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1、名师精编欢迎下载数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线 ) 椭圆知识关系网椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 ,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义 : 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示 ) 标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形顶点(,0)a,(0,)b(0,)a,(,0)b对称轴x轴，y轴，长轴长为
2、2a，短轴长为2b焦点1(,0)Fc、2( ,0)Fc1(0,)Fc、2(0, )Fc焦距焦距为122 (0),FFc c222cab离心率eca(0eb0)的两个焦点， P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点, 若PF1F2=5PF2F1, 则椭圆的离心率为 ( ) (A)32 (B)63 (C)22 (D)23例 6. 设 A(2, 3)，椭圆 3x24y2=48 的右焦点是 F，点 P 在椭圆上移动，当|AP|2|PF|取最小值时 P 点的坐标是 () 。( A)(0, 23 ) ( B)(0, 23) (C) (23, 3 ) ( D) (23 , 3) 精选学习资料 - - -
3、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师精编欢迎下载椭圆例 7. P 点在椭圆1204522yx上，F1、F2是两个焦点，若21PFPF，则 P 点的坐标是. 例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：( 1) 长轴与短轴的和为18，焦距为 6; . ( 2) 焦点坐标为)0,3(,)0,3(,并且经过点 ( 2，1); . ( 3) 椭圆的两个顶点坐标分别为)0, 3(,)0, 3(,且短轴是长轴的31; _. ( 4) 离心率为23，经过点 ( 2，0); .例 9. 12FF、是椭圆2214xy的左、 右焦点， 点P在椭圆上运动，则12|
4、 |PFPF的最大值是例 10. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在 x 轴上，e=23，过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 P、Q两点， |PQ |=920，且 OPOQ ，求此椭圆的方程 . 双曲线知识关系网双曲线1.双曲线的定义：第一定义 ：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e叫做双曲线的离心率. 2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示 ) 标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形顶点(,0)a(0,)a对称轴x轴，y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b焦
5、点12(,0),( ,0)FcF c12(0,),(0, )FcFc焦距焦距为122 (0),F Fc c222cab离心率eca(e1) 准线方程2axc2ayc点 P(x0,y0) 的 焦 半 径公式如 需 要 用 到 焦 半 径 就 自 己 推 导 一 下 : 如 设00(,)P xy是 双 曲 线22221(0,0)xyabab上 一 点 , F右(c,o) 为 右 焦 点 ,点P到 相 应 准 线2:al xc的距离为d, 则PFed右. 当P在右支上时20adxc, 200()aPFe xexac右; 当P在左支上时20adxc, 200()aPFexaexc右即000|()|xM
6、Fexax右, 类似可推导000|()|xMFexax左双曲线例 11.命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于2a(a0)；命题乙： 点 P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 不充分也不必要条件例 12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23 的点的轨迹是（）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师精编欢迎下载双曲线例 13. 过点 (2，-2) 且与双曲线1222yx有相同渐
7、近线的双曲线的方程是( ) (A)12422yx(B)12422xy(C)14222yx(D)14222xy例 14. 如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么双曲线的离心率为（ ）（A）23（B）23（C）26（D）2例 15. 如果双曲线2216436xy上一点 P到它的左焦点的距离是8， 那么点 P到它的右准线的距离是 ( )( A)325(B)645( C)965( D)1285例 16.双曲 线221(1)xynn的两 焦 点为12,F FP在 双曲 线 上 ,且 满 足1222PFPFn,则12FPF的面积为 ( ) ( )1A1()2B()2C()4D例 17. 设ABC
8、的顶点)0,4(A，)0,4(B，且CBAsin21sinsin，则第三个顶点 C 的轨迹方程是 _. 例 18. 连结双曲线12222byax与12222axby( a0，b0) 的四个顶点的四边形面积为1S，连结四个焦点的四边形的面积为2S，则21SS的最大值是 _例 19.根据下列条件，求双曲线方程: 与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点 (- 3，32) ；与双曲线221164xy有公共焦点，且过点 (3 2，2). 例 20. 设双曲线2212yx上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）求直线 AB 方程；如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于C、D 两点，那么 A、B、C
9、、D是否共圆，为什么？抛物线知识关系网抛物线1.抛物线的定义 : 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 l上).定点 F 叫做抛物线的焦点 , 定直线 l 叫做抛物线的准线 . 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示 ) 标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpyp图形对称轴x轴x轴y轴y轴焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF顶点原点(0,0)准线2px2px2py2py离心率e1 点P(x0,y0) 的焦半径公式用到焦半径自己推导一下即可如:开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的
10、焦半径等于 x0+2p. 注: 1.通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦. 2. 22ypx(或22xpy)的参数方程为222xptypt( 或222xptypt)(t为参数 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师精编欢迎下载抛物线例 21. 顶点在原点，焦点是(0, 2)的抛物线方程是 ( ) (A)x2=8y(B)x2= 8y(C)y2=8x (D)y2=8x 例 22. 抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为 1， 则点M的纵坐标是 ( ) (A)1716(B)1516(C)78(D)0 例
11、 23.过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有( ) (A)4 条(B)3 条(C)2 条(D)1 条例 24. 过抛物线2yax(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF 与 FQ的长分别为 p、q，则11pq等于( ) (A)2a(B)12a(C) 4a(D)4a例 25. 若点 A 的坐标为 (3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移动，为使 |PA|+|PF|取最小值， P 点的坐标为 ( ) (A)(3，3) (B)(2，2) (C)(21，1) (D)(0，0) 例 26. 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线y=
12、- 2 相切，则圆心M 的轨迹方程是. 例 27. 过抛物线 y22px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为 y1、y2，则 y1y2_. 例 28. 以 抛物 线xy23的焦 点 为 圆心 ，通 径长为 半 径 的 圆的方 程是_. 例 29. 过点(- 1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范围是. 例 30 设0p是一常数，过点(2,0)pQ的直线与抛物线22ypx交于相异两点A、B，以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心） 。()试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上；()求圆 H 的面积最小时直线AB 的方程 . 轨迹问题上一章已经
13、复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线 ( 点的轨迹 ) 方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程 ，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型 ，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤 : 建、设、现（限）、代、化 .轨迹方程例 31. 已知两点 M（2，0） ，N（2，0） ，点 P 满足 PMPN =12，
14、则点 P 的轨迹方程为（）22()116xAy22()16B xy22()8C yx22()8D xy例 32.O1与O2的半径分别为 1 和 2，|O1O2|=4，动圆与 O1内切而与 O2外切，则动圆圆心轨迹是( ) (A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线(D)双曲线的一支例 33. 动点 P 在抛物线 y2=-6 x 上运动 ,定点 A(0,1) ,线段 PA中点的轨迹方程是( ) （A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x （C）(2 y-1)2=-12x（D）(2 y-1)2=12x 例 34. 过点A（2，0）与圆1622yx相内切的圆的圆心P的轨迹是（）（A）椭圆（B
15、）双曲线（C）抛物线（D）圆例 35. 已知ABC的周长是 16，)0,3(A，B)0,3(则动点的轨迹方程是 ( ) (A)1162522yx(B)0(1162522yyx(C)1251622yx(D)0( 1251622yyx例 36. 椭圆13422yx中斜率为34的平行弦中点的轨迹方程为. 例 37. 已知动圆 P与定圆 C: （x2）2y2相外切，又与定直线l：x相切 ,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是 _. 例 38. 在直角坐标系中 ,( 3,2),(35cos , 23sin )()AABRuu u r,则B点的轨迹方程是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - -
16、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师精编欢迎下载圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、0. 直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122( ,), (,)A x yB x y,则它的弦长2221212121211(1) ()41ABxxxxx xyy2kkk注:实质上是由两
17、点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已 (因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是 ,则12AByy . 注: 1. 圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。圆锥曲线综合问题例 39. AB 为过椭圆2222byax=1 中心的弦， F(c，0)为椭圆的右焦点，则
18、AFB的面积最大值是 ( ) (A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例 40. 若直线 ykx2 与双曲线622yx的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）()A315(,)315()B0(,)315()C315(,)0()D315(,)1例 41.若双曲线 x2y2=1 右支上一点 P( a, b) 到直线 y=x 的距离为2 ，则 ab的值是 (). 1( )2A1()2B1()2C或12(D) 2 或2 圆锥曲线综合问题例 42.抛物线 y=x2上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的坐标是 ( ) 1 1()(,)2 4A) (B)(1,1) (C) (49,23)
19、 (D) (2,4) 例 43. 抛物线 y2=4x 截直线2yxk所得弦长为 35，则 k 的值是 ( ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)- 4 例 44. 把曲线14:221kyxC按向量(1,2)a平移后得曲线2C， 曲线2C有一条准线方程为5x，则 k 的值为（）()3A()2B()3C()3D例 45.如果直线)1(xky与双曲线422yx没有交点，则k的取值范围是. 例 46. 已知抛物线22xy上两点),(),(2211yxByxA关于直线mxy对称，且2121xx，那么 m的值为. 例 47. 以双曲线32xy2=1 左焦点 F，左准线 l 为相应焦点、准线的椭圆截直线
20、 y=kx+3 所得弦恰被 x 轴平分，则 k 的取值范围是 _. 例 48. 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线y=2x 对称的两点 A、B?若存在，试求出 A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师精编欢迎下载数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线)答案例 1. D 例 2. B 例 3. C 先考虑 M+m =2a，然后用验证法. 例 4. B 提示： e=54,P 点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2， 2a=10, P 点到右焦点的距离是8， P 点
21、到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4 : 1; 例 5. B1212|22sin15sin751sin15sin75sin15cos15PFPFPFPFca，216232sin60cea. 例 6. C 提示：椭圆3x24y2=48 中，a=4, c=2, e=21, 设椭圆上的P 点到右准线的距离为d，则d|PF|=21, |AP|2|PF|=|AP|d, 当 AP 平行于x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时，|AP|d 为一直线段，距离最小，此时P 点纵坐标等于3， P 点坐标是 (23, 3) 例 7. (3,4) 或(- 3, 4) 例 8. (1)1162522yx或12516
22、22yx; (2) 13622yx; (3)1922yx或181922yx; (4) 1422yx或116422yx. 例 9. 12| |PFPF2212|()42PFPFa例 10. 解:设椭圆方程为22ax+22by=1,(ab0) PQ x 轴时， F(- c,0)，|FP|=ab2，又 |FQ |=|FP|且 OPOQ ， |OF|=|FP|,即 c=ab2ac=a2- c2,e2+e- 1=0, e=215与题设 e=23不符 ,所以 PQ不垂直 x 轴. PQ y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),e=23,a2=34c2,b2=31c2, 所以椭圆方程可化为:3
23、x2+12y2- 4c2=0,将 PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2- 4c2=0, x1+x2=2212324kck,x1x2=2222123412kcck由|PQ |=920得21k2222222123)412(4)12324(kcckkck=920OPOQ,11xy22xy= - 1 即 x1x2+y1y2=0,(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0把21xx，21xx代入，解得k2=114，把1142k代入解得c2=3a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为42x+y2=1. 例 11. B 例 12. C 例 13. D 例 14. C 例
24、 15. C 例 16. A 假设12PFPF,由双曲线定义122PFPFn且1222PFPFn, 解得122,2PFnn PFnn而1221F Fn由勾股定理得1 212112PFFSPF PF 点评 考查双曲线定义和方程思想. 例 17.)2(112422xyx例 18. 12例 19.设双曲线方程为22916xy( 0),22( 3)(23)91614, 双 曲 线 方 程 为221944xy; 设 双 曲 线 方 程 为221164xykk16040kk22(32)21164kk,解之得 k=4, 双曲线方程为221128xy评注：与双曲线22221xyab共渐近线的双曲线方程为222
25、2xyab( 0) ，当 0 时，焦点在x 轴上；当 0，b2- k0) 。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想. 例 20. 解题思路分析：法一：显然 AB 斜率存在设AB ： y- 2=k(x- 1) 由22212ykxkyx得： (2- k2)x2- 2k(2- k)x- k2+4k- 6=0 当 0 时，设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） 则122(2)22xxkkk k=1， 满足 0 直线 AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1） ，B（x2,y2）则221122221212yxyx两式
26、相减得： (x1-x2)(x1+x2)=21(y1- y2)(y1+y2) x1x2121212122()yyxxxxyy2 112ABk AB ：y=x+1 代入2212yx得： 0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立。（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件 .本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设 A、B、C、D 共圆于 OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即CD 上；又 CD 为弦，故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证C
27、D 中点 M 满足 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由22112yxyx得： A（- 1，0） ， B（3，4）又 CD 方程： y=- x+3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师精编欢迎下载由22312yxyx得： x2+6x- 11=0 设 C（x3,y3） ，D（x4,y4） ，CD 中点 M（x0,y0）则340003,362xxxyx M（- 3，6） |MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D 在以 CD 中点，
28、 M（- 3， 6）为圆心，102为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视. 例 21. B(22,4282ppxpyy即) 例 22. B 例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条，还有一条与x 轴平行的直线也满足要求。) 例 24. C 作为选择题可采用特殊值法, 取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p, q，则 p=q=|F K|1|2FKa而, 112241()2apqpa例 25.解析：运用抛物线的准线性质.答案： B 例 26.x2=8y例 27. p2例 28.223()94xy例 29.660,arct
29、anarctan,)22例 30. 解：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：pxky2. 又设),(),(BBAAyxByxA，则其坐标满足.2,22pxypxky消去 x 得04222ppkyy由此得.4,22pyypkyyBABA22224)2()(,)24()(4ppyyxxpkyykpxxBABABABA因此0ABABOA OBx xy y,即OAOB. 故 O 必在圆 H 的圆周上 . 又由题意圆心H（HHyx,）是 AB 的中点，故.2,)2(22kpyyypkxxxBABBAH由前已证OH 应是圆 H 的半径，且pkkyxOHHH45|2422.从而当 k=0 时，
30、圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小 .此时，直线AB 的方程为： x=2p. 注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系求解有时借助图形的几何性质更为简洁此题设直线方程为x=ky+2p； 因为直线过 x 轴上是点 Q(2p，0)，通常可以这样设，可避免对直线的斜率是否存在讨论2凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算3在引入点参数(本题中以AB 弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算量由OAOB
31、得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用4列出目标函数，|OH|=4524kkP，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路，也可利用基本不等式a2+b2 2ab 当且仅当a=b 时“ =” 成立求解例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 34. A 例 35. B 例 36. 9x+16y=0 (椭圆内部分例 37. y 8x例 38.221259xy例 39. 解析： SAFB=2SAOF，当点A 位于短轴顶点处面积最大.答案： D 例 40. D41. B 42. B 数形结合估算出D 例 43. D 例 40. C由已知得曲线1C的准线
32、为4x, 焦点在x轴上且24ac,24a, 2,1ac, 23kb例 45.k332332k或例 46.23例 47. ( 0，23)例 48. 解： 设 AB： y=21x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx 4( m2+ 1) =0, 这里=( 4m)2411 4( m2+1)=16( 2m2+11)0 恒成立，设 A(x1,y1) ,B( x2,y2) ,AB 的中点为M( x0,y0), 则 x1+x2=11m4，x0=112m,y0=21x0+m=1112m, 若 A、B 关于直线 y=2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，1112m=114m得 m=1，由双曲线的对称性知，直线y=21x 与双曲线的交点的A、B 必关于直线 y=2x 对称 .存在 A、B 且求得 A(112，111)，B(112，111) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
