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1、04 第四讲抽象函数的类型与解法（答案）题型一正比例函数型的抽象函数1已知函数f（x）对任意实数x、y 均有 f（x y） f（x） f（y） ，且当 x0 时， f(x)0，f( 1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域；分析： 先证明函数f（x）在 R 上是增函数（注意到f（x2） f（x2x1） x1 f（x2x1） f（x1） ） ；再根据区间求其值域. 2已知函数f（x）对任意实数x、y 均有 f（x y） 2f（ x） f（y） ，且当 x0 时， f(x)2，f(3) 5，求不等式f（a22a2）0,xN； f（ab） f（a）f（b） ，a、bN； f（2） 4.同时成立？
2、若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出f（ x） 2x；再用数学归纳法证明. 3已知函数f（x） （x 0）满足 f（xy） f（x） f（y） ，（1）求证： f（1） f（ 1） 0；（2）求证： f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f（x） f（x21） 0. 分析： 函数模型为： f（x） loga|x|（a 0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数，则f（x） f（|x|）. 题型四对数函数型的抽象函数1设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy） f（x） f（y）
3、，f（3） 1，求：（1）求 f（1） ；（2）若 f（x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 分析：（1）利用 313；（ 2）利用函数的单调性和已知关系式. 2设函数 y f（x）的反函数是yg（ x）.如果 f（ ab） f（a） f（ b） ，那么 g（ab） g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析： 设 f（a） m，f（ b） n，则 g（m） a，g（n） b，进而 mnf（a） f（b）f（ ab） f g（m）g（n）. 3设 f(x) 是定义在（ 0，+）上的增函数，且对任意的x,y（ 0，+） ，都有 f(xy)=f(x)+f(y)。（1）求证：当x（ 1，
4、+）时， f(x) 0；且 f(yx)=f(x)-f(y). （2）若 f(2)=1 ，解不等式f(x+2)-f(2x) 2. 分析： 由 f(xy)=f(x)+(y)，不难想到f(x) 应为对数函数形式，所以f(1)=0 ，由题意条件，f(x) 为增函数，据此不难求解。解： （1）令 x=y=1 ，则由 f(xy)=f(x)+f(y)得 f(1 1)=f(1)+f(1). 即 f(1)=2f(1) ，f(1)=0 ，又由于函数f(x) 在（ 0，+）上为增函数，所以对任意x（ 1，+） ，有 f(x)f(1)=0 ，故 f(x) 0. 设 x,y（ 0，+） ，则有（ 0， +） ，于是 f
5、(x)=f(yxy) = f(yx) + f(y) ，即 f(yx)=f(x)-f(y). （2） 由于 f(2)=1 ， 所以 f=f(2)+f(2)=f(2 2)=f(4) ， 由 f(x+2)-f(2x) 2， f(x+2) f(2x)+f(4) ， f(x+2) f(8x) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页又因为函数f(x) 在（ 0，+）上为增函数，所以x+28x，因 x（ 0，+） ，所以0x72. 4已知定义在区间（0，+）上的函数f(x) 满足 f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当 x1
6、 时， f(x) 0. （1）求 f(1)的值；（2）判断 f(x ）的单调性；（3）若 f(3)=-1, 解不等式f(|x|)-2.解 （1）令 x1=x20,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.（2）任取 x1,x2 (0,+ )，且 x1x2,则21xx1,由于当 x1 时， f(x) 0,所以 f)(21xx0,即 f(x1)-f(x2)0,因此 f(x1)f(x2),所以函数f(x) 在区间 (0,+)上是单调递减函数.（ 3）由 f(21xx)=f(x1)-f(x2)得f()39=f(9)-f(3), 而 f(3)=-1, 所以 f(9)=-2.由于函数
7、f(x) 在区间（ 0,+）上是单调递减函数，由 f(|x|)f(9), 得|x| 9, x9 或 x-9.因此不等式的解集为x|x 9 或 x-9. 5已知函数)(xf是定义在（ 0，+）上的减函数，且满足f（xy） f（x） f（y） ，1)31(f；（1）求)1 (f； （2）若2)2()(xfxf，求 x 的取值范围；解： （1）令1yx，则0)1()1 () 1()1(ffff，；（2）)91()31()31(112fff，)91()2(fxxf由)(xf为在（ 0，+）上的减函数，得32213221,32213221,2,0,91)2(,02,0xxxxxxxx。6已知 f(x)
8、在定义域（ 0，+）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, 试解不等式f(x)+f(x-8) 2. 解根据题意，由f(3)=1, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2.又 f(x)+f(x-8)=f x(x-8) ,故 fx(x-8) f(9).f（x）在定义域（0,+）上为增函数，, 9)8(080xxxx，解得 8x9. 7已知函数f（x）对一切实数x、y 满足 f（0） 0，f（xy） f（x） f（y） ，且当 x0 时， f（x） 1，求证：（1）当 x0 时， 0f（x） 1；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - -
9、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页分析： （1）先令 xy0 得 f（0） 1，再令 y x；(2)受指数函数单调性的启发：由 f（xy） f（x）f（ y）可得 f（xy）)()(yfxf，进而由 x1x2，有)()(21xfxff（x1x2） 1. 题型五三角函数型的抽象函数1已知函数f(x),g(x) 在 R 上有定义，且f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)，若f(1)=f(2) 0，求 g(1)+g(-1) 的值。分析： 由于 f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)的结构非常类似于两角差的正弦公式，而正弦函数为奇函数，所以本
10、题只要证明f(x) 为奇函数便可迎刃而解。解：设 x,s,tR，且 x=s-t,由于 f(-x)=f(t-x)=f(t)g(s)-f(s)g(t)=-f(s)g(t)-f(t)g(s)=-f(s-t)=-f(x)，所以 f(x) 为奇函数。于是有 f(2)=ff1-(-1)=f(1)g(-1)-f(-1)g(1)=f(1)g(-1)+f(1)g(1)=f(1)g(-1)+g(1)，由于 f(1)=f(2) 0，故上式变形得 g(-1)+g(1)=1. 2已知函数 f(x)满足 f(x+1)= )(1)(1xfxf，且 f(2)=2006 ，求 f(2006) 的值。分析： 由 f(x+1)=
11、)(1)(1xfxf的形式，不难联想到正切函数，如tan(x+4)=xxtan1tan1，而此函数是以T =4 4 = 为 周 期 ， 所 以 不 难 猜 想f ( x ) = t a n4x , 其 周 期 为4 ， 故 本 题 最 关 键 是求出 f(x) 的周期。解： 由于 f(x+2)=f(x+1)+1= )1(1)1(1xfxf=)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf= - )(1xf所以 f(x+4)=f(x+2)+2=-)2(1xf=f(x) f(x) 是以 4 为周期的周期函数，于是f(2006)=f(2)=(2006). 3已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以
12、下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数） ；当 0x2a 时， f（x） 0. 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（ 0， 4a）上， f（ x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用 f （ x1x2） f （x1x2），判定 f（x）是奇函数；(2)先证明 f（x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 4已知定义在R 上的函数fx满足：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
13、 11 页（1）值域为1,1，且当0x时，10fx；（2）对于定义域内任意的实数, x y，均满足：1fmfnf mnf m f n试回答下列问题：（）试求0f的值； （）判断并证明函数fx的单调性；（）若函数fx存在反函数g x，求证：21111511312ggggnnL讲解 ： （）在1fmfnf mnfm fn中，令0,0mn，则有010fmffmfm f即：100f mfm ffmf也即：2010ff m由于函数fx的值域为1,1，所以，210f m，所以00f（）函数fx的单调性必然涉及到fxfy，于是， 由已知1fmfnf mnf m fn，我们可以联想到：是否有1fmf nf m
14、nf m f n？（）这个问题实际上是：fnf n是否成立？为此，我们首先考虑函数fx的奇偶性，也即fxfx与的关系由于00f，所以，在1fmfnf mnf m fn中，令nm，得0fmfm所以，函数fx为奇函数故（）式成立所以，1fmf nf mnfm fn任取12,xxR，且12xx，则210xx，故210fxx且211,1fxfx所以，21212110fxfxfxxfxfx所以，函数fx在 R 上单调递减（）由于函数fx在 R 上单调递减，所以，函数fx必存在反函数g x，由原函数与反函数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8
15、页，共 11 页关系可知：g x也为奇函数；g x在1,1上单调递减；且当10x时，0g x为了证明本题，需要考虑g x的关系式在（）式的两端，同时用g作用，得：1fmfnmngfmfn，令,fmx f ny，则,mg xng y，则上式可改写为：1xyg xg ygxy不难验证：对于任意的,1,1x y，上式都成立 （根据一一对应） 这样，我们就得到了g x的关系式这个式子给我们以提示：即可以将2131nn写成1xyxy的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于211112111211131121111212nnnnnnnnnnnn，所以，21113112gggnnnn所以，
16、211151131gggnnL1111112334121122111222ggggggnnggngggnL题型六综合类型1 （1）函数Rxxf，)(，若对于任意实数ba、，都有)()()(bfafbaf，求证：)(xf为奇函数；（2）函数Rxxf，)(，若对于任意实数ba、，都有)()(2)()(bfafbafbaf， 且0)0(f；求证：1)0(f；求证：)(xf为偶函数；（3）设函数)(xf定义在),(mm上，证明)(xf+)( xf是偶函数，)(xf-)( xf是奇函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页2已
17、知 f(x) 是实数集R 上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立 . (1)求证： f(x) 是周期函数 . (2)已知 f(3)=2 ，求 f(2 004). （1）证明f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f).1()() 1()()()1(1)1(xfxfxfxfxfxfxf(x+3)=f).(1) 1(2) 1(xfxfxf(x+6)=f).()3(3)3(xfxfxf(x) 是周期函数且6 是它的一个周期. (2)解f(2 004)=f(334 6)=f(0)=-f(3)=-2. 3设 f（x）是定
18、义在 R 上的偶函数， 其图象关于直线x=1 对称，对任意 x1、x20，21都有 f（x1+x2）=f （x1） f（x2） ，且 f(1)=a0. （1）求 f(21)及 f(41)（2）证明： f（x）是周期函数；（3）记 an=f(2n+)21n，求 an.（1）解对 x1、x221,0，都有 f（ x1+x2）=f（x1） f（ x2） ， f（x）=f()2()2()22xfxfxx0， x 0，1. f（1）=f(,)21()21()21()21212ffff(2)41()41()41()4141()21ffff. f(1)=a0, f(.)41(,)214121afa（2）证明
19、y=f （x）的图象关于直线x=1 对称，f（x）=f（1+1-x ） ，即 f（x）=f（2-x） ，xR.又由 f（x）是偶函数知，f（-x）=f （x） ，xR，f（-x）=f（2-x） ，xR.将上式中 -x 用 x 代换，得f（x）=f（x+2） ，xR.这表明 f（x）是 R 上的周期函数，且2 是它的一个周期.（3）解由（ 1）知 f（x） 0，x 0，1.f(nnnfnnf21)1(21)21()21=f(nnfn21)1()21=f()21()21nfn f(.)21()21nnfn又 f(.2121)21(,)21nanfaf（x）的一个周期是2， an=f(2n+n21)
20、=f(n21),an=an21. 4设函数 f(x) 在（-,+)上满足 f(2-x)=f(2+x) ，f(7-x)=f(7+x) ，且在闭区间 0，7上，只有 f(1)=f(3)=0. （1）试判断函数y=f（x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0 在闭区间 -2 005， 2 005上的根的个数，并证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页解 （1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf从而知函数y=f(x) 的周
21、期为T=10.又 f(3)=f(1)=0, 而 f(7) 0,故 f(-3) 0.故函数 y=f（x)是非奇非偶函数.（2）由（ 1）知 y=f(x) 的周期为10.又 f（3）=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故 f(x) 在 0，10和 -10，0上均有两个解，从而可知函数y=f(x) 在 0，2 005上有 402 个解，在-2 005，0上有 400 个解，所以函数y=f(x) 在 -2 005，2 005上有 802 个解 . 5已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+)(1xf，讨
22、论 F (x)的单调性，并证明你的结论。解： 这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x2，设 x1x2， f(x2)= f(x1)，,)()(11)()()(1)()(1)()()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxFf(x)是 R 上的增函数，且f(10)=1，当 x10 时 0 f(x)10 时 f(x)1; 若 x1x25，则 0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,)()(1121xfxf0, F (x2)x15，则 f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, )()(1121xfxf0, F(x2) F (x1)；综上， F (x)在（， 5）为减函数，在（5，+）为增函数。6（ 2002 北京高考题）已知fx是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a bR都满足：f a baf bbf a（）求0 ,1ff的值；（）判断fx的奇偶性，并证明你的结论；（ ）若*222,nnffunNn，求数列nu的前n项的和nS答案与提示：2 （）010ff； （）奇函数； （）112nnS 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
