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1、优秀资料欢迎下载！习题三2. 设总体的分布密度为：(1), 01( ; )0,xxf x其它1(,)nXX为其样本， 求参数的矩估计量1?和极大似然估计量2?.现测得样本观测值为： 0.1，0.2，0.9，0.8， 0.7，0.7，求参数的估计值 . 解计算其最大似然估计：11111(,)11ln(,)ln(1)lnnnnniiiinniiLxxxxLxxnx1121ln( ,)ln01?10.2112lnnniiniidnLxxxdnx其矩估计为：13.40.1 0.2 0.9 0.8 0.7 0.766X3077. 0121?,212) 1() 1(1101021XXXxdxxEX所以：1
2、2112?,11lnniiXnXX，12?0.3077,0.2112.3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000 个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：组中值ix5 15 25 35 45 55 65 频数i365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计 . . 解最大似然估计：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页优秀资料欢迎下载！11( ,),lnlninxnnxniLxxeeLnnx711120000?ln0,201000100
3、0iiidnLnxXxvdX1?0.05X.4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10 只，测得其寿命 (单位：小时 )为：1067，919，1196，785，1126， 936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300 小时以上的概率 . 解设灯泡的寿命为x,2( ,)xN,极大似然估计为：2211?,()niixxxn根据样本数据得到：2?997.1,17235.81. 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300 小时的概率为0.0075. 5.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随
4、机抽取50 升，化验每升水中大肠杆菌的个数 (假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布 )，其化验结果如下：大肠杆菌数 /升0 1 2 3 4 5 6 升数il17 20 10 2 1 0 0 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解设x为每升水中大肠杆菌个数，( )xP，Ex，由 3 题（ 2）问知，的最大似然估计为x，所以.150/1*42*310*220*117*0?XL所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1 时，出现上述情况的概率最大. 8. 设1,.,nXX是来自总体X 的样本，并且 EX =， DX = 2，2,X S是样本均值和样本方差，试确定常数c
5、，使22XcS是2的无偏估计量. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页优秀资料欢迎下载！解2222222222()E XcSEXcESDXE Xccn所以1cn.9. 设1?，2?是的两个独立的无偏估计量，并且1?的方差是2?的方差的两倍.试确定常数 c1, c2，使得11?c22?c为的线性最小方差无偏估计量. 解：设22122,2DD112212121221()11E cccccccccc），22222221 1221211(2221D cccccc）222111121321cccc当1212*33c，上式达到最小
6、，此时21213cc . 10. 设总体 X 具有如下密度函数，1,01( , )0,xxf x，0其它1,.,nXX是来自于总体X 的样本， 对可估计函数1()g，求( )g的有效估计量?( )g，并确定 R-C 下界 . 解因为似然函数1111L( ,),lnln(1)lniinnnnniixxxxLnx111lnlnlnln( )0iiidnLxnxnxgdnn所以取统计量1lniTxn11111100001lnlnlnlniEXx xdxxdxxxxdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页优秀资料欢迎下载！得1
7、ET=( )g，所以1lniTxn是无偏估计量令( )cn由定理 2.3.2 知T 是有效估计量，由221( )1( )gDTcnn所以C-R 方差下界为21n.11. 设1,.,nXX是来自于总体X的样本，总体X 的概率分布为：| |1 | |( , )() (1),1,0,1,012xxf xx1） 求参数的极大似然估计量?；2） 试问极大似然估计?是否是有效估计量？如果是，请求它的方差?D和信息量( )I；3） 试问?是否是相合估计量？（书上没有这个问题）解1）111( ,)1122lnln(n)ln(1)iiiixxnxnxniiiLxxLxxn1ln01(1)nxixidnLxid得
8、到最大似然估计量1?xin2）110011,10122ExiE xi E xinn所以11ExiE xinn所以?是无偏估计量，( )(1)nc，由定理 2.3.2 得到1?xin是有效估计量信息量c( )1( )(1)In精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页优秀资料欢迎下载！3）1(1)?D0,(n)c( )n所以， T 也是相合估计量. 12 从一批螺钉中随机地取16 枚，测得其长度(单位： cm)为：2.14， 2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13， 2.10，2.15，2.12， 2.14
9、，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11 设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的 90%置信区间，1）若已知=0.01cm；2）若未知；解因为2.125,16,0.171 ,Xns0.950.9510.95,1.65,151.7532t-1） 计算0.950.950.010.012.1209,2.12911616XbaX=所以置信区间为1.1212.129，2） 计算0.950.950.01710.0171152.1175,152.13251616XtbXt=所以置信区间为2.1152.135，.13随机地取某种炮弹9 发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)
10、，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 . 解由题意标准差的置信度为0.95 的置信区间为0.9750.0252222(1)(1)(,)(8)(8)nSnS计算得0.9750.0252222(1)(1)11,9,0.05,7.431,21.072(8)(8)nSnSSnab所以置信区间为7.431,21.072.14. 随机地从A 批导线中抽取4 根，并从B 批导线中抽取5 根，测得其电阻()为：A 批导线： 0.143，0.142，0.143，0.137 B 批导线： 0.140，0.142，0.136，0.138，0.140 设测试数据分别服从21
11、(,)N和22(,)N，并且它们相互独立，又212,均未知，求参精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页优秀资料欢迎下载！数12的置信度为95%的置信区间. 解由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为12112211(2)wXYtnnSnn计算得2626AB120.14125,0.1392,8.25*10,5.2*10,4,5,0.05xySSnn26WW0.9756.57 10 ,0.00255,(7)2.365,0.0022,0.0063SStab所以 0.0022,0.0063.
12、15. 有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10 次测定，其测定值的方差2s依次为0.5419 和 0.6065，设2A与2B分别为 A、 B 所测量数据的总体的方差 (正态总体 )，求方差比2A/2B的置信度为95%的置信区间. 解由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：置信区间为22AA22BB1212(,)1(1,1)(1,1)22SSSSFnnFnn计算得22AB120.5419,0.6065,10,0.05SSnn22AA22BB0.9750.0250.2217,3.6008(9,9)(9,9)SSSSabFF所以置信为0.2217,3.6008.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
