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1、第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。1、线性规划（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式
2、子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。比如：已知等差数列na，2, 185aa，则12a的取值范围是（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（ 1）截距型：byax； （2）距离型：22byax； （3）斜率型：axby；如果直接考这几个类型倒还好。比如：已知yx,满足条件00120yyxx，则yx2的最大值是，2212yx的最小值是，3xy的取值范围是。（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。比如：已知),(baP满足不等式组040202yxyxyx, 则P所在区域的面积是已知yx
3、,满足条件00120yyxx，使得yax取得最大值的点有无数个，则实数a的值是已知yx,满足条件00120yyxx，且yax在点（ 1,0 ）处取得最大值，则实数a的范围是（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。比如：已知yx,满足条件00120yyxx，则22)1(652xyyxxy的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2、解不等式解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决
4、的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等式对应的根式有关系的，比如：已知不等式012bxax的解是3121x，则不等式02abxx的解是 _解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分
5、知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。例 1、解不等式)0(01)1(2axaax分析：首先因式分解)1)(axax，二次函数y)1)(axax的两根为axax1,21，解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，1aa1，解不存在； 2aa1，即1a或01a，axa1；3aa1，即1a或10a，axa1例 2、解不等式：0112xaax分析： 因式分解0)1)(1(xax，考虑到影响因素，
6、到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a的取值是关键，联系到二次函数)1)(1(xaxy，两根为1,121xax10a，不等式变为01x，解为1x，20a，11a，12xxx，解为ax11，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页30a，a1和1的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论，当a11时，即1a，ax1或1x，当a1=1时，即1a，1x，当a11时，1x或ax1例 3、解不等式Rmxxm014122分析： 当 m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11 时，还需对m+10及
7、 m+10来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： 当 m0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。 当 1m0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。 当 m=3时， =4 （3m ） =0， 图象开口向上， 与 x 轴只有一个公共点， 不等式的解为方程24410xx的根。 当 m3时， =4（ 3m ）0, 图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为。3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1) 恒成立问题（1）若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA（2）若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D
8、上maxfxB（3）特别的，若上述的minmaxxfxf取不到，则最后的参数范围需要加上“=” . （4） 有一些可以转化为恒成立问题的，比如： “函数xf的图像横在xg的图像的上方xgxf恒成立”。2) 能成立问题（也就是有解问题）若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 , 则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 , 则等价于在区间D上的minfxB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页3) 恰成立问题（相对少见）若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D
9、；若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。4、基本不等式一、知识点总结1、基本不等式原始形式: （ 1）若Rba,，则abba222（2）若Rba,，则222baab2、基本不等式一般形式：若*,Rba，则abba23、基本不等式的两个重要变形：（1）若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则22baab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“ =”4、求最值的条件： “一正，二定，三相等”5、常用： 若*
10、,Rba，则2211122babaabba特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“ =”二、题型分析题型：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2x，求函数42442xxy的最小值；2、已知54x，求函数14245yxx的最大值；题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；法一：法二：变式 ：已知12,0,baba，求ba111的最小值；变式 ：已知12,0,baba，求bab11的最小值；变式 ：已知12,0,aabba，求ab1
11、2的最小值；变式 ：已知0ba，求2212aababa的最小值；变式 ：已知2,0baba，求121222baab的最小值；变式 ：已知2,0baba，求1122bbaa的最小值；变式 ：已知0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果Nn，求n的最小值；（参考： 4）（提示：分离参数，换元法）变式 ：已知28,0,1x yxy，求xy的最小值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页变式： 已知正项等比数列na满足：5672aaa，若存在两项nmaa ,，使得14aaanm，求nm41的最小值；题型：分离换元法求最值（了解）
12、1、求函数)1(11072xxxxy的值域；变式： 求函数)1(182xxxy的最小值；2、求函数522xxy的最大值；（提示：换元法）变式： 求函数941xxy的最大值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页题型：基本不等式的综合应用1、已知1loglog22ba，求ba93的最小值2、已知0,ba，求abba211的最小值；3、已知0, yx，822xyyx，求yx2最小值；变式 1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围；变式 2：已知0, yx，312121yx，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3：已知0, yx，122xyyx，求xy最大值；4、设正实数zyx,满足04322zyxyx, 则当zxy取得最大值时,zyx212的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页（提示：代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值）变式： 设zyx,是正数，满足032zyx，求xzy2的最小值；变式： 设zyx,是正数，满足2,zyx，求252zzxyzyxz的最小值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
