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1、高二数学复习讲义1 高二数学复习讲义（1）常用逻辑用语 1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）（a）原命题与其逆否命题同真、同假。（b）否命题与逆命题同真、同假。2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则 q 成立，即qp时， p 是 q 的充分条件。同时q 是 p 的必要条件。若 p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立，即qp且pq，则 p 与 q 互为充要条件。（2）判断方法：（i）定义法，（ii）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A，使 q 成立的条件组成的集合为B，若BA则 p 是 q
2、 的充分条件。同时q 是 p 的必要条件。若 A=B，则 p 与 q 互为充要条件。（iii）命题法：假设命题： “若 p 则 q” 。当原命题为真时，p 是 q 的充分条件。当其逆命题也为真时，p 与 q 互为充要条件。注意：充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合 B 的子集；后者：集合A 是集合 B的真子集。3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。（2）全称量词与存在量词的否定。关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至 少 一个一
3、个 都没有至 多 一个至 少 两个属于不属于4. 逻辑连结词“或” ， “且”， “非” 。（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。（2）复合命题的真假判断：p q 非 p p 或 q p 且 q 真真假真真真假假真假精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页高二数学复习讲义2 假真真真假假假真假假注意： “命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。 一、填空题1命题：“若 ab0，则 a0 或 b0”的逆否命题是 _2.x13x23，是x1x26，x1
4、x29成立的 _条件3命题“若 x21，则 x1 或 x1”的逆否命题是 _4下列四个命题中，是真命题的序号是_“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的否命题；“若ab，则 a2b2”的逆否命题；“若x3，则 x2x60”的否命题；“对顶角相等”的逆命题5下列命题是真命题的是 _(填序号 )? xR，x2x10；? xZ，x22；? xR，x22. 6设 M、N 是两个集合， 则“MN?”是“ MN?”的_条件7“p 或 q 为真命题”是“ p 且 q 为真命题”的 _条件8已知 p：4xa0，若p 是q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是 _9命题“偶数能被 2 整除”的否定形式是 _10
5、下列命题中，假命题是_? 、 R，使 sin( )sin sin ；? a、bR，方程 axb0 恰有一个解；? x、yR，xy2xy；点(3,4)不在圆 x2y22x4y30 上11已知 p(x)：x22xm0，如果 p(1)是假命题， p(2)是真命题，那么实数m 的取值范围是 _ 12给出下列四个命题：“若 xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若 b1，则 x22bxb2b0 有实数根”的逆否命题；若 sin cos 1，则 必定是锐角其中真命题的序号是 _(请把所有真命题的序号都填上)13 已知命题 p： “? x0,1， aex”，命题 q：
6、“? xR， x24xa0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为 _14 已知“关于 x 的不等式x2ax2x2x1x；(3)? xR，有 x12x；(4)集合 A 是集合 AB 或集合 AB 的子集17命题甲： aR，关于 x 的方程 |x|ax1(a0)有两个非零实数解，命题乙：aR，关于 x 的不等式 (a21)x2(a1)x20 的解集为空集当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页高二数学复习讲义4 18求证：关于 x 的方程 x22axb0 有实
7、数根，且两根均小于2 的充分不必要条件是 a2 且|b|4. 19 (1)设集合M x|x2 ，P x|x3 ，则“ xM 或 xP”是“ x(MP)”的什么条件？(2)求使不等式 4mx22mx10 恒成立的充要条件20设命题 p：实数 x 满足 x24ax3a20(a0.且p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页高二数学复习讲义5 参考答案一填空题1. 答案：若a0 且b0，则ab02. 解析：由x1x26x1x29，可知，当x1 8x2 2，时，不等式组成立，但不满足x13
8、，x23，所以必要性不成立答案：充分不必要3. 解析：命题的条件为“x21”，结果为“x1 或x1”，否定结果作条件，否定条件作结果，即为其逆否命题答案：若 1x1，则x2b，故是假命题；“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60 可得 2x3，而x43 不是不等式的解，故是假命题；“相等的角是对顶角”是假命题答案：5. 答案：6. 解析：由Venn 图易知“MN?”“MN ?”，而“MN?”? “MN ?”答案：必要不充分7. 解析：“p且q”为真 ?p真且q真? “p或q”为真，反之不成立答案：必要不充分8. 解析：p： 4xa4?a4x0 ? 2x0，即m8. 故实数m的取值范围是3m
9、8. 答案： 3m0，“若b 1，则x22bxb2b 0 有实数根”为真命题，其逆否命题也是真命题；当73时， sincos1 成立，此命题是假命题答案：13. 解析：由 ?x 0,1 ，aex，得ae；由 ?xR，x24xa0，得 424a0，解得a4，从而a的取值范围为e,4 答案： e,4 14. 解析：x2x10，原不等式化为x2ax20. ?xR时， 2x2(a3)x10 恒成立， (a3)2 80. 322a2，所以“ ?xR，有4x3x”是假命题(3) 命题的否定： ?xR，使x12x. 因为当x2 时，x121322，所以“ ?xR，使x12x”是真命题(4) 命题的否定：集合
10、A既不是集合AB的子集也不是集合AB的子集，是假命题17. 解：当甲为真时，设y|x| 和yax 1(a0)，即两函数图象有两个交点，则0a1；当乙为真时，a1 或a2100，则79a1，当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，有0a1或a79或a1或a079a1，a 79， 0 1 18. 证明：先证明条件的充分性：a2b4?a24b， 4(a2b) 0，方程有实数根a2b 4?2a 4，b 4.(x12) (x22) (x1x2) 4 2a4 44 80，x12x220?x120x220?x12，x22.由，知“a2，且 |b| 4” ? “方程x22axb0 有实数根，且两根均小于2”再验证条
11、件的不必要性：方程x2x0 的两根为x1 0，x21，则方程的两根均小于2，而a122，“方程x22axb0 的两根小于2”“a2且|b| 4”综上，a2且|b| 4 是方程x22axb0 有实数根且两根均小于2 的充分不必要条件19. 解： (1)xM或xP?xR，x(MP) ?x(2,3) ，因为xM或xPx(MP) ，但x(MP) ?xM或xP. 故“xM或xP”是“x (MP) ”的必要不充分条件(2) 当m0时，不等式4mx22mx10 恒成立 ?4m0， 4m216m0，? 4m0. 又当m0 时，不等式4mx22mx10，对xR恒成立故使不等式4mx22mx10 恒成立的充要条件是 4m0.20. 解：命题p： 3axa；命题q：x4 或x 2. p?q，p?q，由数轴可知a 4 或 3a 2，即a 4或a23. 又a0，a 4或23a0，即a的取值范围是 ( ， 4 23，0 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
