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1、共焦场等相面分布图共焦场等相面分布图共焦场等相面分布图共焦场等相面分布图2.7 2.7 圆形镜共焦腔圆形镜共焦腔圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析解圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析解圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析解圆形镜共焦腔模式的积分方程有严格的解析解 超椭球函数超椭球函数超椭球函数超椭球函数！数学上，对超椭球函数的研究还不如长椭球函数！数学上，对超椭球函数的研究还不如长椭球函数！数学上，对超椭球函数的研究还不如长椭球函数！数学上，对超椭球函数的研究还不如长椭球函数！这里只讨论菲涅耳数这里只讨论菲涅耳数这里只讨论菲涅耳数这里只讨论菲涅耳数N N足够大时的近似解。足够大时的近
2、似解。足够大时的近似解。足够大时的近似解。一一. .拉盖尔拉盖尔高斯近似高斯近似当当当当 时，时，时，时，圆形镜共焦腔模积分方程的圆形镜共焦腔模积分方程的圆形镜共焦腔模积分方程的圆形镜共焦腔模积分方程的本征本征本征本征函数可近似为拉盖尔函数可近似为拉盖尔函数可近似为拉盖尔函数可近似为拉盖尔高斯函数。可用来描述圆高斯函数。可用来描述圆高斯函数。可用来描述圆高斯函数。可用来描述圆形镜共焦场的分布及相移特征。形镜共焦场的分布及相移特征。形镜共焦场的分布及相移特征。形镜共焦场的分布及相移特征。归一化常数归一化常数说明说明: : 和和 可任取其一，但当可任取其一，但当m=0时，只能取时，只能取 ，否则本
3、征函数无意义。，否则本征函数无意义。缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式1 1 1 1. . . .镜面上的场分布：镜面上的场分布：镜面上的场分布：镜面上的场分布：拉盖尔一一高斯函数拉盖尔一一高斯函数拉盖尔一一高斯函数拉盖尔一一高斯函数其中其中: :2.2.2.2.缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式3.3.3.3.前几阶镜面场函数前几阶镜面场函数前几阶镜面场函数前几阶镜面场函数4.4.4.4.本征值本征值本征值本征值二二. .拉盖尔拉盖尔高斯近似下共焦腔模的特征高斯近似下共焦腔模的特征1.1.1.1.模的振幅分布模的振幅分布模的振幅分布模的振幅分布基模基模基模基模高阶
4、模：与对应的本征函数一样。高阶模：与对应的本征函数一样。高阶模：与对应的本征函数一样。高阶模：与对应的本征函数一样。与方形镜的情形一样与方形镜的情形一样与方形镜的情形一样与方形镜的情形一样高阶模光斑尺寸：场高阶模光斑尺寸：场高阶模光斑尺寸：场高阶模光斑尺寸：场振幅下降为最外面一振幅下降为最外面一振幅下降为最外面一振幅下降为最外面一个极大值的个极大值的个极大值的个极大值的1/e1/e的点的点的点的点与镜面中心的距离。与镜面中心的距离。与镜面中心的距离。与镜面中心的距离。2.2.2.2.相位分布相位分布相位分布相位分布因因因因 为实函数，则等相位面也为镜面。为实函数，则等相位面也为镜面。为实函数，
5、则等相位面也为镜面。为实函数，则等相位面也为镜面。3.3.3.3.单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率几何相移几何相移几何相移几何相移附加相移附加相移附加相移附加相移单程相移单程相移单程相移单程相移谐振频率谐振频率谐振频率谐振频率可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜可见，相移特点以及频率的高度简并都与方形镜的类似！的类似！的类似！的类似！频率间隔：频率间隔：频率间隔：频率间隔：单程衍射损耗单程衍射损耗单程衍射损耗单程衍射损耗原因：实际中原因：实际中原因：实际中原因：实际
6、中N N N N总是取有限值。总是取有限值。总是取有限值。总是取有限值。与事实不符与事实不符与事实不符与事实不符因因因因此此此此，拉拉拉拉盖盖盖盖尔尔尔尔高高高高斯斯斯斯近近近近似似似似能能能能满满满满意意意意地地地地描描描描述述述述场场场场的的的的分分分分布布布布及相移特征，但不能用来分析模的损耗。及相移特征，但不能用来分析模的损耗。及相移特征，但不能用来分析模的损耗。及相移特征，但不能用来分析模的损耗。数值迭代表明，损耗仍然与数值迭代表明，损耗仍然与数值迭代表明，损耗仍然与数值迭代表明，损耗仍然与N N、mm、n n相关！每一相关！每一相关！每一相关！每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同
7、横模的损横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。耗各不相同。一般，阶次越高的模损耗也越大。而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗为而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗为而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗为而且在菲涅耳数相同时，圆形镜共焦腔的损耗为方形镜的几倍。方形镜的几倍。方形镜的几倍。方形镜的几倍。 三三. .圆形镜共焦腔的行波场圆形镜共焦腔的行波场圆形镜共焦腔的行波场的
8、推导方法与方形镜同圆形镜共焦腔的行波场的推导方法与方形镜同圆形镜共焦腔的行波场的推导方法与方形镜同圆形镜共焦腔的行波场的推导方法与方形镜同圆形镜共焦腔的行波场：圆形镜共焦腔的行波场：圆形镜共焦腔的行波场：圆形镜共焦腔的行波场：方形镜共焦腔的行波场：方形镜共焦腔的行波场：方形镜共焦腔的行波场：方形镜共焦腔的行波场：其中：其中：其中：其中：因此，因此，因此，因此，圆形镜共焦腔的行波场特性与方形镜类似。两圆形镜共焦腔的行波场特性与方形镜类似。两圆形镜共焦腔的行波场特性与方形镜类似。两圆形镜共焦腔的行波场特性与方形镜类似。两者基膜光束均为高斯光束，其振幅、光斑尺寸、等相者基膜光束均为高斯光束，其振幅、
9、光斑尺寸、等相者基膜光束均为高斯光束，其振幅、光斑尺寸、等相者基膜光束均为高斯光束，其振幅、光斑尺寸、等相位面的曲率半径和光束发散角也完全相同。位面的曲率半径和光束发散角也完全相同。位面的曲率半径和光束发散角也完全相同。位面的曲率半径和光束发散角也完全相同。3.3.3.3.基基基基模模模模光光光光斑斑斑斑尺尺尺尺寸寸寸寸沿沿沿沿腔腔腔腔轴轴轴轴以以以以双双双双曲曲曲曲线线线线规规规规律律律律变变变变化化化化; ; ; ; 等等等等相相相相位位位位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。面近似为球面
10、，在反射镜处，等相位面与镜面重合。四四. . 对称共焦腔的模式小结对称共焦腔的模式小结1. 1. 1. 1. 对对对对称称称称共共共共焦焦焦焦腔腔腔腔在在在在高高高高斯斯斯斯近近近近似似似似下下下下( ( ( (在在在在N N N N 1111时时时时), ), ), ), 自自自自再再再再现现现现模模模模可可可可以以以以用用用用厄厄厄厄米米米米高高高高斯斯斯斯或或或或拉拉拉拉盖盖盖盖尔尔尔尔高高高高斯斯斯斯函函函函数数数数近近近近似似似似描描描描述述述述场分布。基模对应的行波为基模高斯光束。场分布。基模对应的行波为基模高斯光束。场分布。基模对应的行波为基模高斯光束。场分布。基模对应的行波为基
11、模高斯光束。2.2.2.2.只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。8.8.8.8.解：在厄米高斯近似下，方形镜共焦腔面上的模解：在厄米高斯近似下，方形镜共焦腔面上的模解：在厄米高斯近似下，方形镜共焦腔面上的模解：在厄米高斯近似下，方形镜共焦腔面上的模的场分布为的场分布为的场分布为的场分布为 所以，模在腔面所以，模在腔面所以，模在腔面所以，模在腔面x x方向上方向上方向上方向上有三条等间距分布的节线，有三条等间距分布的节线，有三条等间距分布的节线，有三条等间距分布的节线，其间距为：其间距为：其间距为：其间距为：由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，即由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，即由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，即由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，即得：得：得：得：考虑到考虑到考虑到考虑到
