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1、1 随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步(1)排列组合公式)!(!nmmPnm从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!( !nmnmCnm从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2) 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成, 第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。(3) 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m n 种方法来完成。(4) 一些常见排列 特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分
2、辨 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件 顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算(1)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(2)事件的关系与运算关系:如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分, (A发生必有事件B发生) :BA如果同时有BA,AB,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与 B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者BA,它表示A发
3、生而B不发生的事件。A、B同时发生:AB,或者AB。AB=?,则表示A 与 B 不可能同时发生,称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率: A(BC)=(AB)C A (BC)=(AB)C 分配率: (AB) C=(AC)(BC) (A B)C=(AC)(BC) 德摩根率:11iiiiAABABA,BABA3、概率的定义和性质(1)概率的公理化定义设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A) ,若满足下列三个条件:精选学习资料 - - - - - - - -
4、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页2 1 0P(A) 1,2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有11)(iiiiAPAP常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件A的概率。(2)古典概型(等可能概型)1n21,,2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A,它是由m21,组成的,则有P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A4、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯)(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时, P(A+B)=P(A)+P(B
5、) (2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时, P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时, P(B)=1- P(B) (3)条件概率和乘法公式定义 设 A、B 是两个事件,且P(A)0 ,则称)()(APABP为事件 A 发生条件下,事件B发生的条件概率,记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式:)/()()(ABPAPABP更一般地,对事件A1,A2, An,若 P(A1A2An-1)0 ,则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP2
6、1|(AAAPn)1nA。(4)全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容,),2, 1(0)(niBPi,2niiBA1,则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即为全概率公式。(5)贝叶斯公式设事件1B,2B,nB及A满足11B,2B,nB两两互不相容,)(BiP0,i1,2,n,2niiBA1,0)(AP,则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(,i=1 ,2, n。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页3 此公式
7、即为贝叶斯公式。)(iBP, (1i,2,n) ,通常叫先验概率。)/(ABPi, (1i,2,n) ,通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果” ,而1B,2B,nB理解为“原因” ,则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。5、事件的独立性和伯努利试验(1)两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP,则称事件A、B是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立, 则可得到A与B、A与B、A与B
8、也都相互独立。(证明)由定义,我们可知必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。 (证明)同时,? 与任何事件都互斥。(2)多个事件的独立性设 ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,P(AB)=P(A)P(B) ;P(BC)=P(B)P(C) ;P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立?(3)伯努利试验定义我们作了n次试验,且满足每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其
9、他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率, 则A发生的概率为qp1, 用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率,knkknnqpkPC)(,nk,2, 1 ,0。随机变量及其分布第一节基本概念在许多试验中,观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数,它本身就是一个数值,因此P(A) 这个函数可以看作是普通函数(定义域和值域都是数字,数字到数字)。但是观察硬币出现正面还是反面,就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时,规定其对应数为“1”;而出现反面时,规
10、定其对应数为“0”。于是)(XX,当反面出现,当正面出现01称X为随机变量。 又由于X是随着试验结果 (基本事件) 不同而变化的, 所以X实际上是基本事件的函数, 即 X=X()。同时事件 A包含了一定量的 (例如古典概型中 A 包含了1,2,m,共 m个基本事件),于是 P(A)可以由 P(X( ) 来计算,这是一个普通函数。定义设试验的样本空间为, 如果对中每个事件都有唯一的实数值X=X()与之对应,则称X=X() 为随机变量,简记为X。有了随机变量, 就可以通过它来描述随机试验中的各种事件,能全面反映试验的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
11、 - -第 3 页,共 20 页4 情况。这就使得我们对随机现象的研究,从前一章事件与事件的概率的研究,扩大到对随机变量的研究,这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个(如掷骰子出现的点数)或可列无穷多个(如电话交换台接到的呼唤次数),则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量,它的取值连续地充满了一个区间,这称为连续型随机变量。1、随机变量的分布函数(1)离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,) 且取各个值的概率,即事件(X=Xk) 的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2, ,则称上式为离散型随机变量X的概
12、率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件:(1)0kp,,2, 1k,(2)11kkp。(2)分布函数对于非离散型随机变量,通常有0)(xXP,不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X,0)(0xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。定义设X为随机变量,x是任意实数,则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X 落入区间,(ba的概率。也就是说,分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数,它表示随机变量落入区间(, x 内
13、的概率。)(xF的图形是阶梯图形,,21xx是第一类间断点, 随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质:1, 1)(0xFx;2)(xF是单调不减的函数,即21xx时,有)(1xF)(2xF;30)(lim)(xFFx,1)(lim)(xFFx;4)()0(xFxF,即)(xF是右连续的;5)0()()(xFxFxXP。(3)连续型随机变量的密度函数定义 设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函数)(xf,对任意实数x,有xdxxfxF)()(,则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率精选学习资料 - - - - - - -
14、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页5 密度。)(xf的图形是一条曲线,称为密度(分布)曲线。由上式可知,连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以,)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP密度函数具有下面4 个性质:10)(xf。21)(dxxf。1)()(dxxfF的几何意义;在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于 1。如果一个函数)(xf满足 1 、2 ,则它一定是某个随机变量的密度函数。3)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf。4 若)(xf在x处连续,则有)()(xfxF。dxx
15、fdxxXxP)()(它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。)(),(,独立性古典概型,五大公式,APAE)()()()(xXPxFxXX对于连续型随机变量X,虽然有0)(xXP,但事件)(xX并非是不可能事件 ? 。hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h,则右端为零,而概率0)(xXP,故得0)(xXP。不可能事件( ? )的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件()的概率为1,而概率为1 的事件也不一定是必然事件。2、常见分布01 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在n重贝努里试验中,设事
16、件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n,2, 1 ,0。knkknnqpkPkXPC)()(,其中nkppq,2, 1 ,0, 10,1,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为),(pnBX。nknkknnnnnpqpqpnpqqkXPXCC,|)(2221容易验证,满足离散型分布率的条件。当1n时,kkqpkXP1)(,1. 0k,这就是( 0-1 )分布,所以( 0-1 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页6 分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为ekkX
17、Pk!)(,0,2 ,1 , 0k,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(X或者 P() 。泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n) 。如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等,均近似地服从泊松分布。超几何分布),min(,2, 1 ,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM?随机变量 X服从参数为n,N,M 的超几何分布。几何分布,3 ,2 ,1,)(1kpqkXPk,其中 p0,q=1-p。随机变量 X服从参数为p 的几何分布。均匀分布设随机变量X的值只落在 a ,b 内,其密度函数)(xf在a
18、,b 上为常数 k,即,0,)(kxf其他,其中 k=ab1,则称随机变量X在a ,b 上服从均匀分布,记为XU(a,b)。分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时, X落在区间(21,xx)内的概率为P(21211)()21xxxxabdxxfxXxabxxdx12。指数分布设随机变量X的密度函数为其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住几个积分:, 10dxxex,202dxexx)!1(01ndxexxn01)(dxexx,)()1(0,xb。a xb)(xf,xe0x, 0, 0x, )(xF,1xe0x, ,0x0。精选学习资料 - - - - -
19、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页7 正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(xexf,x,其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯( Gauss)分布,记为),(2NX。)(xf具有如下性质:1 )(xf的图形是关于x对称的;2 当x时,21)(f为最大值;3 )(xf以ox轴为渐近线。特别当固定、改变时,)(xf的图形形状不变,只是集体沿ox轴平行移动,所以又称为位置参数。当固定、改变时,)(xf的图形形状要发生变化,随变大,)(xf图形的形状变得平坦,所以又称为形状参数。若),(2NX,则X的分布函数为dtexFx
20、t222)(21)(。 。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布,记为)1 ,0( NX,其密度函数记为2221)(xex,x,分布函数为dtexxt2221)(。)(x是不可求积函数, 其函数值, 已编制成表可供查用。(x) 和 (x) 的性质如下:1 (x) 是偶函数, (x) (-x) ;2 当 x=0 时,(x) 21为最大值;3 ( -x) 1- (x) 且 (0)21。如果X),(2N,则X) 1 ,0(N。所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(x的计算,而)(x的值是可以通过查表得到的。1221)(xxxXxP。分位数的定义。3、随机变量函数的分布随机变量Y是随机变量X的
21、函数)(XgY,若X的分布函数)(xFX或密度函数)(xfX知道,则如何求出)(XgY的分布函数)( yFY或密度函数)(yfY。(1)X是离散型随机变量已知X的分布列为,)(2121nnipppxxxxXPX,显然,)(XgY的取值只可能是),(,),(),(21nxgxgxg,若)(ixg互不相等,则Y的分布列如下:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页8 ,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY,若有某些)(ixg相等,则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。(2)X是连续型随机变量先
22、利用 X 的概率密度 fX(x) 写出 Y 的分布函数 FY(y) , 再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y) 。二维随机变量及其分布第一节基本概念1、二维随机变量的基本概念(1)二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y )时,则称为离散型随机量。理解: (X=x,Y=y)( X=xY=y)设= ( X, Y) 的 所 有 可 能 取 值 为),2, 1,)(,(jiyxji, 且 事 件=),(jiyx 的概率为pij, 称),2 ,1,(),(),(jipyxYXPijji为=(X,Y)的分布律或称为X 和 Y 的联合
23、分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示: Y Xy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pipjp1p2pj1 这里pij具有下面两个性质:(1)pij0(i,j=1,2,) ;(2). 1ijijp对于随机向量( X,Y) ,称其分量X(或 Y)的分布为( X,Y)的关于 X(或 Y)的边缘分布。上表中的最后一列(或行)给出了X为离散型,并且其联合分布律为),2, 1,(),(),(jipyxYXPijji,则 X 的边缘分布为), 2, 1,()(?jipxXPPijjii;Y的边缘分布为),2 ,1,()(?jipyYPPijiii。(2)二
24、维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量),(YX,如果存在非负函数),)(,(yxyxf,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即 D=(X,Y)|axb,cyx1时,有 F(x2,y ) F(x1,y);当 y2y1时,有 F(x,y2) F(x,y1); (3)F(x,y )分别对 x 和 y 是右连续的,即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF(4).1),(,0),(),(),(FxFyFF2、随机变量的独立性(1)一般型随机变量F(X,Y)=FX(x)FY(y) (2)离散型随机变量jiijppp?例 35:二维随机向量 (X,Y)共有六个取
25、正概率的点,它们是: (1,-1) , (2,-1 ) ,(2,0) ,2,2) , (3,1) , (3,2) ,并且( X,Y)取得它们的概率相同,则(X,Y)的联合分布及边缘分布为D3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页11 Y X -1 0 1 2 p11 610 0 0 612 61610 61213 0 0 616131pj316161311 (3)连续型随机变量f(x,y)=fX(x)fY(y) 联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件:可分离变量正概率密度区间为矩形例
26、36:如图 3.1 ,f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3,不独立。例 37:f(x,y)=其他,010 ,20 ,2yxAxy(4)二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf=0 (5)随机变量函数的独立性若 X 与 Y 独立, h,g 为连续函数,则:h(X)和 g(Y)独立。例如:若 X与 Y独立,则: 3X+1和 5Y-2 独立。3、简单函数的分布两个随机变量的和Z=X+Y 离散型:连续型fZ(z) dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布(222121,) 。2、随机变量的独立性例 317:设(
27、 X,Y)的联合分布密度为.,0, 10),(),(其他xyyxCyxf(1)求 C;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页12 (2)求 X,Y 的边缘分布;(3)讨论 X 与 Y 的独立性;(4)计算 P(X+Y 1) 。3、简单函数的分布随机变量的数字特征第一节基本概念1、一维随机变量的数字特征(1)一维随机变量及其函数的期望设 X 是离散型随机变量,其分布律为P(kxX)pk,k=1,2,n,nkkkpxXE1)(期望就是平均值。数学期望的性质(1)E(C)=C (2)E(CX)=CE(X) (3)E(X+Y
28、)=E(X)+E(Y),niniiiiiXECXCE11)()((4)E(XY)=E(X) E(Y) ,充分条件: X 和 Y 独立;充要条件: X 和 Y 不相关。(5)Y=g(X) 离散:nikkpxgYE1)()(连续:dxxxfXE)()(dxxfxgYE)()()((2)方差D(X)=EX-E(X)2,方差)()(XDX,标准差离散型随机变量kkkpXExXD2)()(连续型随机变量dxxfXExXD)()()(2方差的性质(1)D(C)=0 ;E(C)=C (2)D(aX)=a2D(X) ;E(aX)=aE(X) (3)D(aX+b)= a2D(X) ;E(aX+b)=aE(X)+
29、b (4)D(X)=E(X2)-E2(X) (5)D(X+Y)=D(X)+D(Y),充分条件: X 和 Y 独立;充要条件: X 和 Y 不相关。D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。类似的, n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布),(2N。iiiC,iiiC222(3)常见分布的数学期望和方差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页13 分布名称符号均值方差0-1 分布), 1(pBp )1(pp二项分布),(pnBn
30、p )1(pnp泊松分布)(P几何分布)( pGp121pp超几何分布),(NMnHNnM11NnNNMNnM均匀分布),(baU2ba12)(2ab指数分布)(e121正态分布),(2N201 分布X 0 1 q p E(X)=p,D(X)=pq 二项分布 X B(n,p) ,knkknnqpCkP)(, (k=0,1,2 n)E(X)=np ,D(X)=npq 泊松分布 P( ) P(X=k)=! kexk,k=0,1,2 E(X)= , D(X)= 超几何分布nNknMNkMCCCkXP)(E(X)=NnM几何分布1)(kpqkXP,k=0,1,2 E(X)=p1, D(X)=2pq均匀
31、分布 X Ua,b ,f(x)=ab1,a, b E(X)=2ba, D(X)=12)(2ab指数分布 f(x)= xe,(x0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页14 E(X)=1, D(X)=21正态分布 X N(, 2),222)(21)(xexfE(X)=, D(X)= 2 2、二维随机变量的数字特征(1)协方差和相关系数对于随机变量X与 Y,称它们的二阶混合中心矩11为 X 与 Y 的协方差或相关矩,记为),cov(YXXY或,即).()(11YEYXEXEXY与记号XY相对应, X 与 Y 的方差 D
32、(X)与 D(Y)也可分别记为XX与YY。协方差有下面几个性质:(i)cov (X, Y)=cov (Y , X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y). 对于随机变量X与 Y,如果 D(X)0, D(Y)0 ,则称)()(YDXDXY为 X与 Y 的相关系数,记作XY(有时可简记为) 。| 1,当 |=1 时,称 X与 Y安全相关:完全相关时,负相关,当时,正相关,当11而当0时,称 X 与 Y 不相关。与相关系数有关的几个重要结论(
33、i )若随机变量X与 Y相互独立,则0XY;反之不真。(ii )若( X,Y) N(,222121) ,则 X与 Y相互独立的充要条件是0,即 X和 Y不相关。(iii)以下五个命题是等价的:0XY;cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). (2)二维随机变量函数的期望为连续型。,为离散型;,),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页15 (3)
34、原点矩和中心矩对于正整数k,称随机变量X的 k 次幂的数学期望为X的 k 阶原点矩,记为vk, 即uk=E(Xk), k=1,2, . 于是,我们有.,)(续型时为连当为离散型时,当XdxxpxXpxukiikik对于正整数k,称随机变量X与 E(X)差的 k 次幂的数学期望为X 的 k 阶中心矩,记为k,即.,2, 1,)(kXEXEkk于是,我们有.,)()()(续型时为连当为离散型时,当XdxxpXExXpXExukiikik对于随机变量X 与 Y,如果有)(lkYXE存在,则称之为X 与 Y的k+l阶混合原点矩,记为klu,即).()(YEYXEXEukkl大数定律和中心极限定理第一节
35、基本概念1、切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望E (X)=,方差 D(X )=2,则对于任意正数,有下列切比雪夫不等式22)( XP切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率)( XP的一种估计,它在理论上有重要意义。2、大数定律(1)切比雪夫大数定律(要求方差有界)设随机变量X1,X2,相互独立,均具有有限方差,且被同一常数C 所界: D(Xi)C(i=1,2,), 则对于任意的正数,有. 1)(11lim11niiniinXEnXnP特殊情形:若X1,X2,具有相同的数学期望E(XI)=,则上式成为.11lim1niinXnP或者简写成:.1limXPn切比雪夫大数定律指出,
36、n 个相互独立, 且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量,当n 很大时,它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页16 (2)伯努利大数定律设是 n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件 A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数,有.1limpnPn伯努利大数定律说明,当试验次数n 很大时,事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即.0limpnPn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。(3)辛钦大数定律(不要求存在方差)设 X1,X2, Xn,是相互独立同分布
37、的随机变量序列,且E(Xn)=,则对于任意的正数有. 11lim1niinXnP3、中心极限定理(1)列维林德伯格定理设随机变量X1, X2,相互独立, 服从同一分布, 且具有相同的数学期望和方差:),2, 1(0)(,)(2kXDXEkk,则随机变量nnXYnkkn1的分布函数Fn(x) 对任意的实数x,有xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212或者简写成:) 1 , 0(/NnXn此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。(2)棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量X1, Xn均为具有参数n, p(0p2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
38、- - - - - -第 18 页,共 20 页19 (3)F 分布设)(),(2212nYnX,且 X 与 Y 独立,可以证明:21/nYnXF的概率密度函数为.0,0,0,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量F 服从第一个自由度为n1, 第二个自由度为n2的 F分布, 记为 Ff(n1, n2). 正态分布1,)()(1ntnt,),(1),(12211nnFnnF4、正态总体下统计量的分布和性质注意一个定理:X与2S独立。(1)正态分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数).1 ,0(/Nnxudef(2
39、)t-分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数),1(/ntnSxtdef其中 t(n-1)表示自由度为n-1 的 t 分布。(3)2分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数),1()1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1 的2分布。(4)F 分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本,则样本函数),1, 1(/2122222121nnFSSFdef其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共
40、20 页20 ,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1, 1(21nnF表示第一自由度为11n,第二自由度为12n的 F 分布。第七章参数估计第一节基本概念1、点估计的两种方法(1)矩法所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩,来建立估计量应满足的方程,从而求得未知参数估计量的方法。设总体X 的分布中包含有未知数m,21,则其分布函数可以表成).,;(21mxF显示它的k 阶原点矩),2, 1)(mkXEvkk中也包 含 了 未 知 参 数m,21, 即),(21mkkvv。 又 设nxxx,21为总体 X 的 n 个样本值,其样本的k 阶原点矩为nikikxnv11).,2, 1(mk这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由 上 面 的m 个 方 程 中 , 解 出 的m 个 未 知 参 数),(21m即 为 参 数(m,21)的矩估计量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页