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1、学习必备欢迎下载高三解析几何专题复习瑞安中学吴直爽平面解析几何的基本思想是用坐标方法研究几何图形性质。通过合理地建立坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，达到了形和数的结合；同时平面向量具有代数与几何形式的双重身份，它融数、形于一体，已成为中学数学知识的一个重要交汇点，平面向量与解几交汇自然贴身，一脉相承，是新课程高考命题的必然趋势。一、 明确考试要求，把握试题特点。1、高考要求（略）2、试题特点：综观近几年的新课程卷，试卷中解几分值占20%，选择题、填空题23 题，主要考查圆锥曲线的标准方程及简单几何性质等三基内容，解答题则综合考查学生的“四大能力”，题型围绕解几的两大基本问题求轨迹方程
2、和研究曲线性质进行命制，或两者综合考查只是常把求轨迹隐藏于性质研究中，如全国97 年、 20XX 年、 20XX 年等。近几年还融入向量刻画的背景，其实质是对直线与圆锥曲线的性质作进一步的深入探究，是代数、向量、三角、几何知识的综合应用。试题对解几内容的考查主要体现了函数与方程，等价转化、数形结合等重要数学思想。分析试题总特点“重基础、重素养、重能力”。二、复习的想法1、从思想方法高度重新认识基本概念、公式。数学概念是数学知识的主体，是揭示数学规律的基本单元，在解几教学与复习中，必须透彻理解概念，把握概念、公式所反映的数学本质，这是掌握基本知识、技能、思想方法的前提。例如解几中两点间距离、点线
3、距离、三点共钱、四点共圆、直线平行、垂直、直线的斜率、直线的夹角、线段的比、图形的轴对称性，中心对称性等等问题都会是解几中要研究的对象，对此我们首先必须深刻体会教材中是如何用代数形式来实现这些重要几何概念、几何位置关系的。在今后综合问题中遇见这些几何表述时是否能熟练转化为代数形式来处理。再如解几中还常会遇见两点A、B 关于直线L 对称和直线与圆锥曲线位置的判定等几何问题。这些几何问题放在坐标系中是如何通过曲线与方程概念得到转化的。用解几的基本思想高度认识问题，可以大大提高分析转化问题的能力。如：判别式位置直线（几何）转化直线方程消 y px2+qx+r=0 （q0） 求根公式交点圆锥曲线曲线方
4、程韦达定理弦长、弦中点等点 A、 B 关于直线 L 对称（几何）转化（代数）AB 中点坐标满足直线L 的方程KABKL=-1 另外坐标系中的几何对象、点的坐标、线段的长、直线的斜率、三点共线、直线的平行与垂直、直线的夹角、线段的比等，转化为向量形式又各是如何刻划，也需熟悉并进行一一总结。因向量方法可以其独特的解题方式给解题提供一种新的思维视角，使相应的数学工具和教学语言更加丰富、应用形式更加灵活、多样,与解几融合将能考查学生多方面的能力与水平。2、重视曲线与方程的复习围绕解几两大基本问题，通过一些典型问题的剖析、逐渐形成一些方法系统，同时，能熟悉这些方法的应用情境，使学生对常见的基础问题始终“
5、有规可循、有法可依”这是学生突破解几问题的关键， 不管问题背景如何综合新颖、设问如何巧妙， 用解几基本思想方法，进行联想总是，可以实现有效转化的。（一）求曲线的方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载分为两类问题：一类是知曲线的形状求标准方程，通常用待定系数法，体现方程思想，此法学生较为熟悉， 另一类是不知曲线形状位置求动点的轨迹方程，常见的求法有： 直译法、 定义法、几何法、转移法、点差法（05 年上海春）、交轨法（ 03 年） 、参数法（ 99 年） 、对称曲线求法等。我想第二轮复习可重点放在定义
6、法、点差法、参数法的强化训练上。如有些轨迹题借条件可用定义判断形状，但学生总是掌握不好，特别是双曲线定义（比如一模解几题）。而对参数法求轨迹方程更是难点，这里是否选择参数法去解、选择什么参数，如何消参及变量范围等等都需要较强分析问题能力，建议举些可多角度选择不同参数形式的典型问题去熟悉参数，总结常见的参数选择：如选择点参数（普通点、参数点），直线的斜率k，截距 b，倾斜角、直线参数方程中t，角（旋转角） ，线段的比入等等参数来沟通动点p（x、y）的坐标。以下我总结的这些问题及解法，学生应该有一定熟悉程度。老师可以总结归纳得更多。1、已知 A：(x-2)2+y2=1 B：(x-2)2+y2=4，
7、分别求满足下列条件的点P（x、y）的轨迹方程。 APB 周长为 10， PAB 中 SinA-SinB=12sinP P 与 OA 相外切且过定点B （2，0） P 与 A 外切且与直线L：x=L 相切 P与 A、 B 都相切2、已知 A(1,0) B(1,0) ，分别求动点P满足下列条件的轨迹方程并指出轨迹形状：KPAkPB=m |PA|PB|=m（m0） PBA=2 PAB APB=45 |PA|2 |PB|2=m |PA| |PB|=2m |PA|-1|=|PB|-3| PAB 中 PA 边上的中线长为m。3、在圆 O：x2+y2=r2中过轴上点M 作 MN/X轴，交圆O 于 N， O
8、与 X 轴正半轴交于A 点，求线段 AM 与 ON 交点 P的轨迹方程解一：考虑到点P 位置随着点M 在轴上位置的变化而变化，故可选点 M 的纵坐标t 为参数，动点 P（x,y）解二： N 点在圆x2+y2=r2上可设圆心角AON= 为参数则N（rcos,rsin）解三：可设直线ON 的斜率 k 为参数解四：注意到点P 位置随平行线MN 的变化，即随|NP|PO|=|MP|PB|= 的变而变，可选为参数，设P（ x，y） ， N（x0， y0）（二）研究曲线性质的常见问题和方法根据曲线的方程研究曲线的性质是解几的另一个基本问题，也是各类考题中的热点问题之一。研究曲线性质问题常见有：直线与圆锥曲
9、线的位置关系，有关点的范围、线段长（弦长、点线距等）、直线的斜率K、倾斜角、截距，角、线段的比，图形面积及与圆锥曲线有关的重要基本量 e、a、 b、c 等对象的范围，最大小值，定值等。求解的策略：（1）定义法与几何法（2）函数、方程、不等式法。前者常运用曲线的定义和几何性质，再进行代数运算，而且对题目条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑用图形性质、定义等来简捷求解，例如椭圆、双曲线、抛物线的定义有着明显的几何意义，它们与“线段的长”（焦半径、长轴、焦距等）及“线段的比值”（定点、定直线、比值）等有着十分紧密的关系，应善于运用定义法或几何方法求解，它侧重从形的角度去研究曲线性质。第二轮仍要
10、总结归纳熟悉一些常见问题求解。后者常直接转化为代数形式，并尽量运用减少计算量的运算技巧（如韦达定理、点差法等）来求解，此法从“数”的角度去研究曲线的性质，这恰恰是解几的最基本的，也是最重要的思想方法。例 1：关于一些常见最值问题求解及策略1、已知两点A（-2，2） ，B（-3，-1） ，试在直线L:2x-y-1=0 上分别求出符合下列条件的点P：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载使 |PA|+|PB|为最小使 |PA|-|PB|为最大使 |PA|2+|PB|2为最小使 APB 为最大2、已知实数x,y
11、 满足 x2+(y-1)2=1,分别求最大、小值：求（x+2）2+(y+1)2x+y |2x-y-3| y+1x+2使 x+y+m 0 恒成立的m 范围3、求圆锥曲线上的动点与（i）某定点距离的最值（90 年解几题）（ i i）定直线距离的最值（97 年） （i i i ）某定圆上点的距离的最值4、已知定点A（x0,y0） ，椭圆x2a2+y2b2=1, F 为椭圆的一个焦点，试在椭圆上找一点P 使 |PA|+|PF|e最小值使 |PA|+|PF|值最大、最小。类比双曲线，抛物线能否构造类似命题？5、圆锥曲线中定长弦中点到准线距离最小值问题。6、在圆锥曲线的内部求出一个半径最大的圆，使与曲线相
12、切其中一个顶点。7、与圆锥曲线性质有关的量最值问题，角的最值，围成多边形面积最值等。例 2、解几中重要参变量取值范围问题的求解方法。此类题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来诸多困难，第二轮复习有必要通过典型问题总结和归纳如何寻找和挖掘不等量关系的一些方法，突破这一难点：下面是一个老题，此题解法角度较多有一定代表性，同时也可展开研究性复习。例1、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的两焦点为F1，F2，如果曲线C 上存在点P，使120PFPF，求椭圆离心率e 的变化范围解一：根据圆锥曲线的变化范围，建立含参数不等式：令 Q(x0,y0)( y0 0)可得
13、x0=2c2-a2e2| x0|a 02e2-a2e2a 求得22 e1 解二：选参数点利用弦函数有界性建立不等式，设由垂直关系建立e 与 sin2关系得sin2=1e2-1 01e2-11 解三：利用圆锥曲线的定义与几何性质|PF1|=r1，|PF2|= r2r12+r22=4c2r1+ r2=2a r1，r2是方程 t2-2at+ a2- c2=0 两实根r1+ r2=2a r1 r2=2(a2- c2) =4 a2-8(a2- c2)0 求得或：用基本不等式r12+r222（r1+r22）2构造不等关系。解三：利用曲线交点特征（方程组解有实数解）建立不等关系由x2+y2=4c2有实数解得
14、(b2-a2)x2=a2b2-a2c2 (ab) 有实数解b2x2+a2y2=a2b2 a2b2-a2c2 0 求得解四：几何法可知 F1PF2为最大角 且须有 F1PF2=22240 e=ca=sin2sin4=222e1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载圆锥曲线离心率e=ca是一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状和类型的变化，同时因它是圆锥曲线统一定义中的三要素（定点、定直线、定比）之一，因此圆锥曲线的某些性质及其变化可通过e的变化来遥控，从而使其成为以圆锥曲线为载体，集函数、方程、不等式于
15、一体的问题。从此题的多向思考解答可以体会寻找不等关系的常见方法，在此还可以总结如下：（1） 、运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系（如 05 全国 21 题）（2）根据圆锥曲线的交点特征即方程有实数解建立不等式（如02 全国 21 题及上例）。 （从直线与圆锥曲线位置出发，利用一元二次方程实根存在条件如04 全国 23 题） 。（3）根据圆锥曲线的变化范围，建立不等关系（如上例）（4）借助定义和几何直观挖掘不等关系。（上例）再附几题，供复习参考1 以A为圆心，以)24(cos2为半径的圆外有一点B，已知sin2| AB。设过点B且与圆A外切于点T的圆的圆心为M。（）当取某个
16、值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；（）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把| MN的最小值记为)(f（不要求证明），求)(f的取值范围；（）若将题设条件中的的取值范围改为40，点B的位置改为圆内，其它条件不变，点M的轨迹记为P。试提出一个和原问题具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）。（ （I）轨迹P是以BA,为焦点，cos2为实轴长的双曲线的右支。（II）1)(0f(III) （1）当取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；（2）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把| MN的最小值记为)(f（不要求证明） ，求)(f的取值范围。 ）本题全面考查了解析几何的基本思想，综合了三
17、角函数知识，还有探究能力。2 如图，线段AB过x轴正半轴上一点)0)(0,(mmM，端点BA,到x轴的距离之积为m3，以x轴为对称轴，过BOA,作抛物线。（ I）求抛物线方程； （II）若直线AB的斜率为21，求当30m时，AOBtan的取值范围。（(I)xy32(II)2arctan2AOB）O A B xyM 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载3椭圆)0(1:22221babyaxC的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，M 为椭圆 C1上任意一点，且|21MFMF的最小值为243a。（ I）求
18、椭圆C1的离心率；（II ）设双曲线C2以椭圆 C1的焦点为顶点，顶点为焦点；在第一象限内任取双曲线C2上一点P，试问是否存在常数)0(，使得APFPAF11恒成立？证明你的结论。(I)21e(II) 假设存在适合题意的常数)0(，先来考查特殊情形下的值：此时=2 以下证明当PA 与 x 轴不垂直时，PAF1=2PF1A 恒成立 .) 3、加强向量与解几的综合运用平面向量的概念、性质以及运算都有着明显的几何变化，因此向量与几何图形（特别是点、直线斜率、线段长、线段比等），以及图形间的位置关系（如点共线、两线平行、垂直、夹角等）的联系是十分紧密的。而平面向量的坐标表示又架起了其与解几何之间的桥梁
19、，使得这两分支之间建立了联系。从“运算”的意义上理解向量的加、减、数乘、数量积等运算，通过运算的几何意义可将其换成平面图形间的“变换”，通过坐标运算又可转换为“实数”意义下的运算，这种“运算” 间的相互转换构成平面向量、平面几何、 解析几何的相互转化，渗透着“数形结合” ， “转化”等重要的数学思想方法。平面向量与平面解析几何知识融合在一起的考查，成为了对平面解析几何考查的热点，这在全国新课程试卷中体现是充分的，04 全国、 03 年、 02 年新课程卷都融入向量，甚至也可以把向量作为解几问题的有力武器。估计我省对两者的综合性也可能会加强，其考查的重点着重在如何将平面向量条件等价转化成平面解几
20、的相关条件，然后用解几方法去解，或直接借向量运算去求解。解题的关键在于如何运用向量及运算的几何意义，坐标运算等基础知识实现转化。第二轮复习要选择适当两者综合的问题加以训练，着重总结实现转化的途径和方法，这里不再举例。4、关注研究性学习，培养探索精神和创新实践能力高考还将增加综合性、探索性、开放性等“能力型”试题，加大对探究精神和创造能力的考查，其本质是突出对探究精神，创造能力与综合素质的考查，同时研究性课程作为新课程和必修课，已成为高考一项内容，今后将会有所体现。鉴于此解几第二轮复习可选取高考的热点或典型问题进行研究性学习，变革教学复习方式，引导学生主动参与到数学过程中，鼓励学生自主学习，合作
21、探究，自主建构并在此过程中获取对知识和情感的亲身体验。培养创新意识和实践能力。先举个课本高二（上）P114 习题：离心率e= 2 ,经过点M（-5，3） ，求适合条件的双曲线方程。1、设问：改（ i）e= 3 (ii) 5 (iii)e= 52，经过的点不变，标准方程情形如何？（i）一种情形、焦点x 轴上，（ii ）两情形、焦点x、y 轴上都可解；（iii ）双曲线不存在。（）当离心率为何范围时，经过点M（-5，3）的双曲线的标准方程可能不存在，一种情形，两种情形？2、设问：（i）若 e = 3 M (-5 ，4) 则双曲线有两情形(ii) 若 e = 52M (1 ，3) 则双曲线有两情形(
22、iii) 离心率 e相对不变，经过什么区域内的点时双曲线的标准方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载为一种、两种，也有可能没有？再如已知抛物线y2=2px(p 0)，过 O 点作两互相垂直的直线OA 、OB 交抛物线于A、B，求证：直线AB 恒过一定点。1、研究不同的解法；体现多向思维在分析解题中的作用，沟通知识间的关系。2、探究变题逆命题是否正确？正确给予证明，不正确，说理由，直线AB 恒过点（ 2P ，0）是 OA OB 成立的充要条件吗？对定理中的OA OB，变为KOA KOB= m（m0）又如
23、何？充要条件还为直线恒过定点（-2pm，0）过原点的两弦变为抛物线y2=2px(p0)上任意一点（x0, y0）又如何？a、PAPB，充要条件为直线AB 过定点 P（ x0+2P、 - y0）b、KOAKOB= m（m0）P（ x0-2pm、- y0）对抛物线成立的命题类似地对于其他圆锥曲线是否仍能成立？过椭圆x2a2+y2b2=1 上任意点P（x0, y0）作互相垂直两弦PAPB，则直线 AB 恒过定点（a2-b2a2+b2x0 ，b2-a2a2+b2y0）双曲线x2a2-y2b2=1（a2+b2a2-b2x0 ，a2+b2a2-b2y0）这种对作问题的形式结构和数量关系进行研究，利用变式探
24、索、挖掘、概括、引申获得问题的一般性结果，使得特殊问题一般化，零数知识规律化。3、研究问题的辐射及应用价值对上研究成果进一步探索其在其他情境中的应用价值，还可以更深刻认识其他问题。原命题中（ 1）求弦 AB 中点轨迹方程（2）若 AOB 的平分线交AB 于 P，求点 P的轨迹方程，对这些问题总结各种解题方法和探究方法都有一定代表性。若从抛物线的切线有关性质上进行发散是否能发现些新的结论：如已知抛物线x2=2py 的焦点为 F，准线为L，过 L 上一点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为A、 B，若提出如下三个猜想： （1）直线PA、 PB 恒垂直；（ 2）直线 AB 恒过定点；（3）等式2FA FBFP中的 恒为常数，现请你一一进行论证。此例可知研究性复习课的知识容量大，思维新，具有一定创新意识，可以避免传统复习中那种单调重复的低效益。同时也给我们获得了探究数学问题的一些方法如“逆命题” 探究和“类比”探究。学会提出问题比学会解决问题更重要。若师生经常一起来挖掘课本资源，多从数学问题的背景入手，多角度去探究，去思考，提出更多更深刻的问题，可以激发探究的热情，开发学生的巨大潜能，从而培养创新意识和实践能力，使师生共享探究性学习数学的情感体验。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
