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1、1.1 变化率与导数变化率与导数一变化率问题一变化率问题平均变化率的定义平均变化率的定义我们把我们把 这个式子叫做函数这个式子叫做函数 从从 到到 的平均变化率如果令的平均变化率如果令 则平均变化率还可以表示为则平均变化率还可以表示为(1) 是一个整体符号，不是是一个整体符号，不是 与与 相乘；相乘；(2) 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的值不能为的值不能为0， 值可以为值可以为0注：注：5求函数平均变化率的步骤求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的增量：求自变量的增量：(2)求函数值的增量：求函数值的增量：(3)求函数的平均变化率：求函数的平均变化率：例例1求函数求函数 在区间在区间
2、 上的平均上的平均变化率并求变化率并求 的平均变化率的平均变化率练习：求函数练习：求函数 在区间在区间1，3上的平均变化率上的平均变化率例例2已知函数已知函数 的图像上一点的图像上一点 及邻近及邻近一点一点 ，求，求练习：已知函数练习：已知函数 ，当，当 时，求时，求二导数的概念二导数的概念1看课本看课本4-5页页2瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度叫做瞬时瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度设物体的运动位移与时间的关系是速度设物体的运动位移与时间的关系是 ，当，当 趋近于趋近于0时，函数时，函数 在在 到到 这段时间内的平这段时间内的平均变化率均变化率 趋近于常数，我们把这个常
3、趋近于常数，我们把这个常数称为时刻数称为时刻 的瞬时速度的瞬时速度说明：说明：(1) 趋近于趋近于0，是指时间间隔，是指时间间隔 越来越短，越来越短，但始终不能为零；但始终不能为零；(2) 在变化过程中都趋近于在变化过程中都趋近于0，但它们的比值趋，但它们的比值趋近于一个确定的常数近于一个确定的常数例：一物体的运动方程是例：一物体的运动方程是 ，求当，求当 秒时，秒时，此木块的瞬时速度此木块的瞬时速度练习：如果质点按规律练习：如果质点按规律 运动，求当运动，求当 时的时的瞬时速度瞬时速度3导数的概念：函数导数的概念：函数 在在 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 我们称它为函数我们称它为函数 在
4、点在点 处的导数，处的导数，记作记作 或或 ，即，即说明：说明：(1)函数函数 在在 处可导，是指当处可导，是指当 时，时， 有极有极限如果限如果 不存在极限，就说函数在点不存在极限，就说函数在点 处不可导，处不可导，或者说无导数或者说无导数(3) 对于导函数的定义的几种形式表示如下：对于导函数的定义的几种形式表示如下：(2) 是自变量在是自变量在 处的改变量，处的改变量， 而而 是函数是函数值的变化量，可以是零值的变化量，可以是零4求导数的方法求导数的方法(1)求函数的增量求函数的增量(2)求平均变化率求平均变化率(3)取极限，得函数取极限，得函数练习练习:已知已知求求 在在 处的导数；处的
5、导数；例：设函数例：设函数 在点在点 处可导，试求下列极限的值处可导，试求下列极限的值(1) (2) 练习：设函数练习：设函数 可导，求可导，求例：已知例：已知 ，求，求练习：设练习：设 ，若，若 ，求，求yox三、三、1.观察思考观察思考PP1y=f(x)P3P4PnP2当点当点Pn（n=1，2，3.）沿着）沿着曲线曲线f(x)趋近于点趋近于点P时，割线时，割线PPn的变化趋势是什么？的变化趋势是什么？思考：曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？思考：曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？函数函数 在点在点 处的导数的几何意义处的导数的几何意义:曲线曲线 在点在点 处的切线的斜率处的切线的斜率,即：
6、即：过点过点 的切线的方程为的切线的方程为2.几何意义几何意义3求切线的方程求切线的方程例例1求曲线求曲线 在点在点(-1，3) 处的切线的方程处的切线的方程练习：求曲线练习：求曲线 在点在点(1，1) 处的切线的方程处的切线的方程例例2已知曲线已知曲线(1)求曲线过点求曲线过点 的切线方程；的切线方程；(2)求满足斜率为求满足斜率为 的曲线的切线方程的曲线的切线方程练习：求曲线练习：求曲线 过点过点(2，3) 的切线方程的切线方程思考：在点思考：在点 处的切线与过点处的切线与过点 的切线的的切线的区别？区别？在在 处的切线处的切线:点点 为此切线的切点；为此切线的切点；过点过点 的切线的切线
7、:切线过点切线过点 ，此点可以是切点，此点可以是切点，也可以不是切点因此在求过点也可以不是切点因此在求过点 的切线方程时，的切线方程时，应先判断点应先判断点 是否为曲线是否为曲线 上的点上的点;若是若是,则为第一类解法则为第一类解法;若不是若不是,则必须先在曲线上取一切点则必须先在曲线上取一切点 ，求过此切，求过此切点的切线方程点的切线方程 ，再将点，再将点 代入，代入，求得切点求得切点 的坐标，进而求过点的坐标，进而求过点 的切线的切线方程方程例：已知曲线例：已知曲线(1)求曲线求曲线 上横坐标为上横坐标为1的点处的切线的方程；的点处的切线的方程；(2)(1) 中的切线与曲线中的切线与曲线
8、是否还有其他的公共点？是否还有其他的公共点？练习：如果曲线练习：如果曲线 的某一条切线与直线的某一条切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程平行，求切点坐标与切线方程4.导函数导函数(1)定义：当定义：当 时，时， 是一个确定的数这样，当是一个确定的数这样，当 变化时，变化时， 便是便是 的一个函数，我们称它为的一个函数，我们称它为 的导的导函数，简称导数函数，简称导数 的导函数有时也记作的导函数有时也记作 即：即：(2) 为函数为函数 的导函数，而的导函数，而 为为 在在 处的函数值，也就是说点处的函数值，也就是说点 是导函数是导函数 上的一个点上的一个点(3)函数函数 在点在点 处的导数处的导数 ,就是导函数就是导函数 在点在点 处的函数值处的函数值
