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1、精品资料欢迎下载第九章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的基本概念1、求下列各函数的定义域，并作出其草图. (1) 2211yxz；解: 定义域11, 11),(yxyxD,图略(2) )1ln(4222yxyxz；解: 由11010422222yxyxyx得: 定义域xyyxyxD4, 10),(222,图略(3) ）（12arcsin22yxz解: 由112122yx得: 定义域22),(22yxyxD,图略设22),(yxxyyxf，求),(yxf解:令sxytyx,得：stsystx11代入得sststf1)1(),(2故yyxyxf1)1(),(23、求下列极限：(1) 32210
2、)(1limyxexyxyx；解: (直接代入 )原式 =210101(2) 11)(cos1lim2200yxxyyx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页精品资料欢迎下载解:原式 =1)11(2lim2222200yxyxxyyx(3)yyxy)(yxy102x1)sin(lim；解:原式 = 210221sinlimexy)(xy(xy)xxxyyx4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)yyxyx200lim；解:当0x时，令2kxy，则kkkxkxxyyxkxyxyx1limlim22202002
3、，其值与k有关，故极限不存在(2)2265limyxyxyx；解:当,yx时，有0656565022222222yyxxyxyyxxyxyx，故065lim22yxyxyx5、设yxyxyxf),(，求),(limlim00yxfyx和),(limlim00yxfxy试问：极限),(lim00yxfyx是否存在？为什么？解: 1),(limlim00yxfyx，1),(limlim00yxfxy极限),(lim00yxfyx不存在，因为当0x时，令kxy，其值与k有关6、 研究函数0,00,1),(2222yxyxyxf的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续） 解:),f(f(x,y)yx000
4、1lim00， 故函数在)0 ,0(处不连续， 其它处均连续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页精品资料欢迎下载第二节偏导数填空题：(1) yxff ,在),(00yx处均存在是),(yxf在该点连续的既非充分也非必要条件；(2)曲线1122xyxz在点)3, 1, 1 (处的切线与y轴正向所成的角是6；(3)设xyzln，则xzx1，yzy1；(4)设xyzef(x,y,z)， 则),(fx1000，),(fy1000，),(f100z12求下列函数的一阶偏导数：(1)yxxyz；解: 22y)(xyxz，22y)
5、(xxyz(2)xxy)(z1解: xyxyxy)(xy)(xzx11ln1，121xxy)(xyz(3) zyxu；解: 1zzyxyxu，xxzyyuzyzln1，xxyyzuzyzlnln3求下列函数的二阶偏导数：(1)y)(xxzln解: yxxy)(xxzln，yxxyz，2222y)(xyxxz，22y)(xyyxz，222y)(xxyz，22y)(xyxyz(2)yxzarcsin；解: 221xyxz，22xyyxyz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页精品资料欢迎下载232222)xx(yxz，2
6、3222)xy(yyxz，23222122222)xx(y)x(yyxyz，12322221222)x(yx)x(yyxyz4 设函数,yx,yx,yxyf(x,y)0001cos222222判断其在点),(00处的连续性和偏导数是否存在解: 1）),f(yxyf(x,y)yxyx0001coslimlim220000故函数在点),(00处连续；2）x),f()x,f(),(fxx0000lim000000lim0xxy),f(y),f(),(fyy0000lim000yyyy01coslim20201coslimyy， 极限不存在， 故此点处关于y的偏导数不存在精选学习资料 - - - -
7、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页精品资料欢迎下载第三节全微分填空选择题：(1)二 元 函 数f(x,y)z在 点),(yx处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是0lim0dzz，其中zf(x,y)yx,yxf, dz为表达式(x,y)xf(x,y)xfyx,22yx(2) 在点),(yx处),(yxdf存在的充分条件为CAf的全部二阶偏导数均存在；Bf连续；Cf的全部一阶偏导数均连续；Df连续且yxff ,均存在2求函数xyz当2x，1y，1 .0x，2.0y时的全增量和全微分解:320128012.z30202101.).(.yyzxx
8、zdz3求下列函数的全微分：(1)23yxz解: 223yxxz，yxyz32ydyxdxyxdyyzdxxzdz32223(2)yxz解: xyxz21，2yxyyzdyyxydxxydyyzdxxzdz221(3)ln(222zyxu解: 2222zyxxxu，2222zyxyyu，2222zyxzzu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页精品资料欢迎下载dzzyxzdyzyxydxzyxxdu2222222222224讨论函数xyz在点)0 ,0(处的可导性与可微性解:000lim000xxxzx),(, 000
9、lim000yyyzx),(, 故函数xyz在点)0 ,0(处的偏导数存在；但2200limlimyxxydzz，其中22yx易 知 当x, y沿 直 线xy趋 于)0 ,0(时 此 极 限 不 存 在 。 故 函 数xyz在点)0, 0(处不可微精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页精品资料欢迎下载第四节多元复合函数的求导法则求下列函数的偏导数或全导数：(1)22yxz，34,3tytx解:dtdz=dtdyyzdtdxxz=)ytx(yx3221231= )t(662486t16t9t1(2)22xyf(v),vy
10、z，其中f可导解: xzvf xxvvf2yzvfyyvvf211(3)yxez，)x(y，其中可导解: dxdz=dxdyyzxz=(x)xeeyy(4)设yxvyxuvuz,2,32，求yzxz,解: xz22332vuuvxvvzxuuzyz22334vuuvyvvzyuuz(5)wvuz32，13123t,wtv,tu解:dtdz=322223394vuwtvuwuv2求下列函数的偏导数：(1)(xy),yf(xzsin32，其中f可导，求xz，yz解: xz21cos2f(xy)yf xyz212cos3f(xy)xfy(2)(yz)xyef(xuxsin，其中f可导，求xu，yu，
11、zu解: xuf(yz)ye(xsin1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页精品资料欢迎下载yu=f(yz)xze(xcos，zu=f(yz)xycos(3)设yxef(u,x,y),uz，其中f二阶可导，求xz，yxz2解: xz21ffey，yxz2=2321131121ffxefefxefeyyyy(4) 设),(22yxxyfzf具有二阶连续偏导数，求22xz，yxz2，22yz解: xz2122fxyfy，yz=2212fxfxy22xz22221231142442fyxfxyfyf yyxz2=2231
12、2221132125222fyxfyxfxyfxf y22yz=22412311221442fxfyxfyxfx3已知函数f，g可导，验证at)g(xat)f(xu满足22222xuatu证明：g-afatu，gafatu2222，gfxu，gfxu22，故22222xuatu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页精品资料欢迎下载第五节隐函数的求导公式1设方程222yxxy确定了隐函数)(xyy，求dxdy解:（公式法）令F(x,y)222yxxy，xyFx2yxFy2，则dxdyyxFFyxxy22，提示：另还可用两
13、边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。2设方程xzz)y(xsin确定了隐函数),(yxzz，求xz，yz，dz解: （公式法） 令xzz)y(xF(x,y,z)sin，1cosz)y(xFxz)y(xFycos，1cosz)y(xFz则xzzxFF1cos1cosz)y(xz)y(x，yz=zyFF1coscosz)y(xz)y(xdzdx1cos1cosz)y(xz)y(xdy1coscosz)y(xz)y(x3设方程zeezxy2确定了隐函数),(yxzz，求xz，22xz解:令F(x,y,z)zeezxy2，xyxyeF，2ezzF则xzzxFF)2(zeyexy，2
14、2xz=3)(22)2()2(zzeeeeyxyzxy4 设 隐 函 数),(yxzz由 方 程0)xz,yyzF(x所 确 定 ， 证 明xyzyzyxzx证明：221FxzFFxyF212FFyz-，zF2111FxFy, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页精品资料欢迎下载xzzxFF2122111FxFyFxzF,yz=zyFF2112211FxFyFyzF, 故xyzyzyxzx5求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)设432050z222zyxyx，求dxdy，dxdz解: 方程组两边直接对自变
15、量x求偏导，得：03210222dxdzdxdydxdzzdxdyyx故dxdyzyzx233，dxdzzyyx232(2)设xyuvyxuu33，求xu，yu，xv，yv解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得：130322xuyxvvxvxvxuu故xu=xyvuxv22393，xv=xyvuyvu22293同理可得到：yu=xyvuxuv22293，yv=xyvuyu223936设t),f(x,y而t是由0F(x,y,t)所确定的x,y的函数，其中f,F均有一阶连续的偏导数，求dxdy解:联立方程组0F(x,y,t)t)f(x,y两边直接对自变量x求偏导，得：0xtFdxdyFFxtff
16、dxdytyxtx故dxdytytxttxFFfFfFf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页精品资料欢迎下载第六节多元函数微分学的几何应用1求曲线cost21,sin,2ztytx在对应4t的点处的切线方程和法平面方程解:切向量4t)z ,y ,x(T)42,22,21(曲线在对应4t的点处的切线方程为：42422222218zyx，法平面方程为：0)42(42)22(22)8(21zyx，即2342222zyx2求曲线222226yxzzyx在点),(M2110处的切线方程及法平面方程解:用隐函数组求导的方法得到
17、dxdyyzyxxz22，dxdzyzy20点),(M2110处的切向量01M)dxdz,dxdy,(T)0 ,-1, 1 (曲线在对应点),(M2110处的切线方程为：021-111zyx，法平面方程为：0yx3求曲面22yxz在点)2,1 ,1(处的切平面方程和法线方程解: 法向量),(yx),z(zn2111)1,2,2(故所求切平面方程为0)2()12()12(zyx即0222zyx法线方程为：1-22121zyx4求椭球面213z2222yx上某点M处的切平面的方程，使平面过已知直线2121326-zyxL:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
18、- - - -第 11 页，共 19 页精品资料欢迎下载解:设点M的坐标为)(000,zyx，则切平面的法向量n)z,y,x(000642，直线L过点)21,3 ,6(，且方向向量为)1,1 ,2(l，故有2132021634620644202020000000000zyx)(zz)(yy)(xxzyx，解得203000zyx或221000zyx所求切平面方程为72zx或2164zyx注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面的方程， 同样可求得点)(000,zyx，过程略5设),(vuF是可微函数，证明：曲面)0(0),(abcczaybzaxF的切平面平行于某定直线证明：曲面在任意点z)y
19、,M(x,处切平面的法向量n)cFbF,aF(aF2121，设向量1 ,acabs，有0sn，即sn，s就是过点z)y,M(x,的某直线的方向向量（常向量），该直线就是所求平行于切平面的定直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页精品资料欢迎下载第七节方向导数与梯度1填空题：(1) ,yxff在点),(00yx处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分也不必要条件(2) 函数xyxez在点)0 ,1(沿ji方向的方向导数最大，其最大值是22 求函数)ln(yxz在点)2,1(处沿着抛物线xy42在该点处偏向x轴正向的切
20、线方向的方向导数解: xzyx1，yzyx1，22tan)2, 1(dxdy，4，lzxzcosyzsin=323 求函数xyzu在点)5,4,3(处沿着锥面22yxz的外法线方向的方向导数解: xz22yxx53，yz22yxy54，锥面的外法线方向为），（543，其方向余弦为253cos，254cos，255cos20)5, 4, 3(xu，15)5,4, 3(yu，12)5,4,3(zuluxucosyucos+zucos=264设yzxzyxf2),(，求)1,2, 1 (fgrad，并求函数沿该梯度方向的方向导数解:xyzfx2，zxfy2，yxfx2)1,2, 1 (fgrad=k
21、ji24，lu) 1, 2, 1 (fgrad21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页精品资料欢迎下载第八节多元函数的极值及其求法1填空题：(1)二元函数的极值只可能在驻点和_不可导点 _处取得(2)若函数f(x,y)z在点),(00yx处具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则有),y(xfx00_0_,),y(xfy00_0_2求函数)(),(yxaxyyxf的极值解:由00xyy)xx(afxyy)xy(afyx得驻点)0 ,0(，),0(a，)0,(a，)3,3(aayfAxx2，yxafBxy22，x
22、fCyy2对四个驻点分别计算2BAC，易知)0,0(，),0(a，)0,(a处都有02BAC，故都不是极值点，而)3,3(aa处0922aBAC，,322ayA所以当0a时，函数在此点取得极小值273a，当0a时，函数在此点取得极大值273a3求由036z123z46222xyx确定的函数f(x,y)z的极值解:令36z123z46222xyxF(x,y,z)由隐函数求导得03340122zyFFyzzxFFxzzyzx得驻点)0,1 (， 代入原方程得：0322zz，解得3, 1 zz，由方程知此曲面为椭球面，故函数f(x,y)z的极大值为1，极小值为34求函数)(coscoscosyxyx
23、z在闭区域20,20:Dyx上的最大值和最小值解: (1)求 D 内的驻点：由0sinsin0sinsiny)(xyyzy)(xxxz得0sinsinyx，无零点，故D 内无驻点，函数的最值只能在边界上达到；(2) 求函数在边界上的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页精品资料欢迎下载当200y,x时，yz2cos1，1)2,0(z,3)0,0(z，同理可讨论另外三条边界，得1)2,2(z)0 ,2(z函数的最大值 3在)0,0(处达到，最小值 1在)2,0(，)0,2(，)2,2(三点处达到5经过第一卦限中的点
24、c,b,a作平面与三坐标轴相交，如何作法使该平面与坐标面围成的四面体体积最小解:设该平面方程为1CzByAx，则有1CcBbAa，目标函数：四面体体积ABCV61，作拉格朗日函数)CcBbAa(ABCL(A,B,C)161由1000CcBbAaLLLCBA得驻点cCbBaA333由于驻点唯一且此问题定有最小值存在，故知作该平面与三坐标轴的截距分别为cb,a,333时，满足题意。6求函数xyzu在条件1z222yx，0zyx下的极值解: 作拉格朗日函数z)y(x)zy(xxyzL(x,y,z)1222由01020202222zyxzyxzxyFyxzFxyzFzyx得驻点),(M,6261612
25、1，),(M,61616243，),(M,61626165两曲面1z222yx，0zyx的交线为一个圆心在原点，半径为1的大圆，易得函数在531,M,MM三点处有极小值631，在632,M,MM三点处有极大值631精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页精品资料欢迎下载第八章综合练习1用不等式和图形表示下列二元函数的定义域：(1)yyxyxyz242222解: 定义域：yyxyx,yD4222，图略(2)2)ln(yxxyz解: 定义域：xyxx,yD2，图略2求下列函数的极限：(1)1ln(4lim222021yxy
26、xyx解: 原式 =4ln3ln2（直接代入）(2)xyyxyx1sin)(lim2200解: 原式 =（无穷小量乘有界量）3求下列函数的偏导数：(1)2)ln(sin)2(2xeyxyzx，求)2, 1(xz解: )2, 1(xz1122)(xxyxdxzd；(2)xyzeu，求zyxu3解:xyzyzexz，xyzz)e(xyzyxz22，zyxu3)13(222xyzzyxexyz4求下列函数的全微分：(1)yxyxzarctan；解: 22yxxxz，22yxyyz22yxydxxdydz；(2)xyzu)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
27、 - - -第 16 页，共 19 页精品资料欢迎下载解: lndzzxdyyx)dxyz()yz(dux5已知xeyty，而t是方程1222xty确定的yx,的函数，求dxdy解: 方程组1222xtyxeyty确定隐函数组t(x)ty(x)y，将它两边直接对自变量x求偏导，得：02221xdxdttdxdyy)dxdytdxdt(yedxdyty故dxdytytyetytxyet)(226设),(yxzz由方程0),(xzyyzxF确定，求xz和yz解: xzzxFF=21122xyFxFyFxyzF，yz=zyFF=221221FyxyFFxyxzF7设),(vuf具有二阶连续的偏导数，
28、且满足02222vfuf，证明：)2,(),(22xyyxfyx也满足02222yx证明：vfyufxx22，vfxufyy22，22x22222224842vfyvufxyufxuf，22y22222224842vfxvufxyufyuf，2222yx04222222)vfuf)(y(x8在螺旋线)20(,sin,cos2zyx上求一点， 使曲线在该点的切线平行于平面42 zx解: 切向量)z ,y ,x(T)1 ,cos,2sin(平面的法向量为法向量n)2,0, 1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页精品资
29、料欢迎下载由0nT得22sin，434或故所求点为)4,22,2(或)43,22,2(9求函数)2(12ln2zyxzyxu在点)1, 1, 1(处沿向量)2,2, 1(l方向的方向导数解:方向余弦为31cos，32cos，32cos52552)2(12)2(121)1, 1, 1(22)1 , 1 ,1(zyxzyxzyxzyxxu，)1 , 1 ,1(yu525524)2(12)2(1)2(22)1 , 1 ,1(22zyxzyxzyxzyx，)1, 1, 1(zu52552-)2(12)2(1)2(-1-)1, 1, 1(22zyxzyxzyxzyxluxucosyucos+zucos=
30、515255210设xyyxyxyxf2243),(22，试问：参数,满足什么条件时),(yxf有唯一极大值？有唯一极小值？解:yxfx223, xyfy244,当0222函数有唯一驻点2222223,4243，又在此点处有fAxx2,fBxy2,4yyfC, 22248BAC故当0222且0时函数有唯一极大值，当0222且0时函数有唯一极大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页精品资料欢迎下载11求曲面1zyx的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大解: 曲面上任意点000,z,yx处的法向量000212121z,y,xn切平面方程为0212121000000)z(zz)y(yy)x(xx，即1111000zzyyxx，所以截距分别为000z,y,x目标函数设为000000zyx,z,yxf，作拉格朗日函数)zyx(zyx),z,yL(x1000000000由1020202000000000000000zyxzyxLyzxLxzyLzyx得唯一驻点919191000zyx故所求切平面的方程是31zyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页
