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1、一、集合一、集合 常量与变量常量与变量 二、函数概念二、函数概念 三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、反函数四、反函数 1 1。1 1 函函 数数函数举例定义域、函数的图形、函数的定义、集合、 区间、 邻域、 常量与变量奇偶性、高等数学11集合常量与变量1. 集合集合集集合合(简简称称集集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。元素元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合M的元素表示为aM。集合的表示集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f, g。 (2) M=(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1。一、集合一、集合 常量与变
2、量常量与变量高等数学11集合常量与变量几个数集几个数集: N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。 R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。子集子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集，记为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。高等数学11集合常量与变量 数集x|axb称为开区间，记为(a, b)，即 (a, b)=x|axb。xOab(a， b) a, b=x|axb称为闭区间。xOaba， b a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb称为半开区间。xOaba， b)xOa
3、b(a， b区间区间: 上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为区间的端点，b-a 称为区间的长度。高等数学11集合常量与变量 xOaa，+)xOb(- ， b(-, b = x|xb，(-,+) = x| |x|0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。去心邻域去心邻域: (a,) =x |0| x-a |。xOa-a+U(a, )，xOa-a+(a， )a高等数学11集合常量与变量2. 常量与变量常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量
4、在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。 常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。 还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t 等。 变量 x 所取数值的全体组成的数集 M称为变量 x 的变域，此时 x 表示数集M中任何一个元素。高等数学11集合常量与变量 二、函数概念二、函数概念1. 举例举例 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。 由落体下落距离的计算公式为s= - gt2，t可取0, T内的任意值。12 圆内接正n
5、边形的周长的计算公式为 Sn=2nr sin - ， n可取3，4，5， 。pn高等数学11集合常量与变量2. 函数的定义函数的定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。 函数符号函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。高等数学11集合常量与变量值域：值域：W=y | y=f(x)，xD。定义域：定义域： 在数学中，
6、有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。高等数学11集合常量与变量求函数的定义域举例：求函数的定义域举例： 解: 要使函数有意义，必须x0，且x2-40。解不等式得|x|2。 函数的定义域为 D=x| |x|2，或D=(-, 22, +)。高等数学11集合常量与变量3. 函数的图形函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD所对应的图形称为函数y=f(x)的
7、图形。O yxC(x, y)xyWDy=f(x)高等数学11集合常量与变量 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4. 函数举例函数举例 例例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。 对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个：高等数学11集合常量与变量 例例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为W =2。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。yOxy=22高等数学11集合常量与变量 函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为
8、W=0, + )。yxOy=|x| x, x 0 -x, x0 0, 当x=0-1, 当xM。y=f(x)Oxyy= -Ky= K高等数学11集合常量与变量函数的有界性举例：函数的有界性举例： f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： | sin x | 1。-11yxO-2p -pp 2py=sin x高等数学11集合常量与变量Oxy1 2y=1/x 函 数f(x)=1/x在开区间(0, 1) 内是无界的。无界函数举例：无界函数举例： 函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0 x1M -1M，所以函数无上界。 此函数在(1, 2)内是有界的
9、。高等数学11集合常量与变量2. 函数的单调性函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数y= f(x)在区间I上有定义。如果对于区间 I 上任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有f(x1) f(x2)， 如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。高等数学11集合常量与变量3. 函数的奇偶性函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例：y=x2，y=cos x都是偶函数 偶函数的图形关于y轴对称。 设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x
10、)为偶函数。高等数学11集合常量与变量奇偶函数举例： y=x3，y=sin x都是奇函数。101x -22y 如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。高等数学11集合常量与变量 设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数的周期性函数的周期性高等数学11集合常量与变量 对于任一数值 yW，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合
11、关系 f(x)=y。四、反函数反函数如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。Oxyx1x2y0Dy=f(x)y=y0(x1, y0)(x2, y) 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。W高等数学11集合常量与变量Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调函数的反函数是单值函数 什么样的函数存在单值的反函数？高等数学11集合常量与变量Oxy-xxy=x2y y=x2 的反函数是多值函数： x= 。 把 x限制在区间 0,)，则y=x2 的反函数是单值的，即x= 。它称为函数y=x2 的反函数的一个单值分支。反函数的单值分支：反函数的单值分支： 另一个单值分支为x=- 。 高等数学11集合常量与变量 在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反函数写为y= 。反函数的图形：反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：关于反函数的变量符号：高等数学11集合常量与变量
