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1、复合函数的定义域和解析式以及单调性复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】【复合函数相关知识】1 1、复合函数的定义、复合函数的定义如果y是u的函数，u又是x的函数，即y f (u)，u g(x)，那么y关于x的 函数y f (g(x)叫做函数y f (u)（外函数）和u g(x)（内函数）的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为y。例如：函数y 2x21是由y 2u和u x21复合而成立。说明：说明：复合函数的定义域，就是复合函数y f (g(x)中x的取值范围。x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。f (g(x)与g( f (x)表示不同的复
2、合函数。2 2求有关复合函数的定义域求有关复合函数的定义域已知f (x)的定义域为(a, ,b)，求f (g(x)的定义域的方法：已知f (x)的定义域为(a, ,b)，求f (g(x)的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即u(a, ,b)，g(x)(a, ,b)。通过解不等式a g(x) b求得x的范围，即为f (g(x)的定义域。已知f (g(x)的定义域为(a，b)，求f (x)的定义域的方法：若已知f (g(x)的定义域为(a，b)，求即x(a，b)。先利用a f (x)的定义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，x b求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f (x)的定义
3、域。3 3求有关复合函数的解析式求有关复合函数的解析式已知已知f (x)求复合函数fg(x)的解析式，直接把f (x)中的x换成g(x)即可。fg(x)求f (x)的常用方法有：配凑法和换元法。fg(x)中把关于变量x的表达式先凑成g(x)整体的表达式，再直接把g(x)换配凑法：就是在成x而得f (x)。 t， 从中解出x（即用t表示x） ， 再把x（关于t的式子） 直接代入fg(x)换元法： 就是先设g(x)中消去x得到f (t)，最后把f (t)中的t直接换成x即得f (x)。4. 4.求复合函数的单调性求复合函数的单调性若若u g(x)增函数减函数增函数减函数即“同增异减同增异减”法则5
4、. 5.复合函数的奇偶性复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】【例题讲解】y f (x)则则y fg(x)增函数增函数减函数减函数增函数减函数减函数增函数一、复合函数定义域解析式一、复合函数定义域解析式例例 1 1设函数f (x) 2x 3,g(x) 3x 5，求f (g(x),g( f (x)例例 2 2已知f (2x 1) x2 2x，求f (2 2 1)例例 3 3已知f (x) x21,求f (x 1)；已知f (x 1) (x 1)21，求f (x)例例 4 4若函数f (x)的定义域是0，1，求f (1 2x)的定义域；若f (2x 1)的定义域是-1，1
5、，求函数f (x)的定义域；已知f (x 3)定义域是4,5，求f (2x 3)定义域1，求f (x)；x112已知f (x ) x 2，求f (x 1)xx例例 5 5已知f (x 1) x 例例 6 6已知f (x)是一次函数，满足3f (x 1) 2 f (x 1) 2x 17，求f (x)；13f (x) 2 f ( ) 4x，求f (x)已知x二、复合函数单调性及其值域二、复合函数单调性及其值域初等函数复合求单调区间与值域初等函数复合求单调区间与值域1例例 1 1已知函数y 3变式练习变式练习 1 1x22x5，求其单调区间及值域。1.求函数f (x)=0.512xx的单调区间及值域
6、2.求函数y 4例例 2 2求f (x)=5-4x-x2的单调区间及值域变式练习变式练习 2 2求函数 f(x)=21例例 3 3求y (log1x)2log1x5在区间2,4上的最大值和最小值2221x22x1232x5的单调区间和值域.的单调区间及值域变式练习变式练习 3 31.求函数f (x) log2(54x x2)的单调区间及值域2.求函数y log2xxlog2(x1, ,8)的最大值和最小值.24含参数的复合函数单调性与值域问题含参数的复合函数单调性与值域问题例例 4 4已知函数f (x) loga(3x25x2)（a 0且a 1）试讨论其单调性。例例 5 5求函数y loga(
7、2ax a2x)的值域。变式练习变式练习 4 41.讨论函数y loga(ax1)的单调性其中a 0，且a 1根据复合函数单调性或值域求参数取值范围根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例例 6 6设函数f (x) lg(ax22x1)，若f (x)的值域为R，求实数的取值范围例例7 7已知y loga(2ax)在区间0, ,1上时减函数，求a的取值范围.1例例8 8若函数y loga(x2ax 3)在区间(, ,a上为减函数，求实数a的取值范围.2变式练习变式练习 5 5已知函数y 2x2ax1在区间,3上是增函数,求a的范围.解:令u x2ax1,则原函数是由u x2ax1与y 2u复合而
8、成.原函数在区间, ,3上是增函数,而外层函数y 2u始终是增函数,则易知内层函数u x2ax1在区间, ,3上也是增函aaa数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由,3,得 3,即a 6.222【过关检测】【过关检测】1. 1. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：2x 5x4;（2）g(x) (1)x4(1)x5（1）f (x) 422. 2.求下列函数的单调递增区间：（1）y 3. 3.已知函数f (x) logax(a 0, ,a 1)，如果对于任意x3, ,)x 都有f (x) 1成立，试求a的取值范围.24. 4.已知函数f (x) loga(x ax a)f（x）=log2(x
9、2-ax-a)在区间(,13上是单调递减函数.求实数a126x2x2;(2)y 2x2x6.的取值范围.5 求函数y 1log0.5(x 2x3)2的单调区间【考试链接】【考试链接】1.（2008 山东临沂模拟理，5 分）若a 1，且ax logax ay logay，则x与y之间的大小关系是（）Ax y 0Bx y 0Cy x 0D无法确定2.函数y e|ln x| | x 1|的图象大致是（）3（2008 江苏南通模拟， 5 分） 设f (x) logax（a 0且a 1） ， 若f (x1) f (x2) f (xn) 1（xi R，则f (x1) f (x2) f (xn)的值等于_。i 1,2, ,n）4（2008 海南海口模拟文、 理， 5 分） 若函数 y=log2（kx2+4kx+3） 的定义域为 R， 则实数 k 的取值范围是_。5 （2008 江苏无锡模拟，5 分）给出下列四个命题：xx函数y a（a 0且a 1）与函数y logaa（a 0且a 1）的定义域相同；333函数y x和y 3的值域相同；3x(1 2x)211函数y x与y 都是奇函数；x2x22 1函数y (x 1)与y 22x1在区间0,)上都是增函数。其中正确命题的序号是：_。 （把你认为正确的命题序号都填上）
