnaaann,求数列na的通项公式。na1(1)n n2、 已知数列na满足112(1)53nnnanaa,求数列na的通项公式。3、已知数列na满足321a,nnanna11,求na。4、已知31a,nnanna23131)1(n,求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载五、待定系数法适用于1( )nnaqaf n型的递推数列解题基本步骤:1
6、、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n,公比为3、列出关系式)()1(2211nfanfann4、比较系数求1,25、解得数列1( )naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式为了方便同学们更好地掌握待定系数法求通项,以下再进行分类。类型一:常数型* 。可转化为特殊数列an+k 的形式求解。一般地,形如a1n=p an+q(p1,pq0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法:设a1n+k=p ( an+k)与原式比较系数可得pkk=q,即 k=1pq,从而构造出等比数列an+k。不用硬记公式,学会对应系数就行。1.数列 an 满足 a1=1,0731nnaa,求数列 a
7、n 的通项公式。解:由0731nnaa得37311nnaa设 a)(311kaknn,比较系数得373kk解得47k47na是以31为公比,以43471471a为首项的等比数列1)31(4347nna1)31(4347nna2.( 2006,重庆 ,文 ,14)在数列na中,若111,23(1)nnaaan,则该数列的通项na_ 3.(2006. 福建 .理 )已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载类型二、指数型* nnnqpa
8、a1对于这种类型,方法往往是两边同时除以该指数幂,至 于 除 以 多 少 , 则 是 根 据 下 标 同 步 的 原 则 来 决 定 。 ( 其 中p , q 均 为 常 数 ,)0)1)(1(qppq) 。(或1nnnaparq,其中 p,q, r 均为常数)。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除 以1nq,得:qqaqpqannnn111引入辅助数列nb(其中nnnqab) ,得:qbqpbnn11再待 定系数法 解决。1已知数列na满足11a,123nnnaa)2(n,求na解: 将123nnnaa两边同除n3,得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3,则132
9、1nnbb令)(321tbtbnntbbnn313213t 条件可化成)3(3231nnbb, 数列3nb是以3833311ab为首项,32为公比的等比数列1)32(383nnb因nnnab3, )3)32(38(331nnnnnba2123nnna点评: 递推式为11nnnqpaa(p、q 为常数)时,可同除1nq,得111nnnnqaqpqa,令nnnqab从而化归为qpaann 1(p、q 为常数)型1 、 已知数列na中,651a,11)21(31nnnaa,求na。2、设数列na的前n项的和14122333nnnSa,1,2,3,n求首项1a与通项na;精选学习资料 - - - -
10、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载类型三、一次函数、二次函数或者混合型* banpaann 1)001(,a、p解法:这种类 型一般利用待 定系数法构造 等比数列,即令)()1(1yxnapynxann, 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出yx, 从 而 转 化 为yxnan是公比为p的等比数列。而对于更普遍的1( )nnaqaf n型的递推数列,都可以 设等比数列1( )naf n,列出关系式)()1(2211nfanfann比较系数求1,2,解得数列1( )naf n的通项公式,再解得数列na的通项公式例:设数列
11、na:)2(, 123,411nnaaann,求na. 1、已知数列na满足1123 56nnnaaa,求数列na的通项公式。解:设1152(5 )nnnnaxax2. 已知数列na满足1135241nnnaaa,求数列na的通项公式。解:设1123(2)nnnnaxyaxy3、已知数列na满足11124 31nnnaaa,求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载4、已知数列na满足21123451nnaanna,求数列na的通项公式。解:设221(1)(1)2()nnax ny
12、 nzaxnynz六、连续迭代型*形如nnnqapaa12(其中 p,q 均为常数)。先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s, t 满足qstpts例、数列na满足23,5,21221nnaaaana=0,求数列 an的通项公式。分析:递推式02312nnnaaa中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项1na的系数分解成 1 和 2,适当组合,可发现一个等比数列1nnaa。解:由02312nnnaaa得0)(2112nnnnaaaa即)nnnnaaaa112(2,且32512aa1nnaa是以 2 为公比, 3 为首项的等比数列1123nnnaa利用累加法可得
13、112111)()()(aaaaaaaannnnn=2232323021nn=2)1222(321nn=221213n=123n1231nna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载1、已知数列na满足211256,1,2nnnaaaaa,求数列na的通项公式。2、 ( 2006.福建 .文.22) 已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN(I)证明:数列1nnaa是等比数列;(II )求数列na的通项公式;七、幂迭代型*形如rnnpaa1)0,0(nap型的递推形式解法 :
14、这种类型一般是等式两边取对数 后转化为qpaann 1,再利用 待定系数法 求解。1、 (东莞市20XX 届高三上学期期末)设数列nanb的各项都是正数,nS为数列na的前 n 项和,且对任意nN。都有22nnnaSa,1be,21nnbb,lnnnncab(e 是自然对数的底数,e=2.71828)(1)求数列na、nb的通项公式;解: (1)因为0na,nnnaSa22,当1n时,11212aSa,解得11a; 1 分当2n时,有11212nnnaSa,由 - 得,111212)()(2nnnnnnnnaaaaSSaa(2n).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
15、 - - - - - - -第 8 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载而0na, 所以11nnaa(2n) , 即数列na是等差数列, 且nan. 又因为21nnbb,且0nb,取自然对数得nnbbln2ln1,由此可知数列lnnb是以1lnln1eb为首项,以2 为公比的等比数列,所以11122lnlnnnnbb,所以12nebn.1、已知数列na中,2111, 1nnaaaa)0(a,求数列.的通项公式na2、 (2006,山东 ,理,22)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上, 其中 =1,2,3,。证明数列 lg(1+ an)是等比数列; (提示
16、:注意代入后,右边进行配方。)八、压轴难点之分式型递推公式类型一: * )()()(1nhanganfannn解法:这种类型一般是等式两边取倒数 后换元 转化为qpaann 1型求解。1:已知1,13111aaaannn,求通项。231nan2、 ( 2006,江西理) 已知数列 an满足: a132,且 ann1n13nan2nN2an1(,) 求数列 an的通项公式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载解:将条件变为:1nnan11n113a( ),因此 1nna为一个等比数列,其首项为111
17、a13,公比13,从而 1nnan13,据此得annnn331(n 1)3.(2011 广东理) 设0,b数列na满足111= ,(2)22nnnnbaab anan,1111111211,22111112,2.222212112(),2211122,22(2)nnnnnnnnnnnnnnnbannaanababnnnnnbaaaaaannbabbabnababbbbna解:(1)方法一 : 由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而当时,则数列是以为首项为公比的等比数列112212(2)()() ,2(2)222,(2).(2)(0,2)2nnnnnnnnnnnbbabbbbbbbban
18、bbbbb综上2、练习1、已知数列 na满足2, 11na时,nnnnaaaa112,求通项公式。2、已知数列满足1a=1,11nnnnaaa a,求na(答:21nan)两边同时除以式子右边的1nna a,得到等差数列)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载类型二: *hraqpaannn 1(可以用不动点法求通项)1、不动点的定义:一般的,设( )f x的定义域为D, 若存在0xD,使fxx()00成立,则称x0为f x( )的不动点,或称00(,)xx为fx( )图像的不动点。2、不动点求通
19、项解法:如果数列na满足下列条件:已知1a的值且对于Nn,都有hraqpaannn 1(其中 p、q、r、h 均为常数,且rharqrph1, 0,) ,那么,可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时 ,则01nax是等差数列 ;当特征方程有两个相异的根1x、2x时,则12nnaxax是等比数列。例 1 已知数列na满足34,111nnnaaaa,求na通项公式 . 解 法 1 特征方程34xxx,得221xx.23421nnnaaa=32nnaa.两边取倒数 ,有121211nnaa.故1121211naan=32n323n. 解得2367nnan. 例 2(2012 高考全
20、国卷)已知数列nx满足234,211nnnxxxx,求nx通项公式 . 解法 1 特征方程为234ttt,解得13tt或,所以2331nnnxxx, 2)1(511nnnxxx,两式相除有13511311nnnnxxxx.而3112321311xx,所以有1513113nnnxx,解得15315911nnnx练习1、已知数列na满足性质:对于,324,N1nnnaaan且, 31a求na的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载2、已知数列na满足:对于,Nn都有.325131nnna
21、aa类型三: * 设2( )(0)2axbf xaaxd,且xx12、是fx( )的不动点, 数列an满足递推关系af ann()1,2,3,n,则有2111122()nnnnaxaxaxax;若11120axax,则12lnnnaxax是公比为2的等比数列。证 : xx12、是fx( )的 不 动 点 , 211dxbax,222dxbax。21112122(2)(2)nnnnnnaxa aba ad xaxa aba ad x2211222222nnnna aba axaxba aba axaxb22211122222(2)()(2)nnnnnna aaxxaxa aaxxax,又1112
22、0axax,则120nnaxax,111122ln2lnnnnnaxaxaxax,故12lnnnaxax是公比为2的等比数列。例4 (2010 东城区二模试题)已知数列 nx满足14x,21324nnnxxx求证:3nx;求证:1nnxx;求数列nx的通项公式证: 、证略;依题21324nnnxxx,记23( )24xf xx,令( )f xx,求出不动点121,3xx;由定理3知:2213(1)112424nnnnnxxxxx,2213(3)332424nnnnnxxxxx,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载所以2111133nnnnxxxx,又111413343xx,所以133111log2log33nnnnxxxx又1311log13xx,令31log3nnnxax,则数列na是首项为 1,公比为2的等比数列所以12nna由31log3nnnxax,得133nannxx所以11121231313131nnnnanax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页