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1、学习必备欢迎下载第二十八章锐角三角函数281 锐角三角函数- 正弦函数为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归纳为，在RtABC中， C=90， A=30， BC=35m ，?求 AB 解 ： 根 据 “ 在 直 角 三 角 形 中 ， 30 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的 一 半 ” ， 即ABCAB的对边斜边12可得 AB=2BC=70m ，也就是说，需要准备70m长的水管思考： ?在上面的问题中，?如果使出水口的
2、高度为50m ， 那么需要准备多长的水管？第 2 个问题：既然直角三角形中，30角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？?我们再换一个试一试? 如图 281-2 ，在 Rt ABC中， C=90， A=45， A对边与斜边的比值是一个定值吗？ ? 解：122BCBCABBC=22，即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，?这个角的对边与斜边的比都等于22从上面这两个问题的结论中可知，?在一个 RtABC中， C=90 ，当 A=30时， A的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；?当 A=45时， A的对边与斜边的比都等于22，也
3、是一个固定值一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图： RtABC与 RtABC ， C= C =90o， A=A=，那么与有什么关系？分 析 ： 由 于 C= C =90o， A=A= ， 所 以RtABC RtABC，即结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值。一正弦函数的概念如图，在RtABC中， C=90， A、 B、 C 所对的边分别记为a、b、c,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦 。记作 sinA 。即 sinA Aac的对边斜边( 读作 /s in/) 注意 ：1、sinA 不
4、是 sin与 A的乘积，而是一个整体；2、正弦的不同表示方式：sinA 、sin、 sin56 、 sin DEF 、sin 1 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位二正弦函数的简单应用例 1 如图，在RtABC中， C=90，求 sinA 和 sinB的值CBACBAcbaCBA(1)34CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载ABCD1如图 1，已知点P的坐标是（ a，b） ，则 sin 等于（）Aab Bba C2222.abDababCBA（1）（2）2 设直角三角形的两条
5、直角边的比为5:12 ，则较大锐角的正弦值等于_3在 RtABC中， C=90， sinA=513，则 sinB 等于（）A1213 B1312 C512 D5134 （2004辽宁大连）在RtABC中， C=90， a=1，c=4，则 sinA 的值是（） A151115.15434BCD5如图 2，在 RtABC中， C=90， AB=10，sinB=25，BC的长是（） A22121.4. 21.50BCD6 2006 海南三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin 的值是（）A43 B34 C53 D547 （2005 厦门市）在直角ABC中， C90o，若 AB 5，AC 4，则
6、 sinA （）A35B45C34D438 2006 黑龙江在ABC中， C=90， BC=2 ，sinA=23，则边 AC的长是 ( ) A13 B 3 C43 D5 9如图，已知AB是 O的直径，点C、D在 O上，且 AB 5， BC 3则 sin BAC= ；sin ADC= 102006 成都如图，在RtABC中， ACB 90， CD AB于点 D。已知AC= 5 ，BC=2 ，那么 sin ACD （）A53B23C255D5211在ABC中，C=90， 3a=3b，则 sinA_12等腰梯形，上底长是1cm ，高是 2cm ，底角的正弦是54，则下底 =_，腰长 =_13在ABC
7、中，C=90，a=8，b=45，则 sinA+sinB=_14 等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是（）A32 B 322 C 324 D 32515如图，在ABC中，C=90，CDAB于D则 sinB=（）AABCD BBCAC C ABBC D ABACO A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载28.1.2 余弦、正切函数（一）余弦、正切的概念类似于正弦的情况，当锐角A 的大小确定时，A 的邻边与斜边的比、A 的对边与邻边的比也分别是确定的我们把A的邻边与斜边的比叫
8、做A的余弦 ，记作 cosA，即 cosA=A的邻边斜边=ac（读作 /k usin/ ） ；A的对边与邻边的比叫做A的正切 ，记作 tanA ，即 tanA=AA的对边的邻边=ab（读作 /t dg?nt/ ） 。锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数注：对于锐角 A的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是 A的函数 同样地，cosA，tanA 也是 A的函数（二）余弦、正切概念的应用如图，在RtABC中， C=90， BC=?6 ，sinA=35，求 cosA、tanB 的值1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值。2.在ABCR
9、t中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？3.如图在ABCRt中，43tan,8,90AACC，求BA cos,sin的值练习： 1. ABC中， C 90，且 c3b, 则cosA（）A23B. 2 23C.13D.1032在 RtABC中，各边的长度都缩小一半，那么锐角A的各三角函数值（）（A） 都扩大两倍（B）都缩小两倍（C）没有变化（ D）不能确定3如图 1，两条宽度都为1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（） A11.sincosBaa Csina D1 DCBACBA (1) (2) (3) (4)
10、 6CBA1312CAB8CBA32CAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载4如图 2，在四边形ABCD 中， BAD= BDC=90 ，且 AD=3 ，sin ABD=35，sin DBC=1213，则 AB ，BC ，CD长分别为（） A4，12，13 B4，13，12 C5，12，13 D5，13， 12 5如果 a 是锐角，且cosa=45，那么 sin （ 90-a）的值等于（） A94316.255525BCD6如图 3，菱形 ABCD 中，对角线AC=6 ，BD=8， ABD=a ，则
11、下列结论正确的是（） Asina=45 Bcosa=35 Ctana=43 Dtana=347如图 4，为测河两岸相对两杆A、B间距离，在距A点 17 米的 C处（ AC AB ）测得 ACB=50 ，则 A、B间的距离应为（） A17sin50 米 B17cos50米 C17tan50 米 D17 米8在 ABC中， C=90，且 ACBC ，CD AB于 D，DE AC于 E，EFAB于 F，?若 CD=?4 ，AB=10，则 EF：AF等于（） A12 B52 C52 5.55D9在中，那么( ) ABC D10根据图中信息，经过估算计算的结果， (精确到 0.01) 是( ) A0.3
12、6 B0.46 C0.90 D2.18 11已知：如图，O是的外接圆， AD是O的直径，连接CD ，若O的半径，则的值是 ( ) AB C D12 如图，CD是平面镜， 光线从 A点出发经CD上点 E反射后照射到B点，若入射角为，于，于，且，则的值为 ( ) AB CD第 10 题第 11 题第 12 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载28.1.3 特殊角的三角函数值（一）特殊值的三角函数304560sin 122232cos322212tan 33 1 3注：（ sin60 ）2用 sin260
13、表示，即为（sin60 ） （sin60 ） 对于 sina 与 tana ，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小30 sin 1, 0 cos1,1 sin +cos24.0 45, sin cos ；45 cos （二）特殊角三角函数的应用（1） cos260+sin260（2）cos+cos+sinsin（3）cos45sin 45-tan45 (4)（5）12sin 30 cos30（ 6）60sin245tan30tan3（7）30tan160sin160cos（8）60sin30cos30sin2（9）60tan30cos2（10）45cos45sin22（11）
14、30cos60tan45cos2（ 12）2sin30 -2cos60 +tan45 （13）sin30 cos45+cos60（14）2sin60 -2cos30 sin45 （15）cos45sin301cos60tan452（16）sin 45cos3032cos60-sin60 （ 1-sin30 ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载1242223ABBCACABC（17）tan45 sin60 -4sin30 cos45 +6tan30 （ 18）2cos602sin 302; （19）
15、sin 45tan30tan60+cos45 cos30（20）2sin30 -2cos60 +tan45 练习： 1 如下图，在RtABC中， C=90，请你根据图中给出的条件求出A的度数2、填空(1)21)50sin(，则_(2)212sin，则_(3)23)90cos(，则_(4)33tan，则_(5)42sin-3=0 ， 则_(6)3 tan2 4tan 3 0， 则_(7) RtABC中， C=90 ，1sin2A，则cos2B=_ 3. 如图，钓鱼竿AC长 6m ，露在水面上的鱼线BC长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到CA的位置，此时露在水面上的鱼线CB为33
16、，则鱼竿转过的角度是 ( ) A60 B 45 C15 D904m为方程062xx的根， n 为方程0822xx的根， sinA=nm, 则_A5在 ABC中， A、 B都是锐角，且sinA=12，cosB=32，则 ABC的形状是（） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定6. 在 ABC中，三边之比为a：b：c=1：3：2，则 sinA+tanA 等于（） A32 313 331.3.6222BCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载CBACBA7若（3tanA-3 ）2+2cosB
17、-3=0，则 ABC （） A是直角三角形 B是等边三角形 C是含有 60的任意三角形 D是顶角为钝角的等腰三角形282 解直角三角形（一）什么是解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。那么除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来。在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：（1）三边之间的关系 a2+b2=c2（2）两锐角之间的关系A+B=90（3）边角之间的关系： （一般 ABC中，设 A对边 a, B对边 b, C对边 c） sinA=A的对边斜边=ac，si
18、nB=B的对边斜边=bc cosA=A的邻边斜边=bc，cosB=B的邻边斜边=ac tanA=AA的对边的邻边=ab，tanB=B的对边B的邻边=ab（二）解直角三角形实例1、如图ABCRt中，90C，AB 83, A60，请你解这个直角三角形。解：_9090AB30B_2121ABACBC=_22ACAB解直角三角形注意点解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦用切（正切） ，宁乘毋除，取原避中 ”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，尽量使用原始
19、数据，避免使用中间数据1有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，?但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题2一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题3解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、?周长、面积等） ，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解练习 1 ABC中， C90，根据表中的数据求其它元素的值： a b c A B 12 304 45 2 60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载CBACBA 53
20、 5 42 8 2、如图ABCRt中，90C，a36， A 30，请你解这个直角三角形。3、如图ABCRt中，90C，a6，b23，请你解这个直角三角形4直角三角形中两边的比是1：2，则较短边所对的角的正弦值是（） A12 B55 C12或55 D32或555 ABC中， C=90 ， AB=13 ， BC=5 ，tanB 的值是（） A5131212.135135BCD6在 RtABC中， CD为斜边 AB上的高，已知AD=8 ， BD=4 ，那么 tanA 等于（） A22 B23 C22.48D7在 ABC中， C=90 ，且 cosA=32， B平分线的长为26，则 a=_，b=_，c
21、=_8在 RtABC中， C=90， AB=5 ，sinA=35，则 BC=_ 9AD为 Rt ABC斜边 BC上的高，已知AB=5cm ，BD=3cm ，那么 BC=_cm 10 已知 RtABC中， C=90， b=25， A的平分线AD=4315，解这个直角三角形11 ABC中， AD是 BC边上的高， tanB=cos DAC （1）求证： AC=BD; （2）若sinC=1213，BC=12 ，求 AD的长12、如果等腰三角形的底角为30，腰长为6cm ，那么这个三角形的面积为（） A4.5cm2 B93cm2 C183cm2 D36cm2 13、如图， 沿 AC方向开山修路， 为了
22、加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC上的一点B，取 ABD=145 ， BD=500m ， D=55，要使A，C，E成一直线， ?那么开挖点E离点 D的距离是（） A 500sin55 m B500cos55m C500tan55 m D 500m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载28.2.2解直角三角形的应用例 3 20XX年 10 月 15 日“神舟”5号载人航天飞船发射成功. 当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图 , 当飞船运行到地球表面上P点的正上方
23、时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?( 地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km ，cos1854 0.9481) 一仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角例 4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m. 这栋高楼有多高( 结果保留根号 )? 练习：1 建筑物 BC 上有一旗杆AB ， 由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部A 的仰角为 60 ，观察底部的仰角为45 ，求旗杆的高
24、度（结果保留根号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载2如图，一只运载火箭从地面L 处发射，当卫星到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是 6km，仰角为s145 ，后，火箭到达B 点，此时测得BR 的距离是8km，仰角为 45 ，这个火箭从A 到 B的平均速度是多少（结果保留根号）3两建筑物的水平距离BC 为 30m,从 A 点测得 D 点的俯角30为，测得点的俯角45为，球这两个建筑物的高度（结果保留根号）4如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30o，测得岸边点D
25、的俯角为45o，又知河宽 CD为 50 米，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC ，求缆绳 AC的长（答案可带根号）. 5、在宽为 30 米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45，从西楼顶望东楼顶，俯角为30，求东楼高( 结果保留根号 ) 6、如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的 A、B两处测得D点和 C点的仰角分别为 45和 60，且 A、 B、E三点在一条直线上，若BE 15 米，求这块广告牌的高度( 取31.73 ，计算结果保留整数) 山ACDABCDE45 60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
26、 - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载二方位角与方向角1方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90的角叫做 方向角 如图28 2-1中的目标方向线OA， OB ， OC 分别表示_，_，_ 若目标方向线与指北或指南的方向线成45的角，如图282-1 的目标方向线 OD与正南方向成45角，通常称为西南方向图 282-1 图 282-2 2 方位角从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做 方位角 如课本图 282-2 中，目标方向线PA ，PB ，PC的方位角分别是40， 135， 225例 5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60 方向，距离灯塔80 海里的 A处，
27、它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30 方向上的B处. 这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（结果保留根号）1.海中有一个小岛A，他的周围8 海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛A 在北偏东 60 方向上，航行12 海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30 方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险? 2 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h” ，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边30m处有“车速检测仪O” ，测得该车从北偏西60的 A点行驶到北偏西30?的 B点，
28、所用时间为3s（1）试求该车从A点到 B点的平均速度 ; （ 2）试说明该车是否超过限速3如图，某海域直径为30 海里的暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向60 海里的 B 处向哨所驶来， 哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了30 海里到达C 处，此时哨所第二次发出紧急信号(1)若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航向改变角度至少为东偏北度，求sin的值BAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载CAB(2)当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船航向改变
29、的角度至少应为多少？三坡度与坡角坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做 坡度（或坡比） ，一般用 i 表示，即hl，常写成i=1 ：m的形式，如i=1:2.5 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 练习： 1. 一段坡面的坡角为60，则坡度i=_ ；2. 已知一段坡面上，铅直高度为3，坡面长为23，则坡度i=_, 坡角_度3. 已知一山坡的坡度为1:3 ，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m 4. 如图 , 水库大坝的截面是梯形ABCD. 坝顶 AD 6m ，坡长 CD 8m.坡底 BC 30m ， ADC=135 . (1) 求 AB坡坡度 ( 结果精确到0.1) (2)若坝长 100
30、m，求建这个大坝需多少石料？（结果保留根号）5、利用土路修筑一条渠道，在路中间挖去深为0.6 米的一块 ( 图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为 11.5 ，渠道底面宽BC为 0.5 米，求：横断面 ( 等腰梯形 )ABCD的面积；修一条长为100 米的渠道要挖去的土方数6、斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC10 米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB14 米试求旗杆BC的高度7. 如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，渠深为 2m，上口宽为3.5m，则渠道底宽_ 8. 如图，某大坝的横断面是梯形，上底AD为 4 米，近水面（斜坡AB ）的坡度i=1 ：3 ，斜坡 AB的长度为 12 米，背水面（斜坡CD ）的坡度为i=1 ：1，求（1）斜坡 AB的坡角（ 2）坝底宽 BC和斜坡 CD的长。 （结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载果保留根号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
