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1、高等数学高等数学第七节第七节 函数的连续性函数的连续性一、函数在一点的连续与间断一、函数在一点的连续与间断二、间断点及其分类二、间断点及其分类三、连续函数的四则运算三、连续函数的四则运算 与初等函数的连续性与初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质重点重点: 连续的定义和性质连续的定义和性质难点：连续的性质、间断点类型难点：连续的性质、间断点类型高等数学高等数学一、函数在一点处的连续与间断一、函数在一点处的连续与间断1.1.定义定义高等数学高等数学例例1 1证证由定义知由定义知高等数学高等数学例例2 2证明证明见教材见教材P36:例例 1.4.5高等数学高等数学高等
2、数学高等数学2. 单侧连续单侧连续定理定理高等数学高等数学例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,高等数学高等数学3 .函数的增量函数的增量高等数学高等数学高等数学高等数学4. 连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,高等数学高等数学二、间断点及其分类二、间断点及其分类高等数学高等数学2.2.跳跃间断点跳跃间断点定义定义3 31.1.可去间断点可去间
3、断点高等数学高等数学例例4 4解解高等数学高等数学解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例5 5高等数学高等数学如例如例5中中,高等数学高等数学例例6 6解解注意注意: 第二类间断点是左、右极限有一个不第二类间断点是左、右极限有一个不存在的或都不存在的点存在的或都不存在的点高等数学高等数学例例7 7解解注意注意 不要认为函数的间断点只是有限的几个点不要认为函数的间断点只是有限的几个点.高等数学高等数学狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且
4、都是第二类间断点断点.仅在仅在 x = 0 处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.高等数学高等数学在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:高等数学高等数学三、连续函数的运算三、连续函数的运算 与初等函数的连续性与初等函数的连续性定理定理1 1例如例如,1. 1. 四则运算四则运算高等数学高等数学2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反
5、三角函数在其定义域内皆连续.高等数学高等数学定理定理3 3证证高等数学高等数学将上两步合起来将上两步合起来:高等数学高等数学意义意义1.极限符号可以与函数符号极限符号可以与函数符号互换互换;例例9 9解解高等数学高等数学例例1010解解同理可得同理可得高等数学高等数学定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,高等数学高等数学3. 3. 初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.高等数学高等数学定理定理5 5 基本初等函数基本初等函数在其定义域内是连续的在其定义域内是连续的. .(
6、均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切一切初等函数初等函数在其在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .高等数学高等数学1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,只在只在0点有定义，没有定义区间点有定义，没有定义区间.注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法 , 即即高等数学高等数学例例1111例例1212解解解解高等数学高等数学例例1313解解高等数学高等数学四、四、闭区间上连续函
7、数的性质闭区间上连续函数的性质定义定义: :例如例如,1. 1. 最大值和最小值定理最大值和最小值定理高等数学高等数学定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.高等数学高等数学定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证高等数学高等数学2 2、介值定理、介值
8、定理定义定义: :高等数学高等数学几何解释几何解释:高等数学高等数学几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,高等数学高等数学推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1414证证由零点定理由零点定理,高等数学高等数学例例1515证证由零点定理由零点定理,高等数学高等数学例例16 16 分析分析 首先确定闭区间的的端点，然后首先确定闭区间的的端点，然后再证明函数能取到区间的每一个值再证明函数能取到区间的每一个值. .证证说明说明 该例反映了连续函数得又一性质该例反映了连续函数得又一性质
9、: : 非常数的连续函数将闭区间映为闭区间非常数的连续函数将闭区间映为闭区间. .高等数学高等数学练习练习 提示提示 利用例利用例2 2的结论的结论. .高等数学高等数学1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点: 可去型可去型, 跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点: 无穷型无穷型, 振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)五、总结五、总结高等数学高等数学可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点o
10、yxoyxoyx高等数学高等数学4.4.连续函数的四则运算与初等函数的连续性连续函数的四则运算与初等函数的连续性 u连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.u复合函数的连续性复合函数的连续性.u初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法. 两个定理两个定理; 两点意义两点意义.u反函数的连续性反函数的连续性.高等数学高等数学u 四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这
11、两点不满足上述定理不一定成立u 解题思路解题思路1.1.直接法直接法: 先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: : 先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;5.5.连续函数在闭区间的性质连续函数在闭区间的性质 高等数学高等数学作作 业业P54: 1, 2(单单), 4, 5(单单13,15不做不做), 6, 8, 10, 11.高等数学高等数学思考题一思考题一 高等数学高等数学思考题一解答思考题一解答且且高等数学高等数学但反之不成立但反之不成立.例例但但高等数学高等数学思考题二思考题二下述命题是否正确？下述命题是否正确？高等数学高等数学思考题二解答思考题二解答不正确不正确.例函数例函数高等数学高等数学课课 堂堂 练练 习习高等数学高等数学证明证明分情形分情形:高等数学高等数学2. 分析分析 此题是证明等式此题是证明等式. . 可考虑利用介值定理可考虑利用介值定理证证高等数学高等数学高等数学高等数学证明证明3.
