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1、第五部分:不等式专题(线性规划,一元二次不等式,基本不等式)不等式是高中数学重要的知识,考试中涉及的考点也很多,从江苏目前的高中数学要求来说,除了不等式证明以外,其他形式的考察还是很多的。就内容来说,这部分分为高一难度和高考难度;从题型上来说,包含:线性规划,基本不等式,解不等式,不等式恒(能)成立,还有一些转化为不等式问题的题型。高一难度的不等式问题主要是线性规划,基本不等式的常规考察,解不等式(包含含参形式),涉及常规函数的不等式恒(能)成立问题。1、线性规划(1)掌握好线性规划,首先需要知道,线性规划的考题特点:已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程,问题一般是求解一个含有两个变量式
2、子的范围、最值。所以,有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式,将所求解问题转化为线性规划问题。比如:已知等差数列na,2, 185aa,则12a的取值范围是(2)线性规划性的常规考题相对简单一些,从问题来说有三个常见形式:( 1)截距型:byax; (2)距离型:22byax; (3)斜率型:axby;如果直接考这几个类型倒还好。比如:已知yx,满足条件00120yyxx,则yx2的最大值是,2212yx的最小值是,3xy的取值范围是。(3)有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。比如:已知),(baP满足不等式组040202yxyxyx, 则P所在区域的面积是已知yx
3、,满足条件00120yyxx,使得yax取得最大值的点有无数个,则实数a的值是已知yx,满足条件00120yyxx,且yax在点( 1,0 )处取得最大值,则实数a的范围是(4)稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。比如:已知yx,满足条件00120yyxx,则22)1(652xyyxxy的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2、解不等式解不等式分为含参和不含参之分,普通解不等式倒还好,不管是解一元一次不等式,一元二次不等式,分数不等式(注意分母不为零),指数、对数不等式,还是需要用“换元”解决
4、的一些复合不等式,都还不算难;有时候可以用函数单调性解不等式,但是需要考虑定义域,这个需要在解题的时候能够想到,一般会条件这么给“已知或者能求出单调性,知道函数的零点”。另外需要注意的是,其实解不等式和解方程的过程是差不多的,所以不等式的解集中式“边界”和不等式对应的根式有关系的,比如:已知不等式012bxax的解是3121x,则不等式02abxx的解是 _解含参不等式是相对难一点的,不过过了高一后,真正到后面的函数学习中,又不多见这种情况,只是作为不等式的内容之一,也要好好的学一学,理清楚分类讨论的思路和步骤。而含参不等式中,最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论,因为在高二所学的导数那部分
5、知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论,条理性要注意的:首先考虑是否是一元二次不等式,其次考虑对应的一元二次方程根的情况(是否有根,有几个根,大小怎么样,是否在定义域中),最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。例 1、解不等式)0(01)1(2axaax分析:首先因式分解)1)(axax,二次函数y)1)(axax的两根为axax1,21,解应该是两根之间,但是两根大小关系不确定,这就需要进行分情况讨论,1aa1,解不存在; 2aa1,即1a或01a,axa1;3aa1,即1a或10a,axa1例 2、解不等式:0112xaax分析: 因式分解0)1)(1(xax,考虑到影响因素,
6、到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的,所以a的取值是关键,联系到二次函数)1)(1(xaxy,两根为1,121xax10a,不等式变为01x,解为1x,20a,11a,12xxx,解为ax11,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页30a,a1和1的大小关系不一定,这个时候就需要进行二者的讨论,当a11时,即1a,ax1或1x,当a1=1时,即1a,1x,当a11时,1x或ax1例 3、解不等式Rmxxm014122分析: 当 m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+11 时,还需对m+10及
7、 m+10来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论: 当 m0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。 当 1m0, 图象开口向上,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。 当 m=3时, =4 (3m ) =0, 图象开口向上, 与 x 轴只有一个公共点, 不等式的解为方程24410xx的根。 当 m3时, =4( 3m )0, 图象开口向上全部在x 轴的上方,不等式的解集为。3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1) 恒成立问题(1)若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA(2)若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D
8、上maxfxB(3)特别的,若上述的minmaxxfxf取不到,则最后的参数范围需要加上“=” . (4) 有一些可以转化为恒成立问题的,比如: “函数xf的图像横在xg的图像的上方xgxf恒成立”。2) 能成立问题(也就是有解问题)若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 , 则等价于在区间D上maxfxA;若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 , 则等价于在区间D上的minfxB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页3) 恰成立问题(相对少见)若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D
9、;若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及,这里就不具体展开了。4、基本不等式一、知识点总结1、基本不等式原始形式: ( 1)若Rba,,则abba222(2)若Rba,,则222baab2、基本不等式一般形式:若*,Rba,则abba23、基本不等式的两个重要变形:(1)若*,Rba,则abba2(2)若*,Rba,则22baab总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当ba时取“ =”4、求最值的条件: “一正,二定,三相等”5、常用: 若*
10、,Rba,则2211122babaabba特别说明:以上不等式中,当且仅当ba时取“ =”二、题型分析题型:利用不等式求最值(一)(凑项)1、已知2x,求函数42442xxy的最小值;2、已知54x,求函数14245yxx的最大值;题型:巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页1、已知12,0,baba,求tab11的最小值;法一:法二:变式 :已知12,0,baba,求ba111的最小值;变式 :已知12,0,baba,求bab11的最小值;变式 :已知12,0,aabba,求ab1
11、2的最小值;变式 :已知0ba,求2212aababa的最小值;变式 :已知2,0baba,求121222baab的最小值;变式 :已知2,0baba,求1122bbaa的最小值;变式 :已知0zyx且zxnzyyx11恒成立,如果Nn,求n的最小值;(参考: 4)(提示:分离参数,换元法)变式 :已知28,0,1x yxy,求xy的最小值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页变式: 已知正项等比数列na满足:5672aaa,若存在两项nmaa ,,使得14aaanm,求nm41的最小值;题型:分离换元法求最值(了解)
12、1、求函数)1(11072xxxxy的值域;变式: 求函数)1(182xxxy的最小值;2、求函数522xxy的最大值;(提示:换元法)变式: 求函数941xxy的最大值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页题型:基本不等式的综合应用1、已知1loglog22ba,求ba93的最小值2、已知0,ba,求abba211的最小值;3、已知0, yx,822xyyx,求yx2最小值;变式 1:已知0,ba,满足3baab,求ab范围;变式 2:已知0, yx,312121yx,求xy最大值;(提示:通分或三角换元)变式 3:已知0, yx,122xyyx,求xy最大值;4、设正实数zyx,满足04322zyxyx, 则当zxy取得最大值时,zyx212的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页(提示:代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值)变式: 设zyx,是正数,满足032zyx,求xzy2的最小值;变式: 设zyx,是正数,满足2,zyx,求252zzxyzyxz的最小值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页