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1、平面向量的数量积平面向量的数量积一、引入:一、引入:一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的作用下产生的位移的位移s,那么力,那么力F 所做的功所做的功应当怎样计算?应当怎样计算?SF力做的功:W = |F| |s|cos,是F与s的夹角向量的数量积1两个非零向量夹角的概念说明:(1)当0时,a与同向;(2)当时,a与反向;(3)当/2时,a与垂直, 记a;(4)注意在两向量的夹角定义中,两向量必 须是同起点的.范围0180baOabO已知非零向量a与,作 a, ,则(0)叫a与的夹角.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与,它们的夹角是,则数量|a|b|cos叫a与的数量积,记
2、作a b,即有 a b =|a|b|cos,().规定0与任何向量的数量积为0。探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定。(2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;符号“ ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替.(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;在数量积中,若a0,且ab=0,能不能推出b=0?为什么?(4)由ab = b c 能否推出a = c ?(5)在实数中,有(a b)c = a(b c),但是(a b)c a(b c) 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般
3、a与c不共线。3“投影”的概念:定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |b|;当 = 180时投影为 |b|。4向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 当a与b同向时,ab = |a|b|;当a与b反向时, ab = |a|b|。特例:特例:aa = |a|2或4 cos =5 |ab| |a|b|例
4、例1 判断正误,并简要说明理由.a00; 0a0;0 ; aa;若a0,则对任一非零有a0;a0,则a与中至少有一个为0;对任意向量a,都有(a)a();a与是两个单位向量,则a.例例2 已知a3,6,当a,a,a与的夹角是60时,分别求a.例例3 判断下列命题的真假:在ABC中,若 ,则ABC是锐角三角形;在ABC中,若 ,则ABC是钝角三角形;ABC为直角三角形的充要条件是例例3 判断下列命题的真假:在ABC中,若 ,则ABC是锐角三角形;在ABC中,若 ,则ABC是钝角三角形;ABC为直角三角形的充要条件是例例4 试证明:若四边形ABCD满足 则四边形ABCD为矩形.五、作业五、作业:习题5.6 16. 优化设计P81 强化训练 18.例例5 设正三角形ABC的边长为