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1、定积分的简单应用定积分的简单应用( (二二) )复习：复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：引入：我们前面学习了定积分的简单应用求面积。 求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1.1. 简单几何体的体积计算简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线y f (x)和直线x a，x b及x轴围成的平面图形（如图甲）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V？分析：在区间a,b内插入n1个分点，使a x0 x1 x2L xn1 xn b，把曲线y f (x)（a x b）分割成n个垂直于x轴
2、的“小长条” ，如图甲所示。设第i个“小长条”的宽是xi xi xi1，i 1,2,L ,n。这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆片，如图乙所示。当xi很小时，第i个小圆片近似于底面半径为yi f (xi)的小圆柱。因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vif2(xi)xi该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和：V f2(x1)x1 f2(x2)x2L f2(xn)xn这个问题就是积分问题，则有：bbV f (x)dx f2(x)dxaa2归纳：设旋转体是由连续曲线y f (x)和直线x a，x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为V 2.2. 利用定积
3、分求旋转体的体积利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3.3. 一个以一个以y轴为中心轴的旋转体的体积轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积， 则积分变量变为y， 其公式为V 类型一：求简单几何体的体积类型一：求简单几何体的体积例 1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：解：以正方形的一个顶点为原点，
4、两边所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图BC : y a。则该旋转体即为圆柱的体积为：aV a2dx a2x|0a30abaf2(x)dxbag2(y)dy规律方法：规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为f (x)。确定积分上、下限a,b，则体积V f2(x)dxab练习 1：如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕y轴旋转一周，求形成的几何体的体积。解：解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。V a ga 2a0ay2dy a3y3|01323a3类型二：求组合型几何体的体积类型二：求组合型几何体的体积例 2：如图，求由抛物线y
5、2 8x(y 0)与直线x y 6 0及y 0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积。思路：思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。y28x(y 0)x 2解：解：解方程组得：y 4x y 6 0 y2 8x与直线x y 6 0的交点坐标为(2,4)所求几何体的体积为：V ( 8x) dx (6 x)2dx 16022266411233规律方法：规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。练习 2：求由直线y 2x，直线x 1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解：解：旋转体
6、的体积：4V (2x)2dx 031类型三：有关体积的综合问题：类型三：有关体积的综合问题：例 3：求由曲线y 12x与y 2x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。2思路：思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限用定积分表示体积求定积分解：解：曲线y 12x与y 2x所围成的平面图形如图所示：2设所求旋转体的体积为V根据图像可以看出V等于曲线y 2x，直线x 2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为V1）减去曲线y 旋转一周所得的旋转体的体积（设为V2）12x直线x 2与x轴围成的平面图形绕x轴2221
7、2V1( 2x)2dx 2xdx 2g x2|0 40022412812V2xdx x dx x5|0004455222V V1V2 4反思：反思：81255结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。练习 3：求由y x1，y 22x以及y轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。9y x1x 3解解：由22得：y 2y x933451V (x1)dx gx4dx 008110误区警示：忽略了对变量的讨论而致错误区警示：忽略了对变量的讨论而致错例：已知曲线y x2，y 1和直线y 0，x a(a 0)。试用a表示该四条曲线围成的平x面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积。思路：思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量a的讨论。y x2x 1解：解：由得1y 1y x由示意图可知：要对a与 1 的关系进行讨论：当0 a 1时，V a0(x ) dx x4dx 022a5a56 1 当a 1时，V (x2)2dxdx 015ax1a2a5(0 a 1)5所得旋转体的体积为V 6(a 1) 5a追本溯源：利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算
