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1、第六章圆第六章圆 第第1讲讲圆的有关性质圆的有关性质 了解了解弧、弦、圆心角的关系，三角形的外接圆，内切圆，内心，弧、弦、圆心角的关系，三角形的外接圆，内切圆，内心，外心外心理解理解圆的定义，圆周角与圆心角的关系圆的定义，圆周角与圆心角的关系掌握掌握垂径定理，圆的对称性垂径定理，圆的对称性熟练掌握熟练掌握利用垂径定理进行的计算、证明利用垂径定理进行的计算、证明.一、圆的有关概念一、圆的有关概念1平面上，到_的距离等于_的所有点组成的图形叫做圆，圆的位置由_确定，圆的大小由_确定2连接_的线段叫做弦，经过_的弦叫做直径定点 定长 圆心 半径 圆上任意两点 圆心 3圆上_的部分叫做圆弧；圆的任 意
2、 一 条 直 径 的 两 个 端 点 分 圆 成 _， 每 条_都叫做半圆；大于半圆的弧叫_；小于半圆的弧叫_由_及其所对的_组成的图形叫做弓形4能够_的两个圆叫等圆，在同圆或等圆中，能够_的弧叫等弧；圆心_，半径_的两个圆叫同心圆5顶点是_的角是圆心角；顶点在_，并且两边都和圆_的角叫圆周角任意两点间 两条弧 弧 优弧 劣弧 弦 弧 重合 重合 相同 不相等 圆心 圆上 相交 6经过三角形各_的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的_；和三角形三边都相切的圆可以作出_个，这个圆叫做三角形的_圆，内切圆的圆心是三角形_的交点，叫做三角形的内心友情提示：(1)确定圆要有两个要素：圆心和半
3、径(2)等弧必须是同圆或等圆中的弧，弧长相等的弧不一定是等弧顶点 外心 内切 三条角平分线 1 二、圆的对称性二、圆的对称性1圆是轴对称图形，其对称轴是_2圆是一个_图形，对称中心是_友情提示：圆有无数条对称轴！经过圆心的任意直线 中心对称 圆心 三、垂径定理及推论三、垂径定理及推论1垂直于弦的直径_，并且平分弦所对的_2平分弦(非直径)的直径_于弦，并且平分弦所对的_；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的_3圆的两条平行弦所夹的弧_平分这条弦 弧 垂直 弧 弦 相等 友情提示：(1)根据圆的轴对称性，在以下五条结论中，.直径；.平分弦；.垂直弦；.平分优弧；.平分劣弧只要满足其中的两条，另外三条
4、结论一定成立，即“知二推三”；(2)使用垂径定理时，常需要作出弦心距，利用“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形达到求解的目的；(3)在较复杂的图形中注意准确识别垂径定理的基本图形四、圆周角定理和推论四、圆周角定理和推论1一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_2在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角_，圆周角_；直径所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_友情提示：相等的圆周角对的弧不一定相等，所对的弦不一定相等，因为这些弧、弦不一定在同圆或等圆中！一半 相等 相等 直角(90) 直径 五、确定圆的条件_的三个点确定一个圆不在同一条直线上 1过圆内一点P的最长弦为4cm，最短的弦长为2cm
5、，则P到圆心O的距离为()A 2如图611，已知圆心角BOC78，则圆周角BAC的度数是()A156 B78 C39 D12C 3下列说法弦是直径；半径相等的圆是等圆；长度相等的弧是等弧；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4C 4如图612所示，已知CD是O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若D50，则A_度25 5三角形的外心是_的交点，三角形的内心是_的交点6如图613所示，O的直径CD与弦AB相交于点M，添加条件_(写出一个适合的条件)可得到M点是AB的中点三边垂直平分线 三个内角平分线 本考点包括圆的定义，确定圆的条件，对弧
6、、弦、圆心角、圆周角的认识和判断，等弧的判定，等圆的判定，要正确认识这些基本概念，抓住各个概念的前提条件，尤其是对等弧的认识，前提是：同圆或等圆中，其次明确各图形的关键的顶点、边虽然对这些基本概念在中考中很少单独考查，但它们是与圆相关的其它知识的基础，不可忽视【例1】下列命题中，正确的是()顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等 A B C D思路分析：直接考查对圆基本概念的认识，要准确判断应紧扣圆周角定义，圆周角与圆心角的关系定理等圆周角应满足顶点在圆上；两边与圆相交两个条件，二者缺一不
7、可圆周角与圆心角的关系应强调“同一条弧所对的”直径所对的圆周角是90，反之亦然答案：B圆既是轴对称图形又是中心对称图形，由此推出了垂径定理以及它的推论，根据垂径定理中非直径的弦、直径、弧三者的位置和数量关系可以证明线段相等、弧相等、垂直关系等解决方法一般通过作出半径，由半径、半弦、弦心距三者构成直角三角形结合勾股定理、三角形全等进行计算、证明【例2】如图614所示，AB、CD是O的两条弦，且ABCD，垂足为E.AE5cm，BE13cm，求圆心O到弦CD的距离思路分析：求一点到一条线的距离，需要由这一点向该线段作垂线段，即作OFCD于点F，求OF的长即可但已知线段AE、BE的长，所以应用弦AB与
8、OF建立联系方可在圆中出现了弦，通常要作出弦心距这条辅助线，可作OMAB于M，再由垂径定理可求得AM，因为OFEMAMAE，所以可求出OF的长度，即点O到CD的距离根据“半圆或直径所对的圆周角都相等，都是直角；90的圆周角所对的弦是直径”可以在圆中构造出直角三角形，用于角度数的计算，弦长度、圆半径等的计算问题由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等”以及它的逆命题可由已知圆周角计算圆心角，已知圆心角求圆周角，注意这都是在同圆或等圆中由弧相等转化为角相等，反之，由角相等又得到弧相等【例3】如图615所示，A、B、C是O上的三点，已知O60，则C()A20 B25
9、C30 D45答案：C 【例4】如图616所示，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD60，则DBC的度数为()A30 B40C50 D60答案：A 任何一个三角形都有一个外接圆和一个内切圆外接圆经过三角形的三个顶点，内切圆与三角形的三边相切外心到三角形三个顶点的距离相等，内心到三角形三边的距离相等以上性质在解决有关三角形与圆结合的问题中可用于求圆的半径求点到线的距离等计算型问题此类问题通常要通过连接圆心与三角形的顶点，由圆心向三角形的边作垂线段构造出三角形解决【例5】如图617所示，O与ABC的三边都相切，切点分别为D、E、F，如果FDE70，那么A的大小是多少？思路分析：因为O
10、是ABC的内切圆，所以应用三角形内切圆的性质，连接OE、OF，可得OEAC，OFAB，再结合圆周角与圆心角的关系可求得EOF的度数，再利用四边形AFOE的内角和为360便可求出A的度数解：连接OE、OF，则OEAC，OFAB.AEOAFO90.又由EOF2FDE140(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，A360AEOAFOEOF360909014040.1如图618所示，O的直径AB4，点C在O上，ABC30，则AC的长是()图618 D 2如图619所示，ABC是O的内接三角形，若ABC70，则AOC的度数是()A110 B120 C130 D140图619 D 3.(2010绍
11、兴)已知O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是() A3 B4 C6 D8D 4(2010河北)如图6110所示，在55正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心是()A点P B点Q C点R D点M解析：圆心为弦AB、BC的垂直平分线的交点B 5如图6111所示，AB是O的直径，点C、D在O上，BOC110，且ADOC，那么AOD_.40 6如图6112所示，AB是O的直径，CD是弦，ABCD于点E，则点C和点D之间的位置关系是_ _，图中相等的线段有_，相等的弧有_关于直线AB对称OCOD，CEDE 7如图6113所示，圆弧形桥拱的跨度AB12米，拱高CD4米，那么该拱桥的半径为_米6.5 8如图6114所示，已知AB是O的直径，弦CDAB，若ABD65，则ADC_.解析：AB是直径，ADB90，A906525.又CDAB，ADCA25.25 解：如答图611所示，连接OM.过点O作ODMN于点D，答图611 1.利用垂径定理进行的计算或证明，通常作出弦心距，半径从而构造直角三角形进行计算、证明；2.根据直径所对的圆周角是直角可构造直角或直角三角形，称为“见直径，出直角”；3.利用同弧或等弧所对的圆周角相等，圆心角相等进行角的等量代换以证明角的相等.
