《2022年数学分析复习总结隐函数的几何应用和条件极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学分析复习总结隐函数的几何应用和条件极值（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载数学分析 (下)复习总结几何应用、条件极值几何应用一平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程0, yxF(1) 给出，它在点000, yxP的某邻域内满足隐函数定理条件，于是在0P附近所确定的连续可微隐函数ygxxfy或和方程 (1) 在0P附近表示同一曲线，从而该曲线在点0P处存在切线和法线，其方程分别为)(000xxxfyy)(000yyygxx或与0001xxxfyy ( 或0001yyygxx) 由于yxFFxf (或xyFFyg) 所以曲线 (1) 在点处的切线和法线方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
2、页，共 16 页学习好资料欢迎下载切线: 0,000000yyyxFxxyxFyx法线：0,000000yyyxFxxyxFxy例题例1：求曲线22333xyxxyy在点（ 1,1 ）处的切线方程和法线方程。解：令22333,yxxyyxyxF，则6231,1232xyyyxFx，6231 ,1223yxxyxFy，所以该曲线在点 (1,1) 处的法向量为1 , 1n, 于是求得切线和法线分别为切线方程：2,0111-x1yxy即, 法线方程：yxy即,1111-x二、空间曲线的切线和法平面( 一) 空间曲线 ( 光滑)L:)()()(tzztyytxxt设曲线某一点0000,zyxP，这里的
3、ttzztyytxx,000000 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习好资料欢迎下载并假定式中的三个函数在0t处可导，且0x202020tztyt，在曲线 L 上点0P附近选取一点zzyyxxPzyxP000,，于是连接 L 上的点0P与P的割线方程为：zzzyyyxxx000其中000000,tzttzztyttyytxttxx以t除上式各分母，得tzzztyyytxx000x当0t时，0PP，且000,xtztztytytxt即得曲线在处的切线和法平面方程为切线: )()()(000000tzzztyy
4、ytxxx法平面 : 0)()()(00000zztzyytyxxtx( 二) 如果空间曲线的方程为L：0),(0),(zyxGzyxF，则它在0000,zyxP处的切线方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习好资料欢迎下载000000,x-xPyxGFzzPxzGFyyPzyGF法平面方程为0,GF,000000PyxGFzzPxzGFyyPzyxx例题例 1: 求曲线tx2 , 23ty, 22ttz在点(1)1t；(2)0 ,6 ,4(M处的切线及法平面方程 . 解：(1) )1 ,1,2(1Pt0, 3
5、 ,222,3 ,212tPttT切线: 013122zyx即013122zyx ( 严格表示 ) 法平面：0101322zyx即0132yx (2) 2)0, 6,4(tM1,6, 122,12,222,3 ,222tmttT切线: 16614zyx法平面 :0)6(6)4(zyx即0406zyx例 2: 求曲线06222zyxzyx在点)1 ,2,1 (M处切线及法平面方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习好资料欢迎下载解: 的参数方程)()(xzzxyyxx)(),(, 1xzxyT将06222zy
6、xzyx两边对x求导010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx即1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy(1)解方程组 (1) 得zyxzdxdyzyyxdxdz1,0, 1, 1)1, 2, 1(dxdzdxdyTM切线: 110211zzx法平面 : 0)1()1(zx即0zx三、空间曲面的切平面与法线曲面由方程0,zyxF给出，它在点0000,zyxP处的切平面方程为：0,000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习好资料欢迎下载
7、ozyxzyxFzzzyxFyyzyxFxx,00000000000特别, 当光滑曲面的方程为显式时, 令zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx,xxfF,yyfF1zF故当函数),(yxf在点),(00yx有连续偏导数时 , 曲面切平面方程为：法线方程为：例题例 1：求旋转抛物面122yxz在点 P（2，1，4）的切平面，法线方程，关键法向量 . 解：设01,22zyxzyxF (隐显) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习好资料欢迎下载1,2,41,2,2,)4, 1 ,2()4,1 ,2(yxFFF
8、nzyx切平面 : 0)4()1(2)2(4zyx即0624zyx法线: 142142zyx例 2：求曲面222yxz平行于 z = 2x+2y 的切平面方程 . 解： 设02,22zyxzyxF，切点为000,zyxP，曲面在点000,zyxP处的法向量为1,2,00yx，曲面在点000,zyxP处的切平面方程为0200000zzyyyxxx曲面在点000,zyxP处的切平面方程为又与已知平面z = 2 x+2y 平行，因此1122200yx切点坐标为3, 1 ,2所求切平面方程为031222zyx条件极值关于条件极值的求解问题一般是求函数的最大值与最小值问题。所以，通常的思路就是我们只需求
9、出稳定点， 然后由实际问题来确定它所对应的函数是否最值，是最大值还是最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习好资料欢迎下载以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题， 其极值点的搜索范围还会受到各自不同的条件的限制。例如，要设计一个容器为V的长方形开口水箱，当水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？在这个问题中，我们设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则所要求的表面积就为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy 根据题意可知，表面积函数的自变量不仅要满足定义域的要
10、求（即x0，y0，z0） ，而且还要满足约束条件 : 水箱的体积为 V,即xyz=V 像这类含有约束条件的极值问题称为条件极值 问题； 而不带约束条件的极值问题则称为无条件极值问题。条件极值问题的一般形式：在条件组0,.,1nxx， k=1,2,m (m 0 , y 0 , z 0 , xyz = V。(1) 法 1： （消元法 ）由条件 (1) 解出xyVz，并代入函数 S(x,y,z) 中，得xyxyVxyVyxSyxF112,，然后按0 ,0,xyFF，求出稳定点 x = y =32V，并有3221Vz，最后判定在此稳定点上取得最小面积3243VS。法 2： （拉格朗日法）这时所求拉格朗
11、日函数是：L(x,y,z,) = 2(xz + yz) + xy + (xyz - V)，对 L 求偏导数，并令它们都等于0：Lx = 2z + y + yz = 0 ，Ly = 2z + x + xz = 0 ，Lz = 2(x + y) + xy = 0 ，L= xyz - V=0，(2) 求方程组 (2) 的解，得 x = y = 2z =32V， =324-V(3) 依题意，所求水箱的表面积S 在限制条件 (1) 下确实存在最小值，由 (3) 知，当高为34V，长和宽为高的 2 倍时，表面积 S最小，最小值 S=3322V。例 2： 抛物面 x2 + y2 = z 被平面 x + y
12、+ z = 1截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离。解：这个问题实质上是求函数f(x,y,z) = x2 + y2 + z2在条件 x2 + y2 _ z = 0 及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习好资料欢迎下载x + y + z - 1 = 0下的最大、最小值问题。应用拉格朗日乘数法，设L(x,y,z, )=x2 + y2 + z2 + (x2 + y2- z) + (x + y + z - 1) 对 L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则Lx = 2x + 2x + = 0 ，Ly = 2y
13、+ 2y + = 0 ，Lz = 2z - + = 0 ，L= x2 + y2 - z = 0，L= x + y + z - 1 = 0，求得此方程组的解为：3353-,33117-231xy ,32z(1) （1）就是拉格朗日函数L(x , y , z , , )的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得，由 于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f 在有界闭集 （x , y , x) | x2 + y2 = z , x + y + z = 1上连续，从而必存在最大值与最小值），故由 f(231-，231-，23) 所求得的两个值953，正是该椭圆到原点的最长距离359与最短距离35-9。例
14、3 求 f(x,y,z) = xyz在条件x1+y1+z1=r1（x0 , y0 , z0 , r0)下的极小值；并证明不等式3(a1+b1+c1)-13abc，其中 a,b,c 为任意正实数。解：设拉格朗日函数为L(x,y,z,) = xyz + (x1+y1+z1-r1)，对 L 求偏导数并令它们都等于 0，则有以下方程组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习好资料欢迎下载Lx = yz-2x=0，Ly=zx-2y=0，Lz=xy-2z=0，L=x1+y1+z1-r1=0，由方程组的前三式得：x1=y1=z
15、1=xyz=，把它带入方程组的第四式，求出=r31，从而函数 L 的稳定点为 x=y=z=3r，=(3r)4 。为了判断 f(3r,3r,3r)=(3r)3是否为所求条件的极小值，可把条件x1+y1+z1=r1看作隐函数 z=z(x,y) （满足隐函数定理条件） ，并把目标函数 f(x,y,z) = xy z(x,y) = F(x,y)看作 f 与 z = z(x,y)的复合函数，这样就可应用极值充分条件来作出判断，为此计算如下：yxzxzFxyzyzxyzyzFyzzxzzxyxxyx222222221/1z33xx2xyzxyzyzyzFxxxx精选学习资料 - - - - - - - -
16、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习好资料欢迎下载3332222yxzFxyzxzyzzxyzxzyzzFyyxyxyxy当 x=y=z=3r 时，027936,3,62222rrrFFFrFFrFxyyyxxxyyyxx由此可见， 所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点， 这样就有不等式33xyzrrzyzy111x10,0,0x且（1）令 x=a,y=b,z=c, 则1111cbar，带入不等式 (1) 得311113cbaabc或3111a13abccb（a0,b0,c0) 例 4 求函数444,fzyxzyx在条件1xyz下的极值，该极
17、值是极大值还是极小值？为什么？解：令1L444xyzzyx，则有1,4,04,02L333xyzxyzLxzyLyzxzyx解方程组，得1-1-11-1 , 1-11-1-1 , 1 , 1，与，对1 , 1, 11P由043xLyzx得4-， 从 L的二阶偏导数在1P处的值：4,12 xxxzyzxyzzyyLLLLLL，因此，dzdxdydzdxdydzdydxPLd81222212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习好资料欢迎下载由1xyz知dydxdz，代入上式可得dydxdxdydxdydzdydxPL812d2221222222224424dx12dydxdydxdydxdzdy0444dx12222222dydxdzdzdy故 f 在1 , 1 , 11P取极小值，其余各点利用对称性即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
