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1、1 微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限232lim(31)ijktttrrr138ijkrrr2设f ( )(sin )ijtttrrr,2g( )(1)ijttterr,求0lim( )( )tf tg trr 0 3已知42r( )d =1,2,3ttr,64r( )d =2,1,2ttr,2,1 ,1ar,1, 1,0br,则4622( )( )ar t dt+ba r t dt=rrrr r3, 9,5 .4已知( )r tarr( ar为常向量),则( )r trtacrr5已知( )r ttarr, ( ar为常向量),则( )r tr212t acrr6. 最“ 贴近” 空
2、间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和密切平面 _. 7. 曲率恒等于零的曲线是 _ 直线_ .8. 挠率恒等于零的曲线是 _ 平面曲线 _ . 9. 切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线( )rr trr在 t = 2 处有3vv&,则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11. 若在点00(,)uv处v0urrrrr, 则00(,)u v为曲面的 _ 正常_点. 12 已知( )(2)(ln )f tt jt krrr,( )(sin )(cos )g tt it jrrr,0t,则40()dfg dtdtrr4cos6213曲线3( )2 ,t
3、r tt ter在任意点的切向量为22,3,tte14曲线( )cosh , sinh ,r tat at atr在0t点的切向量为0, ,a a 15曲线( )cos , sin ,r tat at btr在0t点的切向量为0, , a b 16设曲线2:,ttCxeyezt,当1t时的切线方程为2111zeeyeex17设曲线tttezteytex,sin,cos,当0t时的切线方程为11zyx. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _ . 19. u曲线( v曲线)的正交轨线的微分方程是_ Edu+Fdv0(Fdu+Gdv0)_.20. 在欧拉公式2212cos
4、sinnkkk中,是方向(d) 与 u曲线的夹角 . 21. 曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK.22已知 r( , ),u vuv uv uvr,其中2,sinutvt,则drdtr2cos ,2cos ,2costtttvtut 23已知 r(, )coscos ,cos sin ,sinaaar,其中t ,2t,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页2 dr(, )dtrsincos2cos sin ,sinsin2cos cos ,cosaataata24设( , )rr u vrr
5、为曲面的参数表示, 如果0uvrrrrr,则称参数曲面是正则的; 如果:()rGr Grr是一一对应的,则称曲面是简单曲面25如果u曲线族和v曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为正规坐标网26平面 r( , ), ,0u vu vr的第一基本形式为22dduv,面积微元为 d du v27悬链面 r( , )cosh cos ,cosh sin ,u vuvuv ur第一基本量是22cosh0,coshEuFGu,28曲面 zaxy 上坐标曲线0xx,0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x ya xa y.29正螺面( , )cos ,sin ,r u vuv uv bvr
6、的第一基本形式是2222d()duubv30双曲抛物面 r( , )(),(), 2u va uvb uvuvr的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)d d(4)dabvuabuvu vabuv31正螺面( , )cos ,sin ,r u vuv uv bvr的平均曲率为 0 32方向(d)d :duv是渐近方向的充要条件是22( )020nkdLduMdudvNdv或33. 方向(d)d :duv和( ) :uv共轭的充要条件是(,)0()0dr rLdu uM du vdv uNdv vIIrr或34.是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN35.(d)d : duv是主方向
7、的充要条件是22dddd00dddddvdudvduE uF vL uM vEFGF uG vM uN vLMN或36. 根据罗德里格斯定理,如果方向(d)(d:d )uv是主方向,则nndnk drkrr,其中是沿方向 (d) 的法曲率37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于(C) 在 P 点的切平面上的正投影曲线 ( C*) 的曲率39,gnk kk之间的关系是222gnkkk40如果曲面上存在直线,则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
8、- - - - -第 2 页,共 17 页3 cossin22cossinvuEGd=dsEGGEdu=dsEdv=dsG42曲线是曲面的测地线,曲线( C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题1已知( ), ,ttr te t er,则r (0)r为( A ) A. 1,0,1 ; B. 1,0,1 ; C. 0,1,1 ; D. 1,0, 1 .2已知( )( )r tr trr,为常数,则( )r tr为( C ) A. tar; B. ar; C. te ar; D. e ar. 其中 ar为常向量3. 曲线(C)是一般螺线,以下命题不正确的是(D ) A切线与固定
9、方向成固定角;B副法线与固定方向成固定角;C主法线与固定方向垂直;D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向(A )A至少有两个;B只有一个;C只有两个;D可能没有 .5球面上的大圆不可能是球面上的(D )A测地线;B曲率线;C法截线;D渐近线 . 6. 已知 r( , ), ,x yx y xyr,求(1,2)drr为( D ) A. d ,d ,d2dxyxy ; B. dd ,dd ,0xyxy;C. d -d ,d +d ,0xyxy; D. d ,d ,2ddxyxy . 7圆柱螺线cos ,sin ,rtt tr的切线与z轴( C ). A. 平行; B. 垂直; C. 有
10、固定夹角4; D. 有固定夹角3. 8设平面曲线:( )C rr srr,s 为自然参数,rr,是曲线的基本向量叙述错误的是( C ) A. r为单位向量; B. rr&; C. krr&; D. krrr&. 9直线的曲率为( B ) A. -1 ; B. 0; C. 1; D. 2. 10关于平面曲线的曲率:( )C rr srr不正确的是( D ) A. ( )( )k ssr&; B. ( )( )k ss&,为( )sr的旋转角;C. ( )k sr&; D. ( )| ( ) |k sr sr&. 11对于曲线,“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的( D ) 精选学习资料 - -
11、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页4 A. 充分不必要条件; B. 必要不充分条件;C. 既不充分也不必要条件; D. 充要条件 . 12下列论述不正确的是( D ) A. ,rrr,均为单位向量; B. rr; C. rr; D. rrP. 13对于空间曲线 C , “挠率为零”是“曲线是直线”的(B ) A. 充分不必要条件;B. 必要不充分条件;C. 既不充分也不必要条件;D. 充要条件 . 142sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为( D ) A. 垂直;B. 平行; C. 成3的角;
12、D. 成4的角. 15椭球面2222221xyzabc的参数表示为( C ) A. , ,cos cos ,cossin ,sinx y z;B. , ,cos cos , cos sin ,sinx y zab;C. , ,cos cos , cos sin , sinx y zabc;D. , ,cos cos , sincos , sin2x y zabc. 16曲面2233( , )2,r u vuv uvuvr在点(3,5,7)M的切平面方程为( B ) A. 2135200xyz; B. 1834410xyz;C. 756180xyz; D. 1853160xyz. 17球面( ,
13、 )cos cos ,cos sin ,sinr u vRuv Ruv Rur的第一基本形式为( D ) A. 2222(dsind)Ruu v; B. 2222(dcoshd)Ruu v;C. 2222(dsinhd)Ruu v; D. 2222(dcosd)Ruu v. 18正圆柱面( , )cos ,sin ,r u vRv Rv ur的第一基本形式为( C ) A. 22dduv; B. 22dduv; C 222dduRv; D. 222dduRv. 19在第一基本形式为222(d ,d )dsinhduvuu vI的曲面上,方程为12()uv vvv的曲线段的弧长为( B ) A2
14、1coshcoshvv; B21sinhsinhvv;C12coshcoshvv; D12sinhsinhvv20设 M 为正则曲面,则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是( B ) A0E; B0F; C0G; D0M21高斯曲率为零的的曲面称为( A ) A极小曲面; B球面; C常高斯曲率曲面; D平面22曲面上直线(如果存在)的测地曲率等于( A ) A 0; B 1; C 2 ; D 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页5 23当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线的测地曲率为( B ) A 1
15、ln2EuE; B1ln2EvG;C1ln2GvE; D 1ln2EuG24如果测地线同时为渐近线,则它必为( A ) A 直线;B 平面曲线; C 抛物线; D 圆柱螺线三、判断题(正确打,错误打)1. 向量函数( )rr trr具有固定长度,则( )( )r tr trr.2. 向量函数( )rr trr具有固定方向,则( )( )r tr trrP.3. 向量函数( )r tr关于 t 的旋转速度等于其微商的模( )r tr.4. 曲线的曲率、挠率都为常数,则曲线是圆柱螺线 . 5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数,则曲线是圆柱螺线 . 6. 圆柱面cos ,sin, ,rRRzrz线是
16、渐近线 . 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换 . 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. 12. 在光滑曲线的正常点处,切线存在但不唯一13. 若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线14. 在曲面的非脐点处,有且仅有两个主方向15. 高斯曲率与第二基本形式有关,不是内蕴量16. 曲面上的直线一定是测地线17. 微分方程A(, )B( , )0u v duu v dv表示曲面上曲线族 . 18. 二阶微分方程22(
17、, )2 ( , )( , )0A u v duB u v dudvC u v dv总表示曲面上两族曲线 . 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F,这里 F 是第一基本量 . 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一定是最短的.22. 球面上的圆一定是测地线 .23. 球面上经线一定是测地线 .24. 测地曲率是曲面的内蕴量 . 四、计算题1求旋轮线)cos1(),sin(tayttax的20t一段的弧长解旋轮线( )(sin ), (1 cos )r ta ttatr的切向量为( )cos , sinr taat atr, 则在20t一
18、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页6 段的弧长为:2200( ) d21cos d8sr ttat tar2求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的切向量、主法向量、副法向量解由题意知( )sincos ,cossin ,ttr ttttttt eter,( )2cossin , 2sincos ,2ttrttttttteter,在原点,有(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)rrrr,又()(),rrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrr,rrrrrrrrr,所以有22666333(0,),
19、(,),(,)22366333rrr. 3圆柱螺线为( )cos ,sin ,r tat at btr,求基本向量,rrr;求曲率 k 和挠率. 解( )sin ,cos ,r tat at br,( )cos ,sin ,0rtatatr,又由公式()(),rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr222211sin ,cos ,cos ,sin ,0 ,sin ,cos ,at at bttbtbt aababrrr由一般参数的曲率公式3( )rrk trrrr及挠率公式2(,)( )rrrtrrrrrrr有22akab,22bab. 4求正螺面( , )cos ,
20、 sin ,r u vuv uv bvr的切平面和法线方程解cos ,sin ,0urvvr,sin , cos ,vruv uv br,切平面方程为cossincossin00sincosxuvyuvzbvvvuvuvb,sincos0,bv xbu yuzbuv法线方程为cossinsincosxuvyuvzbvbvbvu5求球面( , )coscos , cos sin ,sinraaar上任一点处的切平面与法线方程解sincos ,sinsin , cosraaar,cos sin ,cos cos ,0raar,312sincossinsincoscossincoscos0eeerr
21、aaaaarrrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页7 2coscoscos ,cos sin ,sina球面上任意点的切平面方程为2cos cos ,cos sin ,sincoscos cos , cos sin , sin0,xayazaa即coscoscossinsin0xyza,法线方程为2(coscos ,cossin,sin)cos(coscos ,cossin ,sin),xayazaa即coscoscossinsincoscoscossinsinxayaza6求圆柱螺线cos ,sin ,xat
22、 yat zt在点( ,0,0)a处的密切平面 .解( )sin ,cos ,1,r tat atr( )cos ,sin ,0,rtatatr所以曲线在原点的密切平面的方程为00sincos10cossin0xayzatat=atat,即sin )(cos )sin0t xt yazat(.7求旋转抛物面22()za xy的第一基本形式解参数表示为22( , ), , ()r x yx y a xyr,1,0,2xraxr,0,1,2yrayr,2214xxErra xrr,24xyFrra xyrr,2214yyGrra yrr,2222222(d ,d )(14)d8d d(14)dxy
23、a xxa xy x ya yyI8求正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr的第一基本形式解cos ,sin ,0urvvr,sin , cos ,vruv uv br,1uuErrrr,0uvFrrrr,22vvGrrubrr,2222(d ,d )d()duvuubvI9计算正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr的第一、第二基本量解cos ,sin ,0urvvr,sin , cos ,vruv uv br,0,0,0uurr,sin ,cos ,0uvrvvr,cos ,sin ,0vvruvuvr,cossin0sin ,cos
24、,sincosuvijkrrvvbvbv uuvuvbrrrrr,22sin ,cos ,uvuvbvbv urrnrrburrrrr,1uuErrrr,0uvFrrrr,22vvGrrubrr,0uuLrnrr,22uvbMrnburr,0vvNrnrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页8 10计算抛物面22zxy的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为22( , ), ,r x yx y xyr,则1,0,2xrxr,0,1,2yryr,0,0,2xxrr,0,0,0xyyxrrrr,0 0 2yyrr,
25、,1022 , 2 ,1012xyijkrrxxyyrrrrr,222 ,2 ,1|441xyxyrrxynrrxyrrrrr,214xxErrxrr,4xyFrrxyrr,214yyGrryrr,222441xxLrnxyrr,0xyMrnrr,222441yyNrnxyrr,2222222222404441(14)(14)(4)(441)LNMxyKEGFxyxyxy,2232222124422(441)GLFMENxyHEGFxy11. 计算正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv avr的高斯曲率 . 解 直接计算知1E,0F,22Gua,0L,22aMua,0N,2
26、22222()LNMaKEGFua12. 求曲面2zxy的渐近线 . 解2zxy,则2zpyx,2zqxyy,220zrx,22zsyx y,222ztxy所以, L=0,422214yMyx y,422214xNyx y渐近线微分方程为24224224201414yxdxdydyyx yyx y,化简得(2)0dyydxxdy,020dyydxxdy或渐近线为 y=C1,x2y=C2 13. 求螺旋面cos , sin ,ruv uv bvr上的曲率线 . 解uvrcos,sin v,0,rusin v, ucos v, bvrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
27、 - - - - - - -第 8 页,共 17 页9 2222uuvvEr1,Frr0,Grub ,rrrruv22uvbsin v, bcosv,ubsin v, bcosv,urrnrrbsin v, bcosv,uburrrrruuuvvvr = 0,0,0 , r =sin v,cosv,0 ,rucos v, usin v,0rrr,22bL0,M,N0ub曲率线的微分方程为 : 222222dvdudvdu10ub =0b00ub或dubudv221积分得两族曲率线方程 : 222212vln(uub )cvln(ubu)c .和14. 求马鞍面22 , ,ru v uvr在原点
28、处沿任意方向的法曲率. 解1,0,2 ,0,1,2 rruvrurv,22214,4,14rrrguuvEruFr ruv Gv2222(14)8(14)uduuvdudvvdvuv22uv2u,2v,1rrnrr4u4v1rrrrr,uu222Ln r,4u4v1r rguvMn r0,r rgvv222Nn r4u4v1r rg22222222144144dudvuvuv,2222n22222dudv )14u4vk =(14u )du8uvdudv(14v )dv(. 15. 求抛物面22()za xy在(0,0)点的主曲率 . 解 曲面方程即22, , (),rrx y a xy1,0
29、, 2,0,1,2,rrxyraxrayE(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,0,0, 2 ,0,0,0,0,0, 2 rrrxxxyyyrarra,L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2 ,=0,=2a,代入主曲率公式,NN2ak0002ak,所以两主曲率分别为12kk2a . 16. 求曲面22 , ,ru v uvr在点(1,1)的主方向 . 解ur =, ur1,0 2,vr,vr= 01,22214,4,14EuFuv Gv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页10 (1, ) 5(1,
30、 ) 4(1, ) 5;EFG1 = ,1 = ,1 =222222,0,4444LMNu + v +1u + v +12(1,1)(1,1),(1,1)0,3LNM代入主方向方程,得()()0dudvdudv, 即在点 (1,1)主方向:1:1;:1:1du dvuv. 17. 求曲面23( , ) , ,r u vu v uvr上的椭圆点,双曲点和抛物点解 由23 , ,ru v uvr得ur =, ur1,0 2,2,vr,vr= 0 1,3u uu vv vr =,r =,r =, vrrr0,0 2 ,0,0 0 ,0,0 6,242426,0,491491vLMNu + v +u
31、+ v +2241241vLNM.u +9v +v0时,是椭圆点; v0时,是双曲点; v=0时,是抛物点 . 18. 求曲面32( , ),r u vvuuvr上的抛物点的轨迹方程解由32( , ),r u vvuuvr得ur =u,r0,21 ,2,vrv ,r= 30,1uuu vv vr =,r =,r =v,rrr0,2 0 ,0,0 0 ,6 ,0 0 ,222612,0,vuvLMNEG-FEG-F令322720uvLNM= .EG-F得 u=0 或 v=0 所以抛物点的轨迹方程为r= v , vr30或0r=, u , ur2.19. 求圆柱螺线( )cos ,sin ,r t
32、atatbtr自然参数表示 . 解 由( )cos ,sin ,r tatatbtr得sin ,cos ,rat at br-,22( )+,r tabr弧长22220( )+=+,ts tab dtab t22,+stab曲线的自然参数表示为222222( )cos,sin,.+sssr saababababr20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a srr= ( ),则主法线曲面为:r=a svs ,rrr( )+( )则,a =a=rrr&,b = =-krrrr&a b =k,rrg2,22b =k +r所以腰曲线是222a bkr=a ss =a sskbrrrrg
33、rrrr( )-( )( )+( )+21求位于正螺面cos ,sin ,xuv yuv zav上的圆柱螺线00cos ,sin ,xuv yuv zav(0u=常数)的测地曲率解因为正螺面的第一基本形式为2222d()duuav,螺旋线是正螺面的v- 曲线0uu,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页11 由2得d0ds由正交网的坐标曲线的测地曲率得02202ugGukuaGE五、证明题1. 设曲线:(s),rrrr证明:2()k-;r ,r ,r =k.rrr r r& & & & &证明由伏雷内公式,得=k=-
34、,rrrr&,两式作点积,得=- k=- k,rrrr& &k =-.rr& &r=r=k,rrrrr& &,2()r=k+k=k+k -k += -k+k+krrrrrrrrr& & & &22() () ()r ,r ,r =, k, -k+k+k=, k, k=k.rrrrrrrrr r r& & & &2. 设曲线:(s),rrrr证明:3()()r ,r ,r=kk - k .r rr& & & & & & &证明由伏雷内公式,得r=krrr& &,2()r=k+k=k+k -k +=-k+k+krrrrrrrrr& & & &323()(2)r =-kk + -k +k-k+k +
35、krrrr& & & & &232() () ( 3()(2) )r ,r ,r = k-k+k+k- kk + -k +k-k+k +krrrrrrrr r r& & & & & & & &g3232() ( 3()(2) )= k+k- kk + -k +k-k+k +krrrrr& &g33432=- k k + k k +k&3()=kk - k&3. 曲线( )rr srr是一般螺线,证明1:rRdsrrr也是一般螺线(R 是曲线的曲率半径)证明1rRdsrrr,两边关于 s微商,得11dsRRdsrrrr&1RRRrrr&Rr&,1rrP ,由于是一般螺线,所以也是一般螺线 . 4
36、. 证明曲线( )sin ( ),s ( ), (r tat dta cot dtbta,br是常数)是一般螺线证明( )sin( ),cos ( ),rtatatbr( )( )cos( ),( )sin( ),0,rtattattr2( )( )cos( ),sin( ), 0( ) sin( )cos( )0rtatttatttr,,22( ),rratabrr32()( )rrra btrrr,,322( ) ,rraktabrrrr222( ) ,rrrbtabrrrrrrr,kab . 5曲面 S上一条曲线 (C), P 是曲线 (C)上的正常点,ngk,k ,k分别是曲线 (C)
37、在点 P 的曲率、法曲率与测地曲率,证明222ngk =k+k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页12 证明测地曲率()gkkknrrrrr( , )knknrrrrrsink.(是主法向量r与法向量nr的夹角 ) 法曲率cosnkknkrr,222ngk =k+k.6. 证明曲线cos ,sin , 0ttretetr的切向量与曲线的位置向量成定角证明 对曲线上任意一点, 曲线的位置向量为cos ,sin , 0ttretetr,该点切线的切向量为:(cossin ),(sincos ),0ttrett ettr
38、,则有:22cos22tttr rer re er rr r,故夹角为4. 由所取点的任意性可知,该曲线与曲线的切向量成定角7证明:若 rr和 rr对一切 t 线性相关,则曲线是直线证明 若 rr和 rr对一切 t 线性相关,则存在不同时为0 的( ),( )f tg t使( ) ( )( )( )0f t rtg t rtrrr,则,( )( )0,tr trtrrr又3( )rrk trrrr,故t 有( )0k t. 于是该曲线是直线8 证明圆柱螺线btztaytax,sin,cos的主法线和 z轴垂直相交证明由题意有( )sin , cos ,( )cos ,sin ,0r tat a
39、t brtatatrr,由()()rrrrrrrrrrrrrrrrrrr知cos , sin ,0ttr. 另一方面z轴的方向向量为0,0,1ar,而0arr,故arr,即主法线与z轴垂直9证明曲线tazttaytaxcos,cossin,sin2的所有法平面皆通过坐标原点证明由题意可得( )sin2 , cos2 ,sinr tat atatr,则任意点的法平面为0)cos(sin)cossin(2cos)sin(2sin00000020taztattaytataxta将点( 0,0,0 )代入上述方程有左边)cos0(sin)cossin0(2cos)sin0(2sin00000020ta
40、tattatatata0右边,故结论成立10证明曲线222132225 ,1xt+ t , yttzt为平面曲线,并求出它所在的平面方程.证明2221 32225 , 1rt+ t ,tttr,3 4210 ,2r+ t,ttr,4 10,2r,r,0 0, 0r,r(,)0r rr,r rr0,所以曲线是平面曲线 . 它所在的平面就是密切平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页13 (0)32, 0r,r,(0)4 10,2r,r密切平面方程为12132004102xyz,化简得其所在的平面方程是2x+3y+19
41、z270. 11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点,那么它是直线.证明设曲线方程( )rr srr,定点的向径为0Rv,则0( )( )r sRsrrr两边求微商,得( )( )( )( )ssss krrrrr&(1( )( )0ss krrr&由于,rr线性无关,100k&k0 曲线是直线 . 12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点,曲线的方程为( )rr trr,则曲面在任一点的密切平面方程为( ),( ),( )0r tr trtrrrr因任一点的密切平面过定点,所以( ),( ),( )0or tr trtrrrr, 即( (
42、),( ),( )0r tr trtrrr所以( )rr trr平行于固定平面,所以( )rr trr是平面曲线 .13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e,证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件,得0.er r,两边求导,得0err&,由伏雷内公式得0kerr,)0k,则曲线是直线;)0err又有可知rer因 er是常向量,所以r是常向量,于是| | 0,r&所以0 ,所以曲线为平面曲线 .14. 设在两条挠曲线,的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应的点的副法线互相平行,证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行. 证明rr, 21dsdsggrr由伏雷内公式得211dsdsvv
43、12rr=进而12rr15.证明挠曲线(0)的主法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为( )rr srr,则挠率0,其主法线曲面的方程是:( )( )r stsrrr取( ),( )ar sbsrrrr,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页14 ( ),( )kasbsgrrrrrr所以, (, ,)( ( ),( ),k)( ),( ),k)( ),( ),)0a b bssssssr rrrrrrrrrrrr所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线(0)的副法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲
44、线为( )rr srr,则挠率0,其副法线曲面的方程是:( )( )r stsrrr取( ),( )ar sbsrrrr,则( ),( )asbsgrrrrr所以 , (, ,)( ),( ),)0a b bssr rrrrr,所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证明 设曲线rr(s),rr则曲线的主法线曲面为rr s +vsrrr= ( )( ),srvkvkvrrrrrr=+(-)=(1-)( )vr =srr,2,svsvrrvkvn=rrvkvrrrrrrr2(1-)-(1-) ()沿曲线( v0)n=rr,所以主法向量与曲面的法向量
45、夹角,2ncos0,kk所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面cos ,sin,raubucur沿每一条直母线只有一个切平面. 证明cos ,sin,cos , sin, 0( )rrrraubucuu abcu为直纹面(0,( ),( )0rrr), 所以,曲面可展,即沿每一条直母线只有一个切平面. 也可以用高斯曲率K=0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线,设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角,求证是一平面曲线 . 证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角0,则cosr rg0两边求微商,得0ggrrrrgg由于曲线是曲率线,所以grrP,进而0gr rg,
46、由伏雷内公式得0rrg 0 时,是一平面曲线n0vvg ,即nvv,nkcos =0k,又因为是曲率线,所以0ndnk drvvv即nv是常向量,所以是平面曲线 . 20求证正螺面上的坐标曲线(即u曲线族v曲线族)互相垂直证明 设正螺面的参数表示是( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr,则cos ,sin ,0urvvr,sin , cos ,vruv uv br,cos ,sin ,0sin , cos ,0uvrrvvuv uv brr,故正螺面上的坐标曲线互相垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,
47、共 17 页15 21. 证明在曲面上的给定点处, 沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cossinnkkk*n1inkk222cos()+k s()221incosk222s+k所以*nn12kkkk常数 . 22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线,则必是曲率线 . 证明因为曲线是非直线的测地线,所以沿此曲线有,rrn从而(),rrr&n又因为曲线是平面曲线,所以0,进一步nrr&.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向,故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面( )( )zf xfy上曲线族 x=常数, y =常数构成共轭网 . 证明曲面的向量表示为(
48、, ), ,( )( ) ,r x yx y f xf yrx=常数, y=常数是两族坐标曲线 .1,0,xrfr,0,1,yrgr. 0,0,0,0,0,0,0,xxxyyyrfrrgrrr因为20xyxyrrMrEGFrrr, 所以坐标曲线构成共轭网,即曲线族x=常数, y=常数构成共轭网 .24证明马鞍面 zxy上所有点都是双曲点证明参数表示为( ,), ,r x yx y xyr,则1,0,xryr,0,1,yrxr,0,0,0xxrr,0,0,1xyrr,0,0,0yyrr,,1xyrryxrr,22,1|1xyxyrryxnrrxyrrrrr,0xxLrnrr,2211xyMrnx
49、yrr,0yyNrnrr,222221100011LNMxyxy,故马鞍面zxy上所有点都是双曲点25如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例,即(d ,d )(d ,d )uvuvIII与方向无关,则称该点是曲面的脐点;如果曲面上所有点都是脐点,则称曲面是全脐的试证球面是全脐的证明 设球面的参数表示为( , )cos cos ,cos sin ,sinr u vRvu Rvu Rvr,则cos sin ,cos cos ,0urRvu Rvur,sincos ,sin sin ,cosvrRvuRvu Rvr,cos cos ,cos sin ,0uurRvuRvur,sin sin ,si
50、n cos ,0uvvurrRvuRvurr,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页16 cos cos ,cos sin ,sinvvrRvuRvuRvr,22cosuuErrRvrr,0uvFrrrr,2vvGrrRrr,22(,)cosuvuurrrLRvEGFrrr,2(,)0uvuvrrrMEGFrrr,2(,)uvvvrrrNREGFrrr,1( ,)(,)L MNE F GR,故球面是全脐的26证明平面是全脐的证明 设平面的参数表示为( , ), ,0r x yx yr,则1,0,0xrr,0,1,0y
51、rr,0,0,0xxrr,0,0,0xyrr,0,0,0yyrr,1xxErrrr,0xyFrrrr,1yyGrrrr,0xxLrnrr,0xyMrnrr,0yyNrnrr( ,)0(,)L MNE F G,故平面是全脐的27证明曲面3xyz的所有点为抛物点证明曲面的参数表示为1/3( , ), ,()r x yx yxyr,则2/3131,0, ()xrxyr,2/3130,1, ()yrxyr,5/3230,0,()xxrxyr,5/3290,0,()xyrxyr,5/3290,0,()yyrxyr,2/32/31133(),(),1xyrrxyxyrr,|xyxyrrnrrrrrrr,5
52、/3290,0,()xxLrnxynrrr,5/3290,0,()xyMrnxynrrr,5/3290,0,()yyNrnxynrrr20LNM,曲面3xyz的所有点为抛物点28求证正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv avr是极小曲面证明cos ,sin ,0urvvr,sin , cos ,vruv uv ar,0,0,0uurr,sin ,cos ,0uvrvvr,cos ,sin ,0vvruvuvr,cossin0sin ,cos ,sincosuvijkrrvvavav uuvuvarrrrr,22sin ,cos ,|uvuvavav urrnrraurrr
53、rr,1uuErrrr,0uvFrrrr,22vvGrraurr,0uuLrnrr,22uvaMrnaurr,0vvNrnrr,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页17 222222221 02 0 ()() 01210,221 ()0aauENFMGLauHEGFau故正螺面是极小曲面29. 圆柱面cos ,sin , rau au vr上的纬线是测地线证明由cos ,sin, ,rau au vrsin,cos , 0ur-auaur,0, 0, 1 vrr,2,0,1.EaFGcossin22vugEGdkd
54、sE GGE,纬线是 u-线,此时0或,0.gk所以,纬线是测地线30证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证明1202kkHQ,12kk,21220Kkkk当0K时,120kk,极小曲面的点都是平点;当0K时,极小曲面的点都是双曲点31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线,则它是直线;(2)如果测地线同时是曲率线,则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线,所以0gk,曲线又是渐近线,所以,0nk,而222ngkkk ,所以 k=0,故所给曲线是直线 . (2)证法 1 因曲线是测地线,所以沿此曲线有rrPn,所以rr&Pdn,又曲线是曲率线,所以rrrPPdndr,所以( k)rrrP ,所以0, 故所给曲线是平面曲线 .证法 2 因所给曲线既是测地线又为曲率线,所以沿此曲线有,nnvrrv&PP而rrr,所以,nrrr从而()(0)0nnknrrrrrrrrr&,又rr&,所以0,故所给曲线是平面曲线 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页