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1、微分中值定理的证明题1.若( )f x在 , a b上连续,在( , )a b上可导,( )( )0f af b,证明:R,( , )a b使得:( )( )0ff。证:构造函数( )( )xF xfx e,则( )F x在 , a b上连续,在( , )a b内可导,且( )( )0F aF b,由罗尔中值定理知:, )a b(,使( )0F即:( )( )0ffe,而0e,故( )( )0ff。2.设,0a b,证明:( , )a b,使得(1)()baaebeeab。证:将上等式变形得:1111111111(1)()baeeebaba作辅助函数1( )xf xxe,则( )f x在1 1
2、,b a上连续,在1 1(,)b a内可导,由拉格朗日定理得:11( )()1()11ffbafba11 1(,)b a,即11111(1)11baeebaeba11 1(,)b a,即:ae(1)( , )bebeea b( , )a b。3.设( )f x在(0,1)内有二阶导数,且(1)0f,有2( )( )F xx f x证明:在(0,1)内至少存在一点,使得:( )0F。证:显然( )F x在0,1上连续,在(0,1)内可导,又(0)(1)0FF,故由罗尔定理知:0(0,1)x,使得0()0Fx又2( )2( )( )Fxxfxx fx,故(0)0F, 于是( )Fx在00x,上满足
3、罗尔定理条件,故存在0(0,)x, 使得:( )0F,而0(0,)x(0,1),即证4.设函数)(xf在0,1 上连续,在 (0,1) 上可导,0)0(f,1) 1(f. 证明:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页(1) 在(0,1) 内存在,使得1)(f (2) 在(0,1) 内存在两个不同的点,1)()(/ff使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论.【证明】 (I)令xxfxF1)()(, 则 F(x)在0, 1上连续,
4、且 F(0)=-10,于是由介值定理知,存在存在),1 ,0(使得0)(F,即1)(f.(II) 在,0和 1 ,上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理, 知存在两个不同的点)1 ,(),0(,使得0)0()()(fff,1)()1()(fff于是.1111)(1)()()(ffff5.设)(xf在0 ,2a 上连续,)2()0(aff,证明在 0,a 上存在使得)()(faf. 【分析】)(xf在0,2a上连续,条件中没有涉及导数或微分,用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到0)()(0)()()()(xfxaffaffaf【证明】令)()()(xfxafxG,,0ax)(xG在
5、0,a上连续,且)()0()()2()(affafafaG)0()()0(fafG当)0()(faf时,取0,即有)()(faf;当)0()(faf时,0)()0(aGG,由根的存在性定理知存在),0(a使得,0)(G,即)()(faf6.若)(xf在 1 ,0上可导,且当 1 ,0x时有1)(0xf,且1)(xf,证明:在)1 ,0(内有且仅有一个点使得)(f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页证明: 存在性构造辅助函数xxfxF)()(则)(xF在 1 ,0上连续,且有00)0()0(fF,01)1()1 (fF,
6、由零点定理可知:)(xF在)1 ,0(内至少存在一点,使得0)(F,即:)(f唯一性: (反证法)假设有两个点)1 , 0(,21,且21,使得0)()(21FF)(xF在 1 ,0上连续且可导,且,211 ,0)(xF在,21上满足 Rolle 定理条件必存在一点),(21,使得:01)()(fF即:1)(f,这与已知中1)(xf矛盾假设不成立,即:xxfxF)()(在)1 ,0(内仅有一个根,综上所述:在)1 ,0(内有且仅有一个点,使得)(f7.设)(xf在0 ,1 上连续,在 (0 ,1)内可导,且)0(f=)1 (f=0,)21(f=1。试证至少存在一个(0,1) ,使( )fx=1
7、。分析:)( f=1)( xf=1)(xf=xxxf)(=0 令 F (x)= xxf)(证明:令 F(x)= xxf)(F(x) 在0 ,1 上连续,在 (0,1) 内可导,F(1)= )0) 1(011)1 (ffF (21)= )1)21(02121)21(ff由介值定理可知,一个(21,1),使F ()=0 又 F (0)=)0(f0=0 对F(x)在0 ,1 上用 Rolle 定理,一个(0,)(0,1)使)( F=0 即)( f=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页8.设)(xf在 1 ,0上连续,在)
8、 1 ,0(内可导,且)1()0(ff试证存在和. 满足10,使0)()(ff。证 由拉格朗日中值定理知,)(021)0()21(fff)21,0() 1 ,21()(211)21() 1(fff021)21() 1(21)0()21()()(ffffff9.设( )f x在 , a b上连续 ,( , )a b内可导(0),ab( )( ),f af b证明 :,( , )a b使得( )( ).2abff(1)证: (用()ba乘于 (1)式两端 ,知)(1)式等价于22( )( )()().12ffbaba(2)为证此式 ,只要取( )( ),F xf x取( )G xx和2x在 , a
9、 b上分别应用Cauchy 中值定理 ,则知22( )( )( )( )()(),12fff bf ababag其中,( , )a b.10.已知函数)(xf在0 ,1上连续,在 (0 , 1) 内可导,ba0, 证明存在),(,ba,使)()()(3/22/2fbabaf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页解:利用柯西中值定理332/)()(3)(abafbff而)()()(/abfafbf则22/33/332/)()()()(3)(babafababfabafbff(后面略)11.设)(xf在ax时连续,0)(af
10、, 当ax时,0)(/kxf, 则在)(,(kafaa内0)(xf有唯一的实根解:因为0)(/kxf,则)(xf在)(,(kafaa上单调增加0)(1)()()()()(/kfafkaffafkafaf(中值定理)而0)(af故在)(,(kafaa内0)(xf有唯一的实根12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin0( )00ttf ttt在0,x上应用拉格朗日中值定理得:21sin0( )(0)111sin( )2 sincos00xf xfxxfxxx(0)x即:111cos2 sinsinxx(0)x因0x, 故当0x时,0, 由01lim 2 sin001limsin0xxx得:
11、0limx1cos0,即01lim cos0解:我们已经知道,01lim cos0不存在,故以上推理过程错误。首先应注意:上面应用拉格朗日中值的是个中值点,是由f和区间0,x的端点而定的,具体地说,与x有关系,是依赖于x的,当0x时,不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页一定连续地趋于零, 它可以跳跃地取某些值趋于零, 从而使01lim cos0x成立,而01lim cos0中要求是连续地趋于零。故由01lim cos0x推不出01lim cos013. 证明:02x成立2cosxxtgxx。证明:作辅助函数( )f
12、xtgx,则( )f x在0, x上连续,在(0, )x内可导,由拉格朗日定理知:2( )(0)1( )0cosf xftgxfxx(0, )x即:2cosxtgx, 因cosx在(0,)2内单调递减, 故21cos x在(0,)2内单调递增,故222111cos 0coscos x即:22coscosxxxx即:21cosxtgxx。注:利用拉格朗日中值定理证明不等式,首先由不等式出发, 选择合适的函数)(xf及相应的区间,ba,然后验证条件,利用定理得( )( )( )()f bf afba( , )a b, 再根据( )fx在( , )a b内符号或单调证明不等式。14. 证明:当02x
13、时,sin2xtgxx。证明:作辅助函数( )sin2xxtgxx(0,)2x则2( )cossec2xxx21cos2cosxx221cos2cosxx21(cos)cosxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页0故( )x在(0,)2上单调递减,又因(0)0,( )x在(0,)2上连续,故( )(0)x=0,即:sin20xtgxx,即:sin2xtgxx。注: 利用单调性证明不等式是常用方法之一,欲证当 xI 时( )( )f xg x,常用辅助函数( )( )( )xf xg x,则将问题转化证( )0x,然后
14、在 I 上讨论( )x的单调性,进而完成证明。15. 证明:若( )f x二阶可导,且( )0fx,(0)0f,则( )( )f xF xx在(0,)内单调递增。证明:因2( )( )( )xfxfxFxx,要证( )F x单调递增,只需证( )0Fx,即证( )( )0xfxf x。设( )( )( )G xxfxf x,则)()()()()(xfxxfxfxfxxG,因为( )0fx,0x,故( )G x是单调递增函数,而(0)0G( )00fx,因此( )(0)G xG,即:( )( )0xfxf x,即:( )0Fx,即( )F x当0x时单调递增。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页