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1、04 第四讲抽象函数的类型与解法(答案)题型一正比例函数型的抽象函数1已知函数f(x)对任意实数x、y 均有 f(x y) f(x) f(y) ,且当 x0 时, f(x)0,f( 1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域;分析: 先证明函数f(x)在 R 上是增函数(注意到f(x2) f(x2x1) x1 f(x2x1) f(x1) ) ;再根据区间求其值域. 2已知函数f(x)对任意实数x、y 均有 f(x y) 2f( x) f(y) ,且当 x0 时, f(x)2,f(3) 5,求不等式f(a22a2)0,xN; f(ab) f(a)f(b) ,a、bN; f(2) 4.同时成立?
2、若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由. 分析:先猜出f( x) 2x;再用数学归纳法证明. 3已知函数f(x) (x 0)满足 f(xy) f(x) f(y) ,(1)求证: f(1) f( 1) 0;(2)求证: f(x)为偶函数;(3)若 f(x)在( 0,)上是增函数,解不等式f(x) f(x21) 0. 分析: 函数模型为: f(x) loga|x|(a 0)(1)先令 xy1,再令 xy 1;(2)令 y 1;(3)由 f(x)为偶函数,则f(x) f(|x|). 题型四对数函数型的抽象函数1设 f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,满足f(xy) f(x) f(y)
3、,f(3) 1,求:(1)求 f(1) ;(2)若 f(x) f(x8) 2,求 x 的取值范围 . 分析:(1)利用 313;( 2)利用函数的单调性和已知关系式. 2设函数 y f(x)的反函数是yg( x).如果 f( ab) f(a) f( b) ,那么 g(ab) g(a) g(b)是否正确,试说明理由. 分析: 设 f(a) m,f( b) n,则 g(m) a,g(n) b,进而 mnf(a) f(b)f( ab) f g(m)g(n). 3设 f(x) 是定义在( 0,+)上的增函数,且对任意的x,y( 0,+) ,都有 f(xy)=f(x)+f(y)。(1)求证:当x( 1,
4、+)时, f(x) 0;且 f(yx)=f(x)-f(y). (2)若 f(2)=1 ,解不等式f(x+2)-f(2x) 2. 分析: 由 f(xy)=f(x)+(y),不难想到f(x) 应为对数函数形式,所以f(1)=0 ,由题意条件,f(x) 为增函数,据此不难求解。解: (1)令 x=y=1 ,则由 f(xy)=f(x)+f(y)得 f(1 1)=f(1)+f(1). 即 f(1)=2f(1) ,f(1)=0 ,又由于函数f(x) 在( 0,+)上为增函数,所以对任意x( 1,+) ,有 f(x)f(1)=0 ,故 f(x) 0. 设 x,y( 0,+) ,则有( 0, +) ,于是 f
5、(x)=f(yxy) = f(yx) + f(y) ,即 f(yx)=f(x)-f(y). (2) 由于 f(2)=1 , 所以 f=f(2)+f(2)=f(2 2)=f(4) , 由 f(x+2)-f(2x) 2, f(x+2) f(2x)+f(4) , f(x+2) f(8x) ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页又因为函数f(x) 在( 0,+)上为增函数,所以x+28x,因 x( 0,+) ,所以0x72. 4已知定义在区间(0,+)上的函数f(x) 满足 f()21xx=f(x1)-f(x2),且当 x1
6、 时, f(x) 0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x )的单调性;(3)若 f(3)=-1, 解不等式f(|x|)-2.解 (1)令 x1=x20,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.(2)任取 x1,x2 (0,+ ),且 x1x2,则21xx1,由于当 x1 时, f(x) 0,所以 f)(21xx0,即 f(x1)-f(x2)0,因此 f(x1)f(x2),所以函数f(x) 在区间 (0,+)上是单调递减函数.( 3)由 f(21xx)=f(x1)-f(x2)得f()39=f(9)-f(3), 而 f(3)=-1, 所以 f(9)=-2.由于函数
7、f(x) 在区间( 0,+)上是单调递减函数,由 f(|x|)f(9), 得|x| 9, x9 或 x-9.因此不等式的解集为x|x 9 或 x-9. 5已知函数)(xf是定义在( 0,+)上的减函数,且满足f(xy) f(x) f(y) ,1)31(f;(1)求)1 (f; (2)若2)2()(xfxf,求 x 的取值范围;解: (1)令1yx,则0)1()1 () 1()1(ffff,;(2))91()31()31(112fff,)91()2(fxxf由)(xf为在( 0,+)上的减函数,得32213221,32213221,2,0,91)2(,02,0xxxxxxxx。6已知 f(x)
8、在定义域( 0,+)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, 试解不等式f(x)+f(x-8) 2. 解根据题意,由f(3)=1, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2.又 f(x)+f(x-8)=f x(x-8) ,故 fx(x-8) f(9).f(x)在定义域(0,+)上为增函数,, 9)8(080xxxx,解得 8x9. 7已知函数f(x)对一切实数x、y 满足 f(0) 0,f(xy) f(x) f(y) ,且当 x0 时, f(x) 1,求证:(1)当 x0 时, 0f(x) 1;(2)f(x)在 xR 上是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - -
9、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页分析: (1)先令 xy0 得 f(0) 1,再令 y x;(2)受指数函数单调性的启发:由 f(xy) f(x)f( y)可得 f(xy))()(yfxf,进而由 x1x2,有)()(21xfxff(x1x2) 1. 题型五三角函数型的抽象函数1已知函数f(x),g(x) 在 R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x),若f(1)=f(2) 0,求 g(1)+g(-1) 的值。分析: 由于 f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)的结构非常类似于两角差的正弦公式,而正弦函数为奇函数,所以本
10、题只要证明f(x) 为奇函数便可迎刃而解。解:设 x,s,tR,且 x=s-t,由于 f(-x)=f(t-x)=f(t)g(s)-f(s)g(t)=-f(s)g(t)-f(t)g(s)=-f(s-t)=-f(x),所以 f(x) 为奇函数。于是有 f(2)=ff1-(-1)=f(1)g(-1)-f(-1)g(1)=f(1)g(-1)+f(1)g(1)=f(1)g(-1)+g(1),由于 f(1)=f(2) 0,故上式变形得 g(-1)+g(1)=1. 2已知函数 f(x)满足 f(x+1)= )(1)(1xfxf,且 f(2)=2006 ,求 f(2006) 的值。分析: 由 f(x+1)=
11、)(1)(1xfxf的形式,不难联想到正切函数,如tan(x+4)=xxtan1tan1,而此函数是以T =4 4 = 为 周 期 , 所 以 不 难 猜 想f ( x ) = t a n4x , 其 周 期 为4 , 故 本 题 最 关 键 是求出 f(x) 的周期。解: 由于 f(x+2)=f(x+1)+1= )1(1)1(1xfxf=)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf= - )(1xf所以 f(x+4)=f(x+2)+2=-)2(1xf=f(x) f(x) 是以 4 为周期的周期函数,于是f(2006)=f(2)=(2006). 3已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以
12、下三个条件:x1、x2是定义域中的数时,有f(x1x2))()(1)()(1221xfxfxfxf;f(a)1(a0,a 是定义域中的一个数) ;当 0x2a 时, f(x) 0. 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由;(2)在( 0, 4a)上, f( x)的单调性如何?说明理由. 分析:(1)利用 f ( x1x2) f (x1x2),判定 f(x)是奇函数;(2)先证明 f(x)在( 0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数. 4已知定义在R 上的函数fx满足:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共
13、 11 页(1)值域为1,1,且当0x时,10fx;(2)对于定义域内任意的实数, x y,均满足:1fmfnf mnf m f n试回答下列问题:()试求0f的值; ()判断并证明函数fx的单调性;()若函数fx存在反函数g x,求证:21111511312ggggnnL讲解 : ()在1fmfnf mnfm fn中,令0,0mn,则有010fmffmfm f即:100f mfm ffmf也即:2010ff m由于函数fx的值域为1,1,所以,210f m,所以00f()函数fx的单调性必然涉及到fxfy,于是, 由已知1fmfnf mnf m fn,我们可以联想到:是否有1fmf nf m
14、nf m f n?()这个问题实际上是:fnf n是否成立?为此,我们首先考虑函数fx的奇偶性,也即fxfx与的关系由于00f,所以,在1fmfnf mnf m fn中,令nm,得0fmfm所以,函数fx为奇函数故()式成立所以,1fmf nf mnfm fn任取12,xxR,且12xx,则210xx,故210fxx且211,1fxfx所以,21212110fxfxfxxfxfx所以,函数fx在 R 上单调递减()由于函数fx在 R 上单调递减,所以,函数fx必存在反函数g x,由原函数与反函数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8
15、页,共 11 页关系可知:g x也为奇函数;g x在1,1上单调递减;且当10x时,0g x为了证明本题,需要考虑g x的关系式在()式的两端,同时用g作用,得:1fmfnmngfmfn,令,fmx f ny,则,mg xng y,则上式可改写为:1xyg xg ygxy不难验证:对于任意的,1,1x y,上式都成立 (根据一一对应) 这样,我们就得到了g x的关系式这个式子给我们以提示:即可以将2131nn写成1xyxy的形式,则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上,由于211112111211131121111212nnnnnnnnnnnn,所以,21113112gggnnnn所以,
16、211151131gggnnL1111112334121122111222ggggggnnggngggnL题型六综合类型1 (1)函数Rxxf,)(,若对于任意实数ba、,都有)()()(bfafbaf,求证:)(xf为奇函数;(2)函数Rxxf,)(,若对于任意实数ba、,都有)()(2)()(bfafbafbaf, 且0)0(f;求证:1)0(f;求证:)(xf为偶函数;(3)设函数)(xf定义在),(mm上,证明)(xf+)( xf是偶函数,)(xf-)( xf是奇函数;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页2已
17、知 f(x) 是实数集R 上的函数,且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立 . (1)求证: f(x) 是周期函数 . (2)已知 f(3)=2 ,求 f(2 004). (1)证明f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f).1()() 1()()()1(1)1(xfxfxfxfxfxfxf(x+3)=f).(1) 1(2) 1(xfxfxf(x+6)=f).()3(3)3(xfxfxf(x) 是周期函数且6 是它的一个周期. (2)解f(2 004)=f(334 6)=f(0)=-f(3)=-2. 3设 f(x)是定
18、义在 R 上的偶函数, 其图象关于直线x=1 对称,对任意 x1、x20,21都有 f(x1+x2)=f (x1) f(x2) ,且 f(1)=a0. (1)求 f(21)及 f(41)(2)证明: f(x)是周期函数;(3)记 an=f(2n+)21n,求 an.(1)解对 x1、x221,0,都有 f( x1+x2)=f(x1) f( x2) , f(x)=f()2()2()22xfxfxx0, x 0,1. f(1)=f(,)21()21()21()21212ffff(2)41()41()41()4141()21ffff. f(1)=a0, f(.)41(,)214121afa(2)证明
19、y=f (x)的图象关于直线x=1 对称,f(x)=f(1+1-x ) ,即 f(x)=f(2-x) ,xR.又由 f(x)是偶函数知,f(-x)=f (x) ,xR,f(-x)=f(2-x) ,xR.将上式中 -x 用 x 代换,得f(x)=f(x+2) ,xR.这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且2 是它的一个周期.(3)解由( 1)知 f(x) 0,x 0,1.f(nnnfnnf21)1(21)21()21=f(nnfn21)1()21=f()21()21nfn f(.)21()21nnfn又 f(.2121)21(,)21nanfaf(x)的一个周期是2, an=f(2n+n21)
20、=f(n21),an=an21. 4设函数 f(x) 在(-,+)上满足 f(2-x)=f(2+x) ,f(7-x)=f(7+x) ,且在闭区间 0,7上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0 在闭区间 -2 005, 2 005上的根的个数,并证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页解 (1)由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf从而知函数y=f(x) 的周
21、期为T=10.又 f(3)=f(1)=0, 而 f(7) 0,故 f(-3) 0.故函数 y=f(x)是非奇非偶函数.(2)由( 1)知 y=f(x) 的周期为10.又 f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故 f(x) 在 0,10和 -10,0上均有两个解,从而可知函数y=f(x) 在 0,2 005上有 402 个解,在-2 005,0上有 400 个解,所以函数y=f(x) 在 -2 005,2 005上有 802 个解 . 5已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对xR 有 f(x)0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+)(1xf,讨
22、论 F (x)的单调性,并证明你的结论。解: 这是抽角函数的单调性问题,应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x2,设 x1x2, f(x2)= f(x1),,)()(11)()()(1)()(1)()()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxFf(x)是 R 上的增函数,且f(10)=1,当 x10 时 0 f(x)10 时 f(x)1; 若 x1x25,则 0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,)()(1121xfxf0, F (x2)x15,则 f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, )()(1121xfxf0, F(x2) F (x1);综上, F (x)在(, 5)为减函数,在(5,+)为增函数。6( 2002 北京高考题)已知fx是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a bR都满足:f a baf bbf a()求0 ,1ff的值;()判断fx的奇偶性,并证明你的结论;( )若*222,nnffunNn,求数列nu的前n项的和nS答案与提示:2 ()010ff; ()奇函数; ()112nnS 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页