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1、学习必备欢迎下载平面向量全章复习【教学目标】复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。本章知识框架一基本知识点回顾1向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量2向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；3向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB说明： (1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有
2、向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段(2)向量不同于数量数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、 “小于”对向量来说是没有意义的(3)向量的模（是正数或零）可以比较大小4几组特殊的向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 或0说明： 零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个规定所有的零向量都相等单位向量 ：长度等于1 个单位长度的向量叫做单位向量平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记作ab说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平
3、行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系（3）规定：零向量与任意向量平行相等向量 ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量若a与b相等，记作ab相反向量 ：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量向量a的相反向量记为a向量的定义向量的表示向 量 间 的 关 系向量相 等 向 量相 反 向 量共 线 向 量符 号 表 示几 何 表 示基 底 表 示坐 标 表 示向量的运算加法减法数乘向 量 的 应 用数量积平行与共线长度夹角垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载5向量加法的概念：已知向量a和b，在平面内任取一
4、点O，作OAa，ABb，则向量OB叫做a与b的和，记作ab，即abOAABOB求两个向量和的运算叫做向量的加法 规定：0aa，0aaaa，即0ABBA；向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；向量加法的平行四边形法则：说明： (1)求和向量必须共起点(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则6向量加法的运算律：交换律：abba；结合律：abcabc7向量减法的有关概念:若bxa，则向量x叫做a与b的差，记作ab，求两个向量差的运算，叫做向量的减法
5、8向量减法的作图方法:在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则BA BO OA OB OA a b，即ab表示从向量b的终点指向被减向量a的终点的向量9向量的数乘的定义：一般的，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下： （1）aa；(2 ) 当0 时，a与a方向相同，当0 时，a与a，方向相反，当0时，a0实数与向量a相乘，叫做向量的数乘10向量数乘的运算律： （1）()()aa(结合律 )；（2）()aaa(分配律 )； （ 3）()abab(分配律 )11向量共线定理：一般地，对于两个向量a（0a） ，b，如果有一个实数，使得(0)ba a，那么b与a是共线向量， 反之
6、， 如果b与a（0a） 是共线向量， 那么有且只有一个实数， 使得ba12平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=11e+22e我们把不共线的向量1e，2e叫做表示这个平面内所有向量的一组基底13向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得 a=xi+yj ， 则把（ x，y）叫做向量的直角坐标，记作：a=(x，y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，式为向量的坐标表示14
7、向量坐标运算： 已知),(11yxa，),(22yxb，1212(,)a bxx yy，1212(,)abxxyy，),(11yxa两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标15共线向量坐标表示的一般性结论：设a11(,)xy， b22(,)xy（ a ） ，如果ab，那么12210x yx y；反过来，如果12210x yx y，那么 ab结论（简单表示） ：向量a与b共线0b01221yxyxba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎
8、下载16.向量的夹角：对于两个 非零 向量a和b，作 OA =a， OB =b，则AOB（0 180 ）叫做向量a和b的夹角 特别地，当 =0 时， a 与 b 同向；当 =180 时， a 与 b反向；当 =90 时，则称向量a 与 b垂直，记作ab17. 平面向量数量积：已知两个 非零 向量 a 和 b，它们的夹角是 ，我们把数量 |a|b|cos 叫做向量a 和 b的数量积（或内积） （scalar product of vectors ） ，记作 ab，即： a b=|a|b|cos 我们规定 ：零向量与任一向量的数量积为0向量数量积模的性质：当 a 与 b 同向时， ab=|a|b|
9、；当 a 与 b 反向时， ab=|a|b|特别地， aa=|a|2或|a|= aa向量数量积的运算律：设向量 a， b，c 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）ab=ba； （交换律）； （2） （ a） b=a （ b）= （ab）= a b； （结合律）；（3） （a+b） c=ac+bc （分配律）。18.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a= (x1,y1)， b= (x2,y2)，则 ab=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和推论及公式：设 a=（x， y） ，则 a2=x2+y2，即 |a|=x2+y2两点 A（x1， y1） ，B（x2，
10、y2）间的距离公式为AB = 221212xxyya=(x1,y1)，b= (x2,y2)，它们的夹角为 ，则有121222221122cosx xy yxyxya ba b0aba b1212x xy y =019.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：二典型例题分析向量运算 /定理 /定义几何意义物理学原型相反向量：a作用力与反作用力加法： a + b三角形法则（平行四边形法则）位移的合成、力的合成减法： ab三角形法则 （减法是加法的逆运算）数乘： a共线向量（ b = a (a 0)b/a）位移 =速度时间平面向量基本定理力的分解数量积：ab = |a|
11、|b| cos功精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载例1. 在四边形ABCD 中, 已知ADABAC, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形? 例2. 化简：（1）AB BC CD_； （ 2）AB AD DC_； （3）()()AB CDACBD_例3. 若AB=3e1,CD=5e1,且|AD|=|BC|，判断四边形ABCD 的形状例4. 若112()(3 )032xabcxb，则x_例5. 已 知 向 量a 、 b 不 共 线 ， 实 数x 、 y满 足 向 量 等 式3xa+(10 y)b=2x
12、b+(4y+4)a, 则x=_, y=_例6. 向量(1,1)a，且与ba2的方向相同，则ba的取值范围是), 1(例7. 已知OA=(-1，2)，OB=(3，m)，若OAOB，则 m 的值为 _例8. 已知| 1,|2,0,OAOBOA OB点C在AOB内， 且045AOC， 设O C m O A n O B， 其中,m nR，则mn等于 _. 例9. 已知向量),2, 1(),1, 3(ba则ba23的坐标是 _例10. 已知平面内三点ACBAxCBA满足), 7(),3, 1(),2,2(，则 x 的值为 _例11. 设 向 量)2, 1(),1 , 3(OBOA， 向 量OC垂 直 于
13、 向 量OB， 向 量BC平 行 于OA， 试 求ODOCOAOD,时的坐标例12. 已知babakba3),2 ,3(),2, 1(与垂直，求实数k 的值例13. 已知 |p|=22，|q|=3，p、q 的夹角为45 ，求以a=5p+2q，b=p3q 为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长例14. 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（, 0)()2ACABDADCDB试判断 ABC的形状例15. 已知 |a|=3 ，|b|=4， (且a与b不共线 )， 当且仅当k 为何值时，向量a+kb与a kb互相垂直? 例16. 已知向量a、b 满足bbabaa求，5,53例17. 若向量a，
14、b满足12ab，且a与b的夹角为3，则ab_例18. 已知CBA,为平面上不共线的三点，若向量AB= （1， 1） ，n= （1， 1） ， 且nAC=2， 则nBC等于 _例19. ABC 中，3|AB，4| AC，5| BC，则BCAB_（答： 9）例20. 已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当_时，点 P 在第一、三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载象限的角平分线上（答：12） ；例21. 已知(1,1),(4, )abx，2uab，2vab，且/uv，则
15、 x_（答： 4） ；例22. 已知 ABC 中， A（2， 1） ，B（3，2） ，C（ 3， 1） ，BC 边上的高为AD，求点 D 和向量 AD的坐标例23. 已知 a、b都是非零向量，且a3b 与 7a5b垂直， a4b 与 7a2b 垂直，求a 与 b 的夹角例24. 把一个函数图像按向量)2,3(a平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(xy，则原函数的解析式为 （xycos）例25.设向量a与b的夹角为，(3 3)a，2( 11)ba，则cos_(3 1010) 例26. 设 向 量( 3, 1) ,( 1, 2O AO B， 向 量OC垂 直 于 向 量OB， 向 量BC平
16、行 于OA， 试 求,ODO AOCOD时的坐标例27.已知13(3, 1),(,),22ab若存在不为零的实数k和角，使得sin3,sincab dkab，且cd，试求实数k的取值范围例28.已知 M(1+cos2x，1)，N(1，3sin2x+a)(x，aR，a 是常数 )，且 y=OMON(O 是坐标原点)求 y 关于 x 的函数关系式y=f(x)；若 x0，2，f(x)的最大值为4，求 a 的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+6)的图象经过怎样的变换而得到例29.已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a（ 1，2） 。若 |c|52，且ac /，求c的坐标；若 |b|=,25且ba2与ba2垂直，求a与b的夹角 .例30.平面内向量)7 , 1(OA，)1 , 5(OB，) 1 ,2(OP)，点 X 为直线 OP 上动点 . 当XBXA取最小值时，求OX的向量坐标 . 当点 X 满足中条件和结论时，求cosAXB 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
