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1、高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性
2、。3、集合的表示： 如我校的篮球队员， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R| x-32 或 x| x-32 （3）图示法（文氏图） ：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N* 或 N
3、+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5、 “属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合 A 的元素，就说a 属于集合 A 记作aA ，相反，a不属于集合A 记作aA 6、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作AB注意：有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，； （2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记
4、作 A B 或 BA 集合 A 中有 n 个元素 ,则集合 A 子集个数为2n. 2 “相等”关系(55，且 55，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即： A=BABBA且 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 如果AB, BC ,那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 精选学习资料 - - - - - - - -
5、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义 ：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作” A 交 B”)，即 AB=x|x A，且 xB 2、并集的定义 ：一般地， 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。 记作：A B(读作” A 并 B”)，即 A B=x|x A，或 xB 3、交集与并集的性质：AA = A， A = , A B = BA，AA = A ，
6、A = A , A B = B A. 4、全集与补集（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（2）补集：设S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即AS） ，由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集） 。记作：CSA ，即CSA =x | xS且 xA （3）性质： CU(C UA)=A (C UA) A= (C UA) A=U (4)(C UA) (C UB)=C U(AB) (5)(C UA) (C UB)=C U(A B) 二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，
7、如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意： 1、如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间 的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据 是
8、： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（
9、2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必须同时具备) 值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义： 在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x A) 中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A) 的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f
10、(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线 ),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点S CsA A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法：A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、
11、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换: （1）将 y= f(x) 在 x 轴下方的图象向上翻得到y=f(x) 的图象如：书上P21 例 5 （2） y= f(x) 和 y= f(-x) 的图象关于y 轴对称。如1xxxyayaa与（3） y= f(x) 和 y= -f(x) 的图象关于x 轴对称。如1logloglogaaayxyxx与、平移变换: 由 f(x)得到 f(xa) 左加右减；由 f(x) 得到 f(x)a 上加下减(3)作用： A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1
12、）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5映射定义 ：一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A 到 B 的映射，如果aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象说明 :函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合A 到集合 B 的对
13、应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB 来说，则应满足： （）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； （）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要
14、有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x) ，(xA) 称为 f 是
15、 g 的复合函数。7函数单调性（ 1） 增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在区间 D 上是 增函数 。区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间；如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意： 1、函数的单调性
16、是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D 内的 任意 两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有f(x1)f(x2) （或 f(x1)f(x2)） 。（ 2） 图象的特点如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性， 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1， x2D，且 x1 0（C 为常数）时，( )yfx与( )yC f xg的单调性相同；当 C 0 且 a 12、指数函数的图象和性质0a1 图
17、像性质定义域 R , 值域（ 0，+）（ 1）过定点（ 0， 1）,即 x=0 时， y=1 (2)在 R 上是减函数(2)在 R 上是增函数（ 3）当 x0 时,0y1; 当 x1（3）当 x0 时 ,y1; 当 x0 时,0y1图象特征函数性质共性向 x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（ 0，1）0a0 时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象
18、纵坐标都大于1 当 x0 时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当 x0 时,0y0 时， a,N 在 1 的同侧；当b0 且 a1； 2. 真数 N0 3. 注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10 为底的对数 , 10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数, loglneNN记为3、对数式与指数式的互化logxaxNaN对数式指数式对数底数a 幂底数对数x 指数真数N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2） logaa=1, loga1=0 特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：logNaaN（
19、二）对数的运算性质如果 a 0，a 1 ，M 0 ， N 0 有：1、logMNloglogaaaMN?（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、NMNMaaalogloglog两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、loglognnaaMnM （R）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍说明 : 1) 简易语言表达: ” 积的对数 =对数的和 ”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0, ) 4) 特别注意：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglog注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa利用
20、换底公式推导下面的结论abbalog1logloglogloglogabcabcdd?loglogmnaanbbm（二）对数函数1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且 a1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0， +） 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，log2ayx都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a0，且 a1 2、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且 a1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
21、 10 页0 a 1 a 1 图像性质定义域：（0，）值域： R 过点 (1 ,0), 即当 x 1 时,y 0 在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当 x1 时， y0 当 x=1 时， y=0 当 0x0 当 x1 时， y0 当 x=1 时， y=0 当 0x1 时， y0; 当 a,b 不同在 (0,1) 内，或不同在(1,+) 内时 ,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时 , logab 0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用 y=1 去截图象得到对应的底数。、 y=ax(a0 且 a 1) 与 y=logax(a0 且 a 1)
22、互为反函数，图象关于y=x 对称。yx0(1,0)yx0(1,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0. 6 比较大小的方法(1) 利用函数单调性(同底数 )；(2) 利用中间值（如:0,1.） ；(3) 变形后比较；(4) 作差比较（三）幂
23、函数1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x 是自变量，为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 0 时， 幂函数的图象通过原点，并且在 0,+ ） 上是增函数 特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当01 时，幂函数的图象上凸；（3） 0 时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当 x 趋于 +时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点 的概念：对于函数y=f(x), 使 f(x)=0 的
24、实数 x 叫做函数的零点。 （实质上是函数y=f(x) 与 x 轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程 f(x)=0 有实数根 ? 函数 y=f(x) 的图象与x 轴有交点 ? 函数 y=f(x) 有零点3、 零点定理 ： 函数 y=f(x) 在区间 a,b上的图象是连续不断的，并且有 f(a)f(b)0, 那么函数y=f(x) 在区间（a,b）至少有一个零点c，使得 f( c)=0, 此时 c 也是方程f(x)=0 的根。4、函数零点的求法：求函数 y=f(x) 的零点：（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)
25、的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点：二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)1） 0，方程 f(x)=0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点2） 0，方程 f(x)=0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0，方程 f(x)=0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点二、二分法1、概念 ：对于在区间 a,b上连续不断且f(a)f(b)0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值
26、的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤: 确定区间 a,b,验证 f(a)f(b)0 ，给定精确度；求区间 (a,b)的中点 c;计算 f(c), 若 f(c)=0, 则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0, 则令 b=c（此时零点x0(a,c)）若 f(c)f(b)0, 则令 a=c（此时零点x0(c,b)）(4)判断是否达到精确度：即若|a-b|0) 指数函数： y=ax(a1) 指数型函数：y=kax(k0,a1) 幂函数：y=xn（ n?N*) 对数函数： y=logax(a1) 二次函数： y=ax2+bx+c(a0) 增长快慢： V(ax)V(xn)V(logax) 解不等式(1) log2x 2x x2 (2) log2x x2 0）的根的分布两个根都在（m,n )内两个有且仅有一个在（m,n) 内x1(m,n) x2(p,q) f(m)f(n)0两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K f(k)0 y x n m m n m n p q y x k k k 02()0()0bmnafmfn()0( )0()0( )0fmfnfpfq02()0bkafk02()0bkafk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
