学习必备欢迎下载基本不等式与对勾函数一、知识梳理1、基本不等式的基本形式：（ 1）,Ra b，则222abab≥，当且仅当时取等号 2）,Ra b，则2abab≥，当且仅当时取等号2、公式变形：（ 1）222abab≤；（2）22abab ≤；3、求最值：当为定值时，ab，22ab有最小值；当ab+或为定值时，有最大值（） 4、运用基本不等式时注意深刻理解“一正”、 “二定”、 “三相等” 的意义5、对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质性质：（1）定义域：),0()0 ,(（2）值域：),2()2,(abab（3）奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf（4）图像在一、三象限当0x时，由基本不等式知byaxxab2（当且仅当bxa取等号），即)(xf在 x=ab时，取最小值ab2由奇函数性质知：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页 学习必备欢迎下载当 x<0 时，)(xf在 x=ab时，取最大值ab2（5）单调性：增区间为（,ab） ， （ab,）减区间是（ 0，ab） ， （ab,0 ）二、典型例题例 1、下列说法结论正确的是（）A．1yxx的最小值是2 B．2232xyx的最小值是2 C．4sin,(0,π )sinyxxx的最小值是4 D．2251xyx的最小值是5 变式 1、下列结论正确的是（）A．当且时，2≥B．时，12xx≥C．当2x≥时，的最小值为2 D．02x≤时，无最大值例 2、 （1）设0a，0b，若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（）A． 8 B．4 C．1 D．（ 2）已知0,0 ba，且32ba，则512ab+的最小值为（ 3）若03x<<，则113xx+-的最小值为（ 4）若21x，则xx2111的最小值为（ 5）已知20x，则)2(xx的最大值为0x1x1lglgxx0x1xx1xx14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页 学习必备欢迎下载（ 6）已知203x<<，则2 (23 )xx-的最大值为（ 7）已知0,ba，1222ba，则21ba的最大值为变式 2、 （1）已知0,0 yx，且12yx，求yx11的最小值。
2）已知0,0 ba，且23ab+=，则142ab+的最小值为（3）若320x，则xx3213的最小值为（4）若13x<<，则1113xx+--的最小值为（5）已知04x<<，则(4)x x--的最大值为（6）已知203x<<，则2 (23 )xx--的最小值为（7）已知0,ba，2221ab+=，则21ba的最大值为例 3、已知正数x、y 满足8123xy，则2xy的最小值为变式 3、已知正数x、y 满足8112xy，则2xy的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页 学习必备欢迎下载例 4、 （1）若,Rx y，且， 则的最大值为（2）已知Ryx,，且2yx，则yx22的最小值为（ 3）已知Ryx,，且22xy+=，则24xy+的最小值为变式 4、 （1）设是满足的正数，则的最大值为（2）已知Ryx,，且32xy+=，则327xy+的最小值为例 5、若正数,a b满足3abab1）求ab的取值范围2）求+a b的取值范围变式 5、若正数,a b满足45abab1）求ab的取值范围2）求+a b的取值范围。
14yxyxyx,42yxyxlglg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页 学习必备欢迎下载例 6、 （1）若313loglog2mn-=，则nm的最小值为（2）若)1 ,0(, yx，且91xy，则1133loglogyx×的最大值为变式 6、 （1）若1313loglog2mn+=，则nm的最小值为（2）若)1 ,0(, yx，且91xy，则133loglogxy-?的最大值为例 7、 （1）已知0x>，则1xx+的最小值为（2）已知0x1，则1xx+的取值范围为（3）已知1x1，则11xx的取值范围为（4）已知1x1，则141xx+-的取值范围为变式 7、 （1）已知0x>，则14xx+的最小值为（2）已知0x 1，则128xx+的取值范围为（3）已知12x 1，则1321xx+-的取值范围为（4）已知1x 1，则1641xx+-3（）的取值范围为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页 学习必备欢迎下载例 8、 （1）已知2x3，则1xx+的最小值为（2）已知122x＃，则1xx+的取值范围为（3）函数919)(22xxxf的最小值为变式 8、 （1）已知1x3，则12xx--的最大值为（2）已知12x＃，则14xx+的取值范围为（3）已知124x＃，则14xx+的取值范围为（4）函数224( )99f xxx=+++的最小值为（5）函数111)(xxxf的最小值为例 9、 （1）已知正数yx,满足4yx，则使不等式mxyyx4恒成立，求m的取值范围。
2）已知不等式（xy）1axy（）≥9 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为变式 9、 （1）已知正数yx,满足4yx，则使不等式4mxyxy+?（）恒成立，求m的取值范围2）已知不等式（xy）1axy（）≥4 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页 学习必备欢迎下载例 10、 （ 1）函数9)(2xxxf的最大值为（2）函数xxxxf1)(2的值域为（3）函数xxxxf23)(的值域为（4）已知1x，求函数1107)(2xxxxf的最小值（5） 求函数21)(2xxxxf在区间), 1 (上的最大值； 若区间改为),4[则)(xf的最大值为变式 10、 （1）函数2( )69xf xxx=＃+（2）的最大值为（2）函数21( )2xxfxxx++=?（）的值域为（3）函数3( )212xfxxx+=+-+的值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页 学习必备欢迎下载（4）已知1x，求函数299( )1xxf xx+-=-的最大值（ 5）已知1x，求函数21( )710xf xxx+=++的最大值三、课后巩固1、下列各函数中，最小值为2 的是（）A．1yxxB．1sinsinyxx，π0,2xC．2232xyxD．21yxx2、若 x<0，则 2 + 3x + 4x的最大值是（）A．2+43 B．2±4 3 C．2－43 D．以上都不对3、下列命题中正确的是（）A、的最小值是 2 B、的最小值是 2 C、的最大值是D、的最小值是4、求函数15)(xxxf的值域5、求函数32)(xxxf的值域6、求函数45)(22xxxf的最小1yxx2232xyx423(0)yxxx24 3423(0)yxxx24 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页 学习必备欢迎下载7、 求函数171)(22xxxf的值域8、若1x时，不等式11xax≥恒成立，求实数a的取值范围9、某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为64003m，深度为 4m，如果池底每12m的造价为160 元，池壁每12m的造价为100 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？10、正数,a b满足6abab。
1）求ab的取值范围2）求+a b的取值范围11、 （1）已知0,0 ba，且24ab+=，则512ab+的最小值为（ 2）已知205x<<，则2 (25 )xx-的最大值为（ 3）已知0,ba，1222ba，则214ab+的最大值为（ 4）已知正数x、y 满足8125xy，则2xy的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页 学习必备欢迎下载（ 5）已知Ryx,，且42xy+=，则216xy+的最小值为12、 （1）若313loglog2mn-=，则nm的最小值为（2）若) 1 ,0(,yx，且91xy，则1122loglogyx×的最大值为13、 （1）已知0x>，则9xx+的最小值为（2）已知0x1，则9xx+的取值范围为（3）已知1x1，则91xx+-的取值范围为（4）已知1x1，则941xx+-的取值范围为（5）已知152x＃，则16xx+的取值范围为（6）函数221( )1616f xxx=+++的最小值为（7）已知4x3，则12xx--的最大值为14、已知正数yx,满足4yx，则使不等式9xymxy+?恒成立，求m的取值范围。
15、 （1）函数2( )16xf xx=+的最大值为（2）函数24( )xxf xx++=的值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页 学习必备欢迎下载（ 3）已知2x> -，求函数2810( )2xxfxx++=+的最小值（ 4） 求函数21()5xfxxx-=++在区间), 1(上的最大值； 若区间改为),4[则)(xf的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页 。